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Sujet : Analyse, Séries numériques, Séries à termes de signe constant

12 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries à termes de signe constant Exercice 7 [ 01025 ] [correction] P Soit (u ) une suite décroissante réelle. On suppose que la série u converge.n n nP Exercice 1 [ 01020 ] [correction] a) On pose S = u . Déterminer la limite de S −S .n k 2n n k=0Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants : b) En déduire 2nu → 0.2n n chn c) Conclure que nu → 0.na) u = b) u =n n2n + 1 ch2n n 1 1 1 c) u =√ −√ d) u = e− 1 +n n Exercice 8 [ 03233 ] [correction]2 2 nn − 1 n + 1 Soient (u ) une suite décroissante de réels positifs et α un réel positif.n On suppose la convergence de la série XExercice 2 [ 01021 ] [correction] αn unDéterminer la nature de la série de terme général Montrer1/n si n est un carré α+1u =n 2 n u → 0n1/n sinon Exercice 9 [ 01026 ] [correction] Exercice 3 [ 01022 ] [correction]P P Soient (u ) une suite de réels positifs etnSoient u et v deux séries à termes strictement positifs convergentes.n n unMontrer que les suivantes sont aussi convergentes v =n 1 +uX X X n√ u vn n P Pmax(u ,v ), u v etn n n n Montrer que les séries u et v sont de même nature.u +v n nn n Exercice 10 [ 01029 ] [correction]Exercice 4 [ 01023 ] [correction] P [Règle de Raabe-Duhamel]Soit u une série à termes positifs convergente.n Soient (u ) et (v ) deux suites de réels strictement positifs.
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Séries à termes de signe constant

Exercice 1[ 01020 ][correction]
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
n
a)nu2+ 1)un=hhcc2nn
n=b
c)un=√n21−1− √n21+1d)un= e−1 +n1n

Exercice 2[ 01021 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général
un=11nn2sinsinréarsneutocn

Exercice 3[ 01022 ][correction]
SoientPunetPvndeux séries à termes strictement positifs convergentes.
Montrer que les suivantes sont aussi convergentes
Xmax(un vn),Xeunvn
√unvntXun+vn

Exercice 4[ 01023 ][correction]
SoitPunune série à termes positifs convergente.
Montrer queX√unun+1est aussi convergente

Exercice 5[ 03411 ][correction]
Soitaune suite de réels positifs. Comparer les assertions
(i) la série de terme généralanconverge ;
(ii) la série de terme général√anan+1converge.

Exercice 6[ 01024 ][correction]
SoitPunune série à termes positifs. On suppose que
n√un→`∈R+
a) Montrer que si` >1alorsPunest divergente.
b) Montrer que si` <1alorsPunest convergente.
c) Observer que, lorsque`= 1, on ne peut rien conclure.

Enoncés

Exercice 7[ 01025 ][correction]
Soit(un)une suite décroissante réelle. On suppose que la sériePunconverge.
n
a) On poseSn=Puk. Déterminer la limite deS2n−Sn.
k=0
b) En déduire2nu2n→0.
c) Conclure quenun→0.

Exercice 8[ 03233 ][correction]
Soient(un)une suite décroissante de réels positifs etαun réel positif.
On suppose la convergence de la série
Xnαun

Montrer

nα+1un→0

Exercice 9[ 01026 ][correction]
Soient(un)une suite de réels positifs et
un
vn= 1 +un
Montrer que les sériesPunetPvnsont de mme nature.

1

Exercice 10[ 01029 ][correction]
[Règle de Raabe-Duhamel]
Soient(un)et(vn)deux suites de réels strictement positifs.
a) On suppose qu’à partir d’un certain rang
un+16vn+1
unvn
Montrer queun=O(vn).
b) On suppose que
uunn+1= 1−nα+on1avecα >1
Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série de Riemann, que la sériePun
converge.
c) On suppose cette fois-ci que
un+1= 1−α+o1avecα <1
unn n
Montrer que la sériePundiverge

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Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02800 ][correction]
a) Soient(un)n>0et(vn)n>0deux suites réelles,λ∈R. On suppose :
erge etun+1= 1−λ+vn
∀n∈N un>0;X|vn|convunn

Montrer que(nλun)converge.
b) Nature de la série de terme général

nn
n!en?

