Sujet : Géométrie, Géométrie du plan, Barycentre

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Barycentre Exercice 1 [ 01908 ] [correction] Soit n entier naturel non nul, considérons (A ,A ,...,A ) et (B ,B ,...

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Barycentre

Exercice 1[ 01908 ][correction]
Soitnentier naturel non nul, considérons(A1 A2     An)et(B1 B2     Bn)
deux familles denpoints du plan dont on note respectivementGetHles
isobarycentres. Montrer que
n
XA−i−B→i=nG−→H
i=1

Enoncés

Exercice 2[ 01909 ][correction]
SoientA B C A0 B0 C0six points du plan.
On noteGetG0les isobarycentres respectifs des familles(A B C)et(A0 B0 C0).
on
a) M trer−→0−B−B→0+C−−C→0= 3G−−G→0
AA+

b) Montrer queGetG0sont confondus si, et seulement si, il existe un pointMtel
que les figures(BA0CM)et(B0AC0M)soient des parallélogrammes.

Exercice 3[ 01910 ][correction]
Montrer que l’ensemble des barycentres de deux points distinctsAetBest la
droite(AB).
Montrer que si les pointsA B Cne sont pas alignés, tout point du plan est
barycentre de ces trois points.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par la relation de Chasles
n n n n
−−→
XAiBi=XA−−i→G+XG−→H+X−H−B→i=~0 +nG−→H+~0 =nG−→H
i=1i=1i=1i=1

Exercice 2 :[énoncé]
a) Par la relation de Chasles
−−−
A−A→0=A−→G+GG→0+G−0A→0

Corrections

puis
−−
A−A→0+B−−B→0+−C−C→0=A−→G+−G0−A→0+B−→G+G−0−B→0+C−→G+G−0−C→0+ 3−G−G→0= 3GG→0

b)BA0CM(resp.B0AC0M) est−u−n→parallélogramme si, et seulement si, si
M=C+A−−0→B(resp.M=C0+AB0).
etB0AC0M i, etsont de
Il existeMtels qu−e−→BA=0CC0M+A−−B→0s parallélogrammes s
seulement si,C+A0B
soitA−A→0+B−−B→0+C−−C→0= 3G−−G→0=~0i.e.G=G
0

cé
−
SEixGer=cicbear3{(:A[én1o−nλA)]M(B=λλ)}−→Bsrcnoolda−A→GM==λbA→BdoncG∈(AB).
−
SiM∈(AB)alors−→Aar((A1−λ)(B λ)).
oin ut écrire
SA−i−M→A=ABλC−→Bno+nµal−Aig→ClornésaodcnMs p=bartoour{u(tAp1−tMλ−dµu)(plBanλo)n(Cpeµ)}.

2

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