Les calculatrices sont autorisées
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Les calculatrices sont autorisées

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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4

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1 / 6 Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On note : ? : l'ensemble des entiers naturels, ? \ : l'ensemble des nombres réels, ? ^ : l'ensemble des nombres complexes. Pour z appartenant à ^ , on note z son module. Pour tout entier naturel n, on note : ? !n la factorielle de n avec la convention 0! 1= , ? a b0, n l'ensemble des entiers naturels k vérifiant 0 k n≤ ≤ , ? n k ? ?? ?? ? le nombre de parties ayant k éléments d'un ensemble de n éléments, pour a b0,k n? . On rappelle : ? la valeur de n k ? ?? ?? ? : ( ) ! ! ! n k n k? pour a b0,k n? ,

  • convergence de la série

  • combinaison linéaire des sommes

  • ?? ?

  • combinaison

  • sommes ks

  • n?

  • entier naturel


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Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On note : ` :l'ensemble des entiers naturels, \ :l’ensemble des nombres réels, ^ :l’ensemble des nombres complexes. Pourzappartenant à^,on notezson module. Pour tout entier natureln, on note : n! la factorielle den avec la convention0!=1, 0,n l'ensemble des entiers naturelsk vérifiant0kn, nnombre de parties ayant lek éléments d'un ensemble den éléments,   k    pourk0,n. On rappelle : nn! : pourla valeur dek0,n,   kk!(nk)!  
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la formule du binôme : siz etz sont des nombres complexes etn un entier naturel, 1 2 n nnk nk  alors:(z+z)=z z. 1 2 1 2 k   k=0 n 1 11 Enfin sinest un entier naturel non nul on noteσla somme=1+ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +nk=1k2n  eton poseσ=0 . 0 Objectifs :Dans les parties I et II on étudie un procédé de sommation, la partie III est consacrée à l’étude de diverses fonctions et en particulier une fonctionà laquelle on applique ledit procédé de sommation. Étude d’un procédé de sommationDans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes : Toute application de`dans^étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation usuellea(n)=a. n n 1n* * ar :pour tout n  Á toute suite complexea, on associe la suiteadéfinie pn`,an=ak. 2k=0k   * L’objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la sérieaaux propriétés de la série n n0 n a. n0 PARTIE IDeux exemples I.1/ Casd’une suite constante. * eaest définie par : pour toutn`,a=.  Soitα^; on suppose que la suitn n n  I.1.1pour/ Explicitern`. k   k=0 * I.1.2/ Expliciterapourn`. n * nn I.1.3série/ Laa( resp.a) est –elle convergente ? n0n0 I.2/Cas d’une suite géométrique. n utn,a=z.  Soitz^; on suppose que la suiteaest définie par : pour to`n 2 / 6
* I.2.1/ Exprimeraen fonction dezetn. n I.2.2/ Onsuppose quez<1. +∞  I.2.2.1la convergence de la série/ Justifieraet expliciter sa sommeA(z)=a. n n n0n=0 +∞ * * I.2.2.2/ Justifierla convergence de la sérieaexpliciter sa somme eta en nn n0n=0  fonctiondeA(z).  I.2.3suppose que/ Onz1. n I.2.3.1/ Quelleest la nature (convergente ou divergente) de la sériea? n0 * I.2.3.2/ Quelleest la nature dea siz= −2? n n0 iθ I.2.3.3/ Onsuppose quez=eréel tel que, avec0<θ<π*  Montrerque la sérieaest convergente. Calculer la partie réelle et la n n0 +∞ *  partieimaginaire de la sommea. n n=0 PARTIE IIÉtude du procédé de sommation * Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose que la suiteaest à valeurs réelles, la suiteaétant n 1n* . toujours définie par : pour toutn`,an=nak 2k   k=0 II.1/ Comparaisondes convergences des deux suites. * II.1.1/ Soitn`, on considère un entierkfixé,k0,n. nII.1.1.1/ Préciserun équivalent delorsquentend vers+∞.   k   1nII.1.1.2/ Enlorsquedéduire la limite den tend vers+∞. n  2k   II.1.2/ Soientaune suite réelle etqun entier naturel fixé. q na k q  On considère pourn>qla sommeS(n,a)=. n k=0k2  Quelleest la limite deS(n,a)lorsque l’entierntend vers+∞? q 3 / 6