Enoncés

Exercice 12[ 01030 ][correction]
SoientPunune série absolument convergente etvn=uσ(n)avecσ∈S(N).
n>0
Montrer que la sériePvnest absolument convergente de mme somme dePun.
n>0

Exercice 13[ 01032 ][correction]
Montrer la convergence de
+X∞k1!
k=0
puis la majoration du reste
+∞
X

1 1
k!6nn!
k=n+1

Exercice 14[ 02353 ][correction]
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
)un=nn+ 1n2b)un=nos1c2nc)unn=(ln)1lnn
a

Exercice 15Centrale MP[ 02432 ][correction]
a) EtudierPuoùun=Rd1x
n0 1+x+∙∙∙+xn.
1xndx
b) EtudierPvnoùvn=R0 1+x+∙+xn.
∙∙

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02789 ][correction]
Nature de la série de terme général
e−1 +1nn
n32−n32+n

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02798 ][correction]
Soientα∈Retf∈ C0([01]R)telle quef(0)6= 0. Etudier la convergence de la
série de terme général
1
un=n1αZ0nf(tn) dt

Exercice 18X MP[ 02957 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.
On suppose que la suite de terme général

n
Xuk−nun
k=1
est bornée.
Montrer que la série de terme généralunconverge.

Exercice 19[ 01027 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs.
a) Pour toutn∈N, on pose
un
vn=
1 +un
Montrer quePunetPvnsont de mme nature.
b) Mme question avec
un
vn=
u1+∙ ∙ ∙+un
On pourra étudierln(1−vn)dans le cadre de la divergence.

Exercice 20Mines-Ponts MP[ 03750 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose
n
v un+1avecSn=Xuk
n=Sn
k=0
Montrer que les sériesPunetPvnont mme nature.

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Exercice 21X MP[ 02956 ][correction]
Soit(un)n>1une suite de réels strictement positifs.
On pose, pourn∈N?,

vn=unSnoùSn=u1+∙ ∙ ∙+un
Déterminer la nature dePvn.

Exercice 22CCP MP[ 03715 ][correction]
n
Soient(an)une suite de réels strictement positifs etSn=Pak.
k=0
a) On suppose que la sériePanconverge, donner la nature dePanSn.
b) On suppose que la sériePandiverge, montrer

?a1

∀n∈NSnn26Sn1−1Sn
En déduire la nature dePanS2n.
c) On suppose toujours la divergence de la sériePan.
Qu’elle est la nature dePanSn?

Exercice 23X MP[ 02958 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général
unconverge.
+∞
On note le reste d’ordren:Rn=Puk.
k=n+1
Etudier la nature des séries de termes générauxunRnetunRn−1.

Exercice 24X MP[ 02959 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive et strictement croissante.
Nature de la série de terme général

un+1−un
un

Exercice 25[ 02447 ][correction]
SoitPanune série à termes positifs convergente.
Peut-on préciser la nature de la série de terme général

un=a0a1   an?

Enoncés

Exercice 26Mines-Ponts PC[ 03119 ][correction]
Soient(un)n>0et(vn)n>0dans(R+)Ntelles que

1
∀n∈N vn= 1 +n2
un
Montrer que si la série de terme généralvnconverge alors la série de terme
généralundiverge.

Exercice 27[ 03195 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général
1
n
un=n11+

Exercice 28[ 03225 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Rde classeC1strictement positive telle que
xff(0(xx))−−−−→`∈¯R
x→+∞
a) On suppose` >−1ou`=−1+. Montrer la divergence de la série
Xf(n)
n>1

b) On suppose` <−1. Montrer la convergence de la série
Xf(n)
n>1

3

Exercice 29[ 03235 ][correction]
Soit(un)n>1une suite de réels positifs. On considère la suite(vn)définie par
1n
vn=Xkuk
n(n+ 1)k=1
Montrer que les sériesPunetPvnont mme nature et qu’en cas de convergence
+∞+∞
Xun=Xvn
n=1n=1

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Exercice 30[ 03355 ][correction]
Soient(un)une suite de réels positifs et(vn)la suite déterminée par

Montrer

vn=u2n+u2n+1

Xunconverge si, et seulement si,

Xvnconverge

Exercice 31[ 03674 ][correction]
SoitPanune série à termes strictement positifs convergente.
Etablir la convergence de la sériePan1−1n.

