Les calculatrices sont autorisées

Vincent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4

• redaction

1 / 6 Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On note : ? : l'ensemble des entiers naturels, ? \ : l'ensemble des nombres réels, ? ^ : l'ensemble des nombres complexes. Pour z appartenant à ^ , on note z son module. Pour tout entier naturel n, on note : ? !n la factorielle de n avec la convention 0! 1= , ? a b0, n l'ensemble des entiers naturels k vérifiant 0 k n≤ ≤ , ? n k ? ?? ?? ? le nombre de parties ayant k éléments d'un ensemble de n éléments, pour a b0,k n? . On rappelle : ? la valeur de n k ? ?? ?? ? : ( ) ! ! ! n k n k? pour a b0,k n? ,

• convergence de la série


• combinaison linéaire des sommes


• ?? ?


• combinaison


• sommes ks


• n?


• entier naturel

Sujets

• Redaction
• Combinaison
• Entier naturel

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On note : ` :l'ensemble des entiers naturels,  \  :l’ensemble des nombres réels,  ^  :l’ensemble des nombres complexes. Pour z appartenant à ^ ,on notezson module. Pour tout entier natureln, on note :  n!  la factorielle de n  avec la convention 0!=1 , 0,n l'ensemble des entiers naturels k  vérifiant0k≤n,  n  nombre de parties ayant le k  éléments d'un ensemble de n  éléments,   k    pour k ∈0, n . On rappelle :  n  n! : pourla valeur dek∈0,n,   k k! ( n−k ) !  

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la formule du binôme : si z  et z  sont des nombres complexes et n  un entier naturel, 1 2 n n  n  k n−k ∑  alors: ( z + z ) = z z . 1 2   1 2 k   k=0 n 1 11 Enfin si n est un entier naturel non nul on noteσla somme=1+ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + n ∑ k=1 k2n  eton pose σ =0 . 0 Objectifs : Dans les parties I et II on étudie un procédé de sommation, la partie III est consacrée à l’étude de diverses fonctions et en particulier une fonctionà laquelle on applique ledit procédé de sommation. Étude d’un procédé de sommation Dans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes : Toute application de ` dans ^ étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation usuelle a ( n ) =a . n n 1  n  * * ar :pour tout n ∑   Á toute suite complexe a , on associe la suiteadéfinie p n ∈ ` ,a n =a k . 2 k=0 k   * L’objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la série a aux propriétés de la série ∑ n n≥0 ∑ n a . n≥0 PARTIE I Deux exemples I.1/ Casd’une suite constante. * e a est définie par : pour tout n∈` ,a=.  Soitα∈^; on suppose que la suit n n  n  ∑   I.1.1pour/ Expliciter n∈` . k   k=0 * I.1.2/ Expliciterapour n ∈ ` . n * ∑ n ∑ n I.1.3 série/ Laa( resp.a) est –elle convergente ? n ≥ 0n ≥ 0 I.2/Cas d’une suite géométrique. n ut n∈ ,a=z.  Soitz∈^; on suppose que la suite a est définie par : pour to ` n 2 / 6

* I.2.1/ Exprimer a en fonction de z etn. n I.2.2 / Onsuppose que z <1. +∞ ∑  I.2.2.1la convergence de la série/ Justifieraet expliciter sa sommeA ( z ) =a. n n n≥0n=0 +∞ * * I.2.2.2/ Justifierla convergence de la série a expliciter sa somme et a  en ∑ n ∑ n n≥0n=0  fonctionde A ( z ) .  I.2.3 suppose que/ On z≥1 . ∑ n I.2.3.1/ Quelleest la nature (convergente ou divergente) de la série a ? n≥0 * I.2.3.2/ Quelleest la nature de a  si z= −2 ? n n≥0 iθ I.2.3.3 / Onsuppose quez = eréel tel que, avec 0<θ<π *  Montrerque la sérieaest convergente. Calculer la partie réelle et la n n≥0 +∞ *  partieimaginaire de la sommea. n n=0 PARTIE II Étude du procédé de sommation * Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose que la suite a est à valeurs réelles, la suiteaétant n 1  n  * . toujours définie par : pour tout n∈` ,a n = n ∑  a k  2 k   k=0 II.1/ Comparaisondes convergences des deux suites. * II.1.1/ Soitn∈`, on considère un entier k fixé, k ∈0, n .  n  II.1.1.1/  Préciserun équivalent delorsque n tend vers +∞ .   k   1  n  II.1.1.2 / Enlorsquedéduire la limite de n  tend vers +∞ . n   2 k   II.1.2/ Soient a une suite réelle etqun entier naturel fixé. q  n  a k q ∑   On considère pourn>qla sommeS ( n,a ) =. n k = 0  k  2  Quelleest la limite de S ( n,a ) lorsque l’entier n tend vers +∞ ? q 3 / 6

