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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Lemme

de

Baire

Exercice 1[ 03152 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Rune fonction continue vérifiant

∀x∈[1+∞[ f(nx)→0

Montrer quefconverge vers 0 en+∞.

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitε >0. PourN∈Nposons

FN={x∈[1+∞[ ;∀n>N|f(nx)|6ε}

Corrections

La condition|f(nx)|6εdéfinie une partie fermée de[1+∞[en tant qu’image
réciproque d’un fermé par une application continue. On en déduit queFNest une
partie fermée en tant qu’intersection de parties fermées.
En vertu de l’hypothèse de travail
[FN= [1+∞[
N∈N

Par le lemme de Baire, une union dénombrable de fermés d’intérieurs vide est
d’intérieur vide. Ce n’est ici pas le cas, on peut donc affirmer que l’un au moins de
FNest d’intérieur non vide. Ainsi, il existeN∈Neta < b∈[1+∞[tels que
[a b]⊂FNce qui signifie

∀x∈[a b]∀n>N|f(nx)|6ε

Considérons alors la partie

X=[[na nb]
n>N

sur laquelle les valeurs prises parfvérifie|f(x)|6ε.
Pournassez grand
nb>(n+ 1)a

et les intervalles[na nb]et[(n+ 1)a(n+ 1)b]se superposent de sorte que la
partieXforme alors un voisinage de+∞. Il existe alorsA >0tel que
[A+∞[⊂Xet donc
∀x>A|f(x)|6ε
On peut alors affirmer queftend vers 0 en+∞.

2

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