Exercice 32CCP MP[ 03716 ][correction]
n
Soient(an)une suite de réels strictement positifs etSn=Pak.
k=0
a) On suppose que la sériePanconverge, donner la nature dePanSn
b) On suppose que la sériePandiverge, montrer

∀n∈N?ann1−1−S1n
Sn26S
En déduire la nature dePanSn2.
c) On suppose toujours la divergence de la sériePan.
Qu’elle est la nature dePanSn?

Exercice 33CCP MP[ 02516 ][correction]
Soient
un3=n1n!nY(3k−2)etvn1
=
n34
k=1
a) Montrer que pournassez grand,

un+1>vn+1
unvn
b) En déduire quePundiverge. (on pourra utiliser

vunn)

.

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)un∼n1donc par comparaison de séries à termes positifs, la série est divergente.
b)un∼ee2nn∼e−ndonc par comparaison de séries à termes positifs, la série est
convergente.
c)un=O13donc la série est absolument convergente.
n
d)un∼2endonc par comparaison de séries à termes positifs, la série est
divergente.

Exercice 2 :[énoncé]
C’est une série à termes positifs aux sommes partielles majorées car

donc la série converge.

n n1
Xuk62Xk2<+∞
k=1k=1

Exercice 3 :[énoncé]
On exploite les comparaisons

max(un vn)6un+vn,√unvn6(21un+vn)

(obtenue par2ab6(a2+b2))
et
unvnun
un+vn=un+vnvn6vn
Par comparaison de série à termes positifs on peut alors conclure.

Exercice 4 :[énoncé]
Puisque2ab6a2+b2on a

√unun+1621(un+un+1)
orPunetPun+1convergent donc, par comparaison de séries à termes positifs,
P√unun+1converge.

Exercice 5 :[énoncé]
On a immédiatement (i)⇒(ii) par comparaison de série à termes positifs sachant

√anan+16(1an+an+1)

5

2
La réciproque est fausse, il suffit pour l’observe de considérer la suiteadonnée par

1
a2p= 1eta2p+1=p4

Exercice 6 :[énoncé]
a) Si` >1alors à partir d’un certain rangn√un>1et doncun>1. Il y a
divergence grossière.
b) Si` <1alors, en posantα= (1 +`)2, on a` < α <1et à partir d’un certain
rang
n√un< α

donc
un6αn
Or la série de terme généralαnest convergente carα∈[01[et doncPunest
absolument convergente.
c) Pourun= 1n,n√un=n−1n→1et pourun= 1n2,n√un=n−2n→1alors
que dans un cas la série diverge et dans l’autre la série converge.

Exercice 7 :[énoncé]
a) En notantSla somme de la série,S2n−Sn→S−S= 0.
b) On a
2n
S2n−Sn=Xuk>nu2n
k=n+1

De plusnu2n>0car la suite(un)décroît et tend vers 0 (car la série converge).
Par encadrementnu2n→0puis2nu2n→0
c) De plus
06(2n+ 1)u2n+162nu2n+u2n→0
donc on a aussi(2n+ 1)u2n+1→0et finalementnun→0.

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Exercice 8 :[énoncé]
Posons
n
Sn=Xkαuk
k=1
Par la décroissance de la suite(un), on a

2n2n
S2n−Sn=Xkαuk>Xnαu2n=nα+1u2n>0
k=n+1k=n+1

Corrections

Puisque la suite(Sn)converge,S2n−Sn→0et on en déduit(2n)α+1u2n→0.
Puisque
06(2n+ 1)α+1u2n+16(2(n+2n1)α)+α1+1(2n)α+1u2n

on a aussi(2n+ 1)α+1u2n+1→0et on peut donc conclurenα+1un→0.

