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Publié par | geometrie-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Courbes du plan
Exercice 1[ 00576 ][correction]
Quels sont les arcs réguliers de classeC2 ?de courbure constante
Exercice 2[ 00577 ][correction]
Quels sont les arcs biréguliers de classeC2vérifiantR= 1 +s2oùRdésigne le
rayon de courbure au point courant ?
Enoncés
Exercice 3[ 00578 ][correction]
Quels sont les arcs biréguliers de classeC2vérifiantR=√1−s2oùRdésigne le
rayon de courbure au point courant ?
Exercice 4[ 00575 ][correction]
SoitfunC1difféomorphisme d’un ouvertUvers un ouvertVdeR2.
a) Montrer que siΓ = (I M)est un arc régulier inscrit dansUalors l’arc
f(Γ) = (I f◦M)est aussi un arc régulier.
b) Montrer que si en touta∈U,df(a)est une similitude directe alorsfconserve
˜
les angles orientés dans le sens suivant : siΓetΓsont deux arcs réguliers se
˜
coupant enMalorsf(Γ)etf(Γ)se coupent enf(M)et l’angle entre les
tangentes enMest égal à l’angle entre les tangentes enf(M).
c) Soitfl’application deR2 {O}vers lui-mme d’expression complexez7→1z.
Montrer quefconserve les angles orientés.
Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02918 ][correction]
Soitf∈ C1(R+R). Six∈R+, on notePxle point intersection de la tangente au
graphoentdreerfa,us−OpPo→intd’abseilcesnsuteimixcaeuqdnvaxOx→.
−
a) M ixa+∞que le graphe defa une
asymptote.
b) Montrer, par un contre-exemple, que la réciproque de a) est fausse.
Exercice 6[ 01339 ][correction]
SoitM0un point birégulier d’un arc de classeC3.
Exprimer en fonction du rayon de courbure enM0un équivalent quandM→M0
de
L(M0M)−M0M
oùL(M0M)désigne la longueur de l’arc d’extrémitésM0etM.
1
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Par changement de paramétrage, une solution en devient une autre. Limitons
nous à la recherche des paramétrages normaux.
Si notre arc est à courbure constante non nulleγ= 1R.
Odα=1
n ads Rdoncα(s) =α0+sR. Le système
dx
cosα=d
s
sinα=ddys
donne alors
(xy((ss)=)=xy00−+RRo(s(snicαα((ss))))
Corrections
et par suite le support de notre arc est inclus dans un cercle.
Si notre arc est à courbure nulle, on montre de façon semblable que notre arc est à
son support inclus dans une droite.
Inversement, les arcs proposés sont bien à courbure constante.
Exercice 2 :[énoncé]
Soit un arc solution. On recherche notre arc par le biais d’un paramétrage normal
et on reprend les notations standards.
On a
dα1 1
γ=ds=R= 1 +s2
doncα= arctans+α0. Quitte à réaliser une rotation du repère, on peut supposer
α0= 0.
Le système
snicosαα==ddddsysx
donne alors
dx1
=
ddsy√1s+s2
ds=√1 +s2
d’où
(xy==aprg1sh(+ss)2++yx00
La réciproque est immédiate.
Notons que l’arc solution est inclus dans la courbe d’équation cartésienne
y=p1 +sh(x−x0)2+y0=ch(x−x0) +y0.
Cette courbe est une chaînette.
2
Exercice 3 :[énoncé]
Soit un arc solution. On recherche notre arc par le biais d’un paramétrage normal
et on reprend les notations standard.
1
On aγ=ddsα=R1=√1−s2doncα= arcsins+α0. Quitte à réaliser une rotation
ddx=p1s2
−
du repère, on peut supposerα0= 0.=ddxsd
s
sincosαα=ddysdonne alorsdsy=s
d’oùxy=1=12s2p1−s2rcsi+12ans+x0. L
a réciproque est entendue.
2s+y0
x1=s2niαcosα+12α+x0=14(sint+t) +x0
Notons quey=nis212α+y0=−co14st+y00avect= 2α. L’arc
apparaît comme inclus dans une arche de cycloïde.
Exercice 4 :[énoncé]
a) En effetf◦MestC1par composition et(f◦M)0(t) = df(M(t))(M0(t))6= 0
carM0(t)6= 0etdf(M(t))est injective.
˜
b) Les tangentes enMsont dirigées parM0(t)etM0(t). Celles enf(M)sont
dirigées par les images de ces vecteurs pardfMor cette dernière conserve les
angles orientés car est par hypothèse une similitude directe.
c) SiM(x y)alorsM0(x0 y0)avecx0=x2x+y2ety0=x2−+yy2. L’application
f:M7→M0est unC1difféomorphisme deR2 {O}vers lui-mme etdfMa pour
matrice(x2+1y2)2y22−xyx2y2−2−xxy2. Cette matrice est de la forme
x2+1y2nicossθθ−csosinθθdoncdfMest une similitude d
irecte.
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Exercice 5 :[énoncé]
a) L’abscisse dePxestx−f(x)f0(x). L’hypothèse posée signifie donc
Ainsi, on peut écrire
x−f(x)f0(x)−−−−→`∈R
x→+∞
f(x)f0(x) =x−`+o(1)
Corrections
Pourx→+∞,x−`+o(1)→+∞et donc, il existea∈R+, tel quef(x)6= 0
pour toutx>a.
On peut alors passer à l’inverse et écrire
01`
ff((xx=+))2+ox12
x x
puis en intégrant deaàxon obtient
ln|f(x)| −ln|f(a)|= lnx−lna−`x+`a+Zxaot12dt
Or
x
Zot12dt=Za+∞ot12dt−Zx+∞ot12dt
a
et
Zx+∞ot12dt=oZx+∞td2t=o1x
donc la relation précédente donneln|f(x)|= lnx+Cte−x`+ox1
puis|f(x)|= eCxe−x`+o(x1e=)Cx1−x`+ox1.
Enfin puisquefest de signe constant sur[a+∞[(car continue et ne s’annulant
pas), on obtient une relation de la formef(x) =αx+β+o(1)qui donne la droite
d’équationy=αx+βasymptote à graphe defen+∞.
b) Considéronsf(x) =x+sinx x. La droite d’équationy=xest asymptote au
x2cosx−2xsinx
graphe defen+∞etx−ff0((xx))=x−x2+xx3c+oxs sxin−sxinx x2+xcosx−sinx.
=
Pourx= 2nπ,x−ff0((xx))−n−∞→1et pourx= (2n+ 1)π,x−ff0((xx))−n−∞→ −1.
Ceci fournit un contre-exemple.
Exercice 6 :[énoncé]
Considérons un paramétrage normals7→M(s)de l’arc étudié au voisinage deM0,
paramétrage normal choisit de sorte queM0=M(0).
La formule de Taylor-Young à l’ordre 3 en 0 donne
−M−0−M→(s) dO−−M→12d2d−sO−2M→+16s3d3d−sO−3M→+o(s3)
=sd +s
s2
En introd nt le~−→
uisa s vecteursTetNde la base de Frént enM0, on a
−
dO−M−→d2−−→~−−
=T→dO2Mdd=sT= 1R~Netd3dOs3M→d=ds1N~R=−R12ddRNs~−R12T~
ds,s
On en déduit
12
−M−0−M→(s) =s−16R2s3+o(s3)T~+2 RR s12ddssR3+o(s3)N~
−
puis
M0M(s) =rs2−121R2s4+o(s4) =s−241R2s3+o(s3)
SachantL(M0M) =s, on obtient
L(M0M)−M0M∼214R2s3quandM→M0
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