Sujet : Géométrie, Etude d'un courbe en coordonnées polaires

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes en coordonnées polaires. Etude métrique.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Etude d’une courbe en coordonnées polaires

On munit le planℝ2de son repère orthonormé direct canonique=(;,) .
   
Pourθ∈ℝon noteθ=cosθ+sinθetθ= −sinθ+cosθles vecteurs de la base polaire d’angleθ.
SoitΓla courbe d’équation polaireρ=ρ(θ)=cos3(θ3) avecθ∈ℝi.e. la courbe de point courant(θ)

défini par(θ)=ρ(θ)θ.
1.a Comparer(θ) et(θ+3π) .

1.b

1.c

1.d

2.a

2.b

3.a

3.b

Comparer(θ) et(θ) .
−
On limite désormais l’étude deΓàθ∈0,3π2

Dresser le tableau de variation deθ֏ρ(θ)=cos3(θ 0,33) surπ2 .

Donner l’allure de la courbeΓautour du point de paramètreθ=3π2 .
On y précisera le sens de parcours desθcroissants.
Obtenir une détermination angulaireα(θ tout point de paramètre) enθ∈0,3π2 .

Calculer la courbure deΓen tout point de paramètreθ∈0,3π2

Tracer l’intégralité de la courbeΓen prenant une unité égale à 5 cm.
On précisera les tangentes aux points de paramètresθ=0,π2 etπ.
Calculer la longueur de la courbeΓ.