Exercice 9 :[énoncé]
Puisque
vn= 1 +unun∈[01[etun=1−vnvn
on aun→0si, et seulement si,vn→0.
Siun6 →0alorsvn6 →0et les deux séries divergent.
Siun→0alorsvn∼unet donc les deux séries sont de mme nature.
Dans les deux cas, les séries sont de mme nature.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Via télescopage, on obtient pour toutn>N

uN
0< un6vn
vN

doncun=O(vn).
b) Soit1< β < αetvn=n1β.

vn+1 1= 1 =−β+o
vn1 +1βn
n

A partir d’un certain rang

un+1vn+1
6
unvn

1n

doncun=O(vn)orPvnconverge absolument doncPunaussi.
c) Pournassez grand

un+11 1
>1−= 11(n+ )
unn+ 1n

donc
1
n=O(un)
Puisque la sérieP1nest divergente, un argument de comparaison de séries à
termes positifs permet de conclure quePunest aussi divergente.

Exercice 11 :[énoncé]
a) Le rapportuunn+1tend vers 1 donc la suite(un)est de signe constant à partir
d’un certain rang ; quitte à passer à l’opposé on peut supposerun>0pourn
assez grand.
Posons
wn= ln((n+ 1)λun+1)−ln(nλun)

On a

wn=λln1 +n1+ ln1−λn+vn

6

est le terme général d’une série absolument convergente. Par conséquent la suite
(ln(nλun))converge et donc(nλun)aussi.
b) Posonsun=n!enn. On a
n
uun+n1= 1−12n+On12
En reprenant l’étude qui précède on peut affirmer quen12un→` >0doncPun
diverge.
Ce résultat peut tre confirmé par la formule de Stirling.

Exercice 12 :[énoncé]
n+∞
P|vn|6P|un|<+∞doncPvnest absolument convergente.
k=0n=0n>0
Pourn∈N, posonsp(n) = maxσ−1(k)06k6n.
Pour toutε >0, il existeN∈Ntel queP|un|6ε.
n>N+1

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M N
Pour toutM>p(N):Pvn−Pun6P|un|6εdonc
n=0n=0n>N+1
M+∞
Pvn−Pun62ε.
n=0n=0
+∞+∞
Par suitePvn=Pun.
n=0n=0

Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
+∞
La convergence dePk!1s’obtient entre autre par le critère d’Alembert puisque
k=0

1
1(1kk1+!)!=k+ 1−−−−→0<1
k→+∞

On peut alors majorer le reste de la série en prenant appui sur une somme
géométrique
+∞
k=Xn+1k!16n1!n1+1+(n)1+12+∙ ∙ ∙=n1!n1+11−11n =+ 1n1n!

Notons que raisonner par récurrence ne marche pas.

Exercice 14 :[énoncé]
a)un= exp(−n2ln(1 + 1n)) = exp(−n+o(n))doncn2un→0et la série est
absolument convergente.
b)un>1ndonc par comparaison de séries à termes positifs, la série est
divergente.
c)n2un=(lnnn)nl2n= e2 lnn−lnnln lnn→0donc la série est absolument convergente

Exercice 15 :[énoncé]
a) L’intégrale définissantunelle porte sur une fonction sur leest bien définie car
segment[01]. On peut aussi la comprendre comme une intégrale impropre
convergente sur[01[
dx
un=Z101 +xd+∙x∙ ∙+xn=Z[01[1 +x+∙ ∙ ∙+xn

et par sommation géométrique
dx
Z[01[1 +x+∙ ∙ ∙+xn=Z[01[11−−xnx+1dx

Posons
fn(x 1 1) =−−xnx+1
Sur[01[, la suite de fonctions(fn)converge simplement vers la fonction
f:x7→1−x.
Les fonctionsfnetfsont continues par morceaux et

1−x1−x1 =ϕ(x)
1−xn+161−x=

7

avecϕintégrable. Par convergence dominée
un→Z1(1−x)d 1
x=
02
et donc la sériePundiverge grossièrement.
b) On amorce les calculs comme au dessus pour écrire
vn=Z101 +xx+n∙d∙x∙+xn=Z011−xxnn+1(1−x)dx
Par intégration par parties impropre justifié par deux convergences
Z011−xxnn+1(1−x)dx=−n1(1ln+1−xn+1)(1−x)01−n1+1Z10ln(1−xn+1)dx

Le terme entre crochet est nul (il suffit d’écrirex= 1−havech→0, pour étudier
la limite en 1)
Il reste
1
vn=−n+11Zln(1−xn+1)dx
0
Par développement en série entière de la fonctionu7→ −ln(1−u)
n=Z10k+X=∞11k x(n+1)kdx
v

Posons
gk(x) =k1x(n+1)k
La série de fonctionsPgkconverge simplement sur[01[en vertu de la
décomposition en série entière précédente.
+∞
Les fonctionsgket la fonction sommePgk:x7→ −ln(1−xn+1)sont continue
k=0
par morceaux.

