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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 38 |
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Langue | Français |
Extrait
Etude d’une équation fonctionnelle
L’objectif du problème est d’étudier l’ensembledes fonctions:ℝ→ℝcontinues telles que :
∀(,)∈ℝ2,(+)+(−)=2()() .
1.
2.
3.
3.a
3.b
3.c
Partie I
Montrer que les fonctions֏coset֏chappartiennent à l’ensemble.
Soitdans.
Montrer que pour tout réelα, la fonctionα:ℝ→ℝdéfinie parα()=(α dans) est.
Soitdans.
En donnant àetdes valeurs particulières, prouver que :
0 ou 1.(0) vaut
Si(0)=0 alorsest la fonction identiquement nulle.
Si(0)=1 alorsest une fonction paire.
Partie II
Dans cette partie, on se propose de déterminer les fonctions dequi sont deux fois dérivables.
On introduitune telle fonction.
1. Etablir que pour tout (,)∈ℝ2:′′(+)+′′(−)=2()′′() .
2. En déduire l’existence d’une constante réelleλtelle que∀∈ℝ,′′()=λ() .
3. Résoudre surℝl’équation différentielle+′′= séparant les cas0 en>0 ,<0 et=0 .
4. Déterminer les éléments dequi sont deux fois dérivables.
Partie III
Dans cette partie, on oublie l’hypothèse de dérivabilité et on se propose de déterminer les fonctions dequi
s’annulent tout en n’étant pas identiquement nulle. On introduitune telle fonction.
1. Montrer que(0)=1 et ques’annule au moins une fois surℝ+∗.
2. On forme= {>0 /()=0}.
2.a Montrer queadmet une borne inférieure que l’on note.
2.b Prouver que()=raisonner par l’absurde). En déduire que pourra 0 (on>0 .
2.c Montrer que :∀∈0,,()>0 .
3.
3.a
3.b
3.c
3.d
4.
On poseω=2πet on notela fonction deℝversℝ:֏cos(ω) .
2
Soit∈ℕ. Montrer que2 +1=22+1.
En déduire, en raisonnant par récurrence surque :∀∈ℕ,2=2.
Démontrer aussi que∀∈ℕ,∀∈ℕ,2 =2.
Etendre cette propriété à tout∈ℤ.
e=∈ℤ∈ℕ.
On form2/ ,
4.a
4.b
Etablir que tout réel est limite d’une suite d’éléments de.
En déduire que=.