II.1.3/ suppose que Ona tend vers 0 lorsque n  tend vers +∞ ; n * Montrer que a tend vers 0 lorsque n  tend vers +∞ . n II.1.4 suppose que/ Onatend vers l (limite finie) lorsque n tend vers +∞ . Quelle est la n *  limitedealorsque n tend vers +∞ ? n II.1.5/ convergence de la suite La ( a )  est-elle équivalente à la convergence de la suite n n∈` * ( a ) ? n n∈` * ∑ ∑ II.2/ Comparaisondes convergences des sériesa eta. n n n≥0n≥0 n n *n n ∑ k T = a,U =2 T .  Pour n∈` , on noteS = a, n k n n k=0k=0  II.2.1/Pour n∈ 0, 3, exprimerU comme combinaison linéaire des sommesS, n k n  c’està dire sous la forme U =λ S . ∑ n n,k k k=0 II.2.2/On se propose de déterminer l'expression explicite deU commecombinaison n  linéairedes sommesS pour k ∈0, n : k n ∑ ( E ) U n =λ n,k S k  pour n∈` . k=0 II.2.2.1 / A quelle expression des coefficientsλ (en fonction den etk) peut-on n,k  s'attendrecompte tenu des résultats obtenus à la questionII.2.1? II.2.2.2par récurrence sur l'entierla formule/ Etablirn (on pourra remarquer ( )  quepour tout k∈0,n :a=S−S avec la conventionS=0 ). k kk−1−1 II.2.3/On suppose que la série a  est convergente. n n≥0 +∞ * *  Montrerque la sériea est convergente et exprimer la sommeaen ∑ n ∑ n n≥0 n=0 +∞  fonctionde la sommea. ∑ n n = 0 ∑  II.2.4/La convergence de la sériea est-elle équivalente à la convergence de la série n n≥0 * a? ∑ n n≥0

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PARTIE III Une étude de fonctions n 1 * On rappelle que :σ=pourn∈`etσ=0 . n ∑ 0 k=1 k Pour réel,lorsque cela a du sens, on pose : +∞ n +∞ n +∞ x σ n n ∑∑ f ( x ) =;g ( x ) =; ϕ ( ) ∑ σ n =x. n=0 ( n+1 ) ! n=0 n ! n=0 III.1/Étude de . III.1.1que est/ Vérifierdéfinie et continue sur\. III.1.2/ Expliciterf ( x ) pour toutréel. −x III.1.3 / Expliciter e fx ) pour toutréel. III.2 / de Étude g. 1 III.2.1/ Montrerquegsurest définie et de classe\. III.2.2/ Ondésigne parg'la dérivée de la fonctiong; exprimerg'−gen  fonctionde . III.2.3 / Montrerréel :que pour tout x x−t g ( x ) =e ef ( t ) dt . ∫ 0 III.3/La fonctionF.  Onconsidère la fonctionFdéfinie sur\par : x −t F ( x ) =e f ( t ) dt. ∫ 0 III.3.1 / Montrerque la fonction F est développable en série entière sur\et  expliciterson développement. k+1 n ( −1 ) * γ=. III.3.2/ Pourn∈`, on note n ∑ k=1 k ( k! ) ( n−k ) !  Exprimerγen fonction denetσ. n n

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k+1 ( −1 ) III.4/La série . ∑ k≥1 k *  Pourn∈`on note ln ( n ) le logarithme repérien de n .  k+1  1 * III.4.1/ Soitw=ln−pourk∈` k    k  k+1 III.4.1.1/ Montrerque la sériewest convergente. ∑ k k≥1 III.4.1.2 déduire que la suite de terme général/ En σ−ln ( n ) admet une limite n  finie(que l’on ne demande pas de calculer) lorsquentend vers∞. k+1 n ( −1 ) * III.4.2/ Pourn∈ ` , on poseτ=; exprimeren fonction ∑ n 2n k=1 k  deσetσ. 2n n k+1 ( −1 ) III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la sérieest ∑ k≥1 k k+1 +∞ ( −1 ) ∑  convergenteet déterminer sa somme. k=1 k III.5/Étude de la fonction . +∞ n  Onrappelle quepour réelϕ ( ) =σx. ∑ n n=0 n ∑ n III.5.1de la série entière/ Déterminerle rayon de convergenceσ. n≥1 III.5.2/ Préciserl’ensemble de définition∆de la fonctionϕ, et étudier ses  variationssur [ 0,.  1  III.5.3/Valeur deϕ.    2   Enutilisant les résultats de la partie II et de la question III.4.3 expliciter la  1   valeurdeϕ.    2   1  III.5.4/ Expliciterϕ ( ) àpour appartenant∆et retrouver la valeur deϕ.    2  Fin de l'énoncé 6 / 6