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Enfin, les fonctionsgksont intégrables sur[01[et
+X=∞1Z10k1x(n+1)kdx=+X∞1
kk=1k((n+ 1)k+ 1)<+∞

On peut donc intégrer terme à terme pour écrire
donc
1 1
vn=n+11k=+X∞1kZ01x(n+1)kdx=n+11k+=X∞1k((n+ 1)k+ 1)
Or

+∞
kX=1k((n1+)1k+ 1)6(n1)+1k=+X∞1k12

puis finalement
1
vn6(n+ 1)2
La série à terme positifPvnest donc convergente.

Exercice 16 :[énoncé]
On a
e−1 + 1nn=O1n
et
n32−jn32k+n=n+O(1)∼n

donc
n3e2−−1n+321nn+n=On12
ce qui permet de conclure à une absolue convergence.

Exercice 17 :[énoncé]
Pourt∈[01n], on peut affirmertn∈[01n]donc
nd 1f(0
Z01n)61nt∈[s0u1pn]
f(tn)t− |f(t)−f(0)|

Par continuité defen 0, on peut affirmer,

sup|f(t)−f(0)| →0
t∈[01n]

Corrections

et donc

Z10nf(tn) dt∼1n f(0)

Ainsi
f
un∼α(0+)1
n
etPunconverge si, et seulement si,α >0.

Exercice 18 :[énoncé]
n
Posonsvn=Puk−nun. On a
k=1

vn+1−vn=n(un−un+1)>0
La suite(vn)est croissante et majorée donc convergente. Posons`sa limite.
On a
un−un+1= 1n(vn+1−vn)
donc

+∞+X∞k(1vk+1−vk) 1+X∞
X(uk−uk+1) =6n(vk+1−vk)
k=n k=n k=n

ce qui donne
un61n(`−vn)
n
On en déduit06nun6`−vnet doncnun→0puisPuk→`.
k=1
FinalementPunconverge.

8

Exercice 19 :[énoncé]
a) SiPunconverge alorsun→0etvn∼undoncPvnconverge par équivalence
de série à termes positifs. SiPvnconverge alorsvn→0et aisémentun→0donc
vn∼unet on conclut comme ci-dessus.
b) SiPunconverge et est de sommeSalorsvn∼unSet on peut conclure.
SiPundiverge alors

N
Xln(1−vn) = ln∙u∙1→ −∞
n=2u1+∙+un
Sivn→0,ln(1−vn)∼ −vndoncPvndiverge car les séries sont de signe
constant.
Sivn6 →0,Pvndiverge grossièrement.

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Exercice 20 :[énoncé]
a) Puisque la suite(Sn)est croissante

et doncvn→0. On en tire

06v un+1
n6S0→0

Corrections

vn∼ln(1 +vn) = lnSnS+n1= ln(Sn+1)−ln(Sn)
La sériePunconverge si, et seulement si, la suiteln(Sn)converge et donc si, et
seulement si, la série télescopiqueP(lnSn+1−lnSn)converge. Par équivalence
de série à termes positifs, cela équivaut à affirmer la convergence de la sériePvn.

Exercice 21 :[énoncé]
SiPunconverge alors en notantSsa somme (strictement positive),vn∼unS
et doncPvnconverge.
Supposons désormais quePundiverge et montrons qu’il en est de mme dePvn.
Par la décroissante det7→1t, on a
un
ZSnS−n1dtt6SnS−n−S1n−16Sn−1

En sommant ces inégalités
Sndt
Zt6k=nX2Skuk−1
S1

Or
ZSndtt= lnSn−lnS1→+∞
S1
carSn→+∞donc par comparaisonPSunn−1diverge.
Puisque
unun1
= =vn
Sn−1Sn−un1−vn
Sivn6 →0alorsPvndiverge.
Sivn→0alorsvn∼Sunet à nouveauPvndiverge.
n−1
FinalementPunetPvnont la mme nature.