II.1.3/suppose que Ona tend vers0lorsquen tend vers+∞; n * Montrer queatend vers 0 lorsquen tend vers+∞. n II.1.4suppose que/ Onatend versl(limite finie) lorsquentend vers+∞. Quelle est la n *  limitedealorsquentend vers+∞? n II.1.5/convergence de la suite La(a) est-elle équivalente à la convergence de la suite n n` * (a)? n n` * ∑ ∑ II.2/ Comparaisondes convergences des sériesa eta. n n n0n0 n n *n nk T=a,U=2T.  Pourn`, on noteS=a,n kn n k=0k=0  II.2.1/Pourn0, 3, exprimerU comme combinaison linéaire des sommesS, n k n  c’està dire sous la formeU=λS. n n,k k k=0 II.2.2/On se propose de déterminer l'expression explicite deU commecombinaison n  linéairedes sommesS pourk0,n: k n (E)Un=λn,kSk pourn`. k=0 II.2.2.1/ A quelle expression des coefficientsλ (en fonction den etk) peut-on n,k  s'attendrecompte tenu des résultats obtenus à la questionII.2.1? II.2.2.2par récurrence sur l'entierla formule/ Etablirn (on pourra remarquer ( )  quepour toutk0,n:a=SS avec la conventionS=0 ). k kk11 II.2.3/On suppose que la sériea est convergente. n n0 +∞ **  Montrerque la sériea est convergente et exprimer la sommeaen nn n0n=0 +∞  fonctionde la sommea. n n=0  II.2.4/La convergence de la sériea est-elle équivalente à la convergence de la série n n0 * a? n n0
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PARTIE IIIUne étude de fonctions n 1* On rappelle que :σ=pourn`etσ=0 . n0 k=1k Pour réel,lorsque cela a du sens, on pose : +∞n+∞n+∞ xσn n f(x)=;g(x)=;ϕ( )σn =x. n=0(n+1)!n=0n!n=0 III.1/Étude de . III.1.1que est/ Vérifierdéfinie et continue sur\. III.1.2/ Expliciterf(x)pour toutréel. x III.1.3/ Explicitere fx)pour toutréel. III.2/de Étudeg. 1 III.2.1/ Montrerquegsurest définie et de classe\. III.2.2/ Ondésigne parg'la dérivée de la fonctiong; exprimerg'gen  fonctionde . III.2.3/ Montrerréel :que pour tout x xt g(x)=e ef(t)dt. 0 III.3/La fonctionF.  Onconsidère la fonctionFdéfinie sur\par : x t F(x)=e f(t)dt. 0 III.3.1/ Montrerque la fonctionFest développable en série entière sur\et  expliciterson développement. k+1 n (1) * γ=. III.3.2/ Pourn`, on notenk=1k(k!) (nk)!  Exprimerγen fonction denetσ. n n
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k+1 (1) III.4/La série . k1k *  Pourn`on noteln(n)le logarithme repérien den. k+11* III.4.1/ Soitw=lnpourk`k  kk+1 III.4.1.1/ Montrerque la sériewest convergente. k k1 III.4.1.2déduire que la suite de terme général/ Enσln(n)admet une limite n  finie(que l’on ne demande pas de calculer) lorsquentend vers. k+1 n (1) * III.4.2/ Pourn`, on poseτ=; exprimeren fonction n2n k=1k  deσetσ. 2n n k+1 (1) III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la sérieest k1k k+1 +∞ (1)  convergenteet déterminer sa somme. k=1k III.5/Étude de la fonction . +∞ n  Onrappelle quepour réelϕ( )=σx. n n=0 n n III.5.1de la série entière/ Déterminerle rayon de convergenceσ. n1 III.5.2/ Préciserl’ensemble de définitionde la fonctionϕ, et étudier ses  variationssur[0,. 1III.5.3/Valeur deϕ.   2 Enutilisant les résultats de la partie II et de la question III.4.3 expliciter la 1 valeurdeϕ.   21III.5.4/ Expliciterϕ( )àpour appartenantet retrouver la valeur deϕ.   2Fin de l'énoncé6 / 6