Exercice 22 :[énoncé]
a) Puisque la sériePanconverge, on peut introduire

+∞
`=Xan
n=0

Les termes sommés étant strictement positifs, on a` >0etSn→`donne alors
Sn∼`puis
anan

Sn`
Par équivalence de séries à termes positifs, on peut conclure à la convergence de
PanSn.
b) Comme les termes sont positifs, on aSn>Sn−1et donc

9

anS−1 1

Sn26nSnSnS−n1−1=Sn−1Sn
La série à termes positifsPanétant supposée divergente, la suite(Sn)tend vers
+∞et donc1Sn→0.
La nature de la sériePun−un−1étant celle de la suite(un), on peut affirmer la
convergence de la série
XSn1−1−S1n
puis celle dePanS2npar comparaison de séries à termes positifs.
c) On peut écrire
S−Sn−1
n
aSnn=Sn= 1−SnS−n1
Si(Sn−1Sn)ne tend pas vers 1, la série étudiée diverge grossièrement.
Si(Sn−1Sn)tend vers 1 alors

lnSn−n1∼SSn−n1−1
S

et donc
ann−lnSn−1
Sn∼lnS
La suite(lnSn)diverge, donc la sériePlnSn−lnSn−1diverge aussi et, enfin,
PanSndiverge par argument de comparaison de séries à termes positifs.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Exercice 23 :[énoncé]
un=Rn−1−Rnet la décroissance det→1t,RRRnn−1dtt6Rn−R1−Rn=un
nR.
n
RRRnn−1dtt= lnRn−1−lnRndonc la série à termes positifsP RRRnn−1dttdiverge car
lnRn→ −∞puisqueRn→0.
Par comparaison de séries à termes positifs,PunRndiverge.
uRnn=uRn=un1
n−1−unRn−11−R.
un n−1
SiunRn−16 →0alorsPunRn−1diverge.
u
SiunRn−1→0alorsuRn∼Rnnet doncPunRn−1diverge encore.
n−1
Dans tous les cas,PunRn−1diverge.

Exercice 24 :[énoncé]
Posons

u
vn=n+1−un
un
Si(un)converge alors, en posant`sa limite,

vn1`(−un)
∼un+1
et puisque la série à termes positifsP(un+1−un)converge, il en est de mme de
Pvn.
Si(un)diverge alorsun→+∞.
Par la décroissance det→1t,
un+1−uZuunn+1dtt= l
n>n(un+1)−ln(un)
un
Puisqueln(un)→+∞, la série à terme positifP(ln(un+1)−ln(un))diverge et
doncPvnaussi.
Finalement, la nature de la sériePvnest celle de la suite(un).

Exercice 25 :[énoncé]
La série de terme généralunest convergente.
En effet, puisquePanconverge,an→0et donc il existe un rangN∈Ntel que

∀n>N an61

En posantM=a0a1   aN−1, on peut écrire pour toutn>N
06un6M aN   an−1an6M an

Par comparaison de série à termes positifs, on obtient la convergence voulue.

10

Exercice 26 :[énoncé]
Supposons la sériePvnconvergente. On avn→0+donc1 +n2un→+∞et on
en déduit
1
vn∼
n2un
puis
√1

unvn∼
n
Par comparaison de séries à termes positifs, il y a divergence de la sérieP
Or, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
k=Xn0√ukvk!26k=Xn0ukn=nX0vk6k=nX0ukn=+X∞0vk
On en déduit la divergence de la sériePun.

Exercice 27 :[énoncé]
On a

nun=1n1n= exp1nlnn→1
donc pournassez grand
1

√unvn.

un>2n
et par comparaison de série à termes positifs on peut affirmer quePundiverge.

Exercice 28 :[énoncé]
a) Pourxassez grand, on a

xff(0(xx))>−1

donc
ff0((xx)>−1x
)
En intégrant, il existe une constanteβtel que

et alors

lnf(x)>−lnx+β

f(x)>Cx

avecC= eβ>0

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