Master “Mathematiques Informatique” MAT403 Universite J Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1 “Mathematiques, Informatique”, MAT403 Universite J. Fourier 2005-2006 Corrige du DS du 26 octobre Exercice 1. [6=1+2,5+2,5 points] 1. Soit h ? Lipk, 0 < k ≤ 1. Alors C = pk(h) < ∞ et |h(t)?h(s)| ≤ C|t?s|k pour tout s, t ? I (on obtient cette inegalite par symetrie si t < s et elle est triviale pour s = t). Donc |h(t)?h(s)| ? 0 quand t ? s et h est continue sur I. 2. Si h ? Lipk alors h est bornee sur le compact I d'apres 1., d'ou 0 ≤ ?h?∞ = supt?I |h(t)| < ∞. Comme de plus 0 ≤ pk(h) < ∞ (par hypothese), on a bien ?h?k,∞ = pk(h) + ?h?∞ ? [0,∞[. Puisque ?.?∞ est une norme, il suffit de verifier l'inegalite triangulaire pour pk. On l'obtient en prenant le sup sur s, t ? I (s < t) dans les deux membres de l'inegalite |h1(t) + h2(t)? h1(s)? h2(s)| |t? s|k ≤ |h1(t)? h1(s)| |t? s|k + |h2(t)? h2(s

• vertu de la linearite et de la continuite de ?


• pk


• norme ?


• consequence du theoreme de lusin


• inegalite precedente


• inegailite triangulaire


• theoreme de convergence dominee

Sujets

• Théorème de convergence dominée

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Extrait

Master1“Math´ematiques,Informatique”,MAT403

Corrig´eduDSdu26octobre

Universite´J.Fourier 20052006

Exercice 1.[6=1+2,5+2,5 points] k 1. Soith∈Lip ,0< k≤1. AlorsC=p(h)<∞et|h(t)−h(s)| ≤C|t−s|pour touts, t∈I(on k k obtientcettein´egalit´eparsyme´triesit < set elle est triviale pours=t). Donc|h(t)−h(s)| →0 quandt→sethest continue surI. 2. Sih∈Lip alorshtcapmocrnbosteleures´eIse`rpa’d’o`u1.,d0≤ khk ∞ = sup|h(t)|<∞. k t∈I Comme de plus 0≤p k (h)<∞thpose`e(phyarn,)nobaeikhk k,∞ =p k (h) +khk ∞ ∈[0,∞[. Puisquek.k ∞ repoudeffitsuile,rmnoneutselairanguetrilit´e´ag’lnifiire´vrep k . Onl’obtient en prenant le sup surs, t∈I(s < tda)uedselsnserbmemxdel’in´egalit´e |h 1 (t) +h 2 (t)−h 1 (s)−h 2 (s)| |h 1 (t)−h 1 (s)| |h 2 (t)−h 2 (s)| ≤+ k kk |t−s| |t−s| |t−s| avech 1 , h 2 ∈on aLip . Finalement,khk k,∞ ⇒ khk ∞ = 0⇒h´vrefiife0=tenotqueacilemen k khk k,∞ =|λ|khk k,∞ siλ∈C. . l’espace vectorieLip tede 3.Montronsquelnorme´( k ,k.k k,∞ ) est complet.Soit (h n ) n∈N une sui Cauchy dans (Lipk.k). Alorh− k , k,∞ s∀ε >0,∃N∈N,m, n≥N⇒ |h n (t)−h m (t)| ≤ k n h m k k,∞ ≤εrtou,pntueeqs´oncraP.uott∈Ie´(,xfih n (t)) n∈N est de Cauchy dansC. Cette suite est donc convergente, notonsh(t) sa limite.On a :   |h n (t)−h m (t)−h n (s) +h m (s)| p k (h n −hsup lim) = k m→∞ |t−s| s,t∈I,s<t   |h n (t)−h m (t)−h n (s) +h m (s)|   ≤sup sup≤suph n −h m . k k,∞ |t−s| m≥n s,t ∈ I,s<t m≥n Il s’ensuit quep k (h n −h)→0 quandn→ ∞tnomedermeˆmfc(eou.c)qrsue.Onkh n −hk ∞ →0 d’ou`kh n −hk k,∞ →0. Enparticulier,kh n k k,∞ → khk k,∞ taiul)eretr´engiainl’ar(pitilga´e puisque (kh n k k,∞ ) n∈N orn´ee(cra(estbh n ) n∈N est de Cauchy pourk.k k,∞ ) on a bienkhk k,∞ <∞ d’o`uh∈Lip . k Exercice 2.[8=2,5+1,5+3+1 points] (k) 1. Soit (a) k∈N une suite dans (c 0 (N),k.k ∞ ) convergeant versa. Pourk∈Ntriec´no,e´xfi (k) (k) (k) (k) (k) (k) a= (a ,a ,∙ ∙ ∙a n ,∙ ∙ ∙). Alors∀ε >0,∃k∈N,|a n −a n | ≤ ka−ak ∞ ≤ε∀n∈N. 0 1 On peut prendre la limiten→ ∞(aveckpeonutersts,me´xfittein´ege)danscedna’tuerlatie´e( (k) inverser les limitesk→ ∞etn→ ∞car la convergence desa n versa n est uniforme enn). (k) (k) Puisquea n ∈c(N),a n →0 et l’on obtient limsup|a| ≤εprouve que. Cecia→0 et 0 n→∞ n n donca∈c 0 (N). ∞ Variante :L’ensembleM={a∈`(N); lim n→∞ a n existe}muni de la normek.k ∞ est un espacevectorielnorm´e.Pourcettenorme,laformeline´aireϕ:a7→lim n→∞ a n surMest −1 born´eeetdonccontinue.Ilende´coulequec 0 (N) =ϕ(0)⊂M´ermurpoeeftsk.k ∞ . 1 2. Soitb∈`(N). Alors ∞ ∞ X X |ϕ b (a)|| ≤a n b n | ≤ kak ∞ |b n |=kak ∞ kbk 1 ∀a∈c 0 (N). n=0n=0 Onend´eduitqueϕ b us(rbiendoncnie)d´efieobtse´nrte(ec 0 (N),k.k ∞ ) et quekϕ b k ≤ kbk 1 . Or 0 ϕ b alctseltnemerid,nocnie´iaerϕ b ∈c 0 (N) .

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0 3. Soitϕ∈c 0 (N) .On poseϕ(e n ) =b n avece n = (0,∙ ∙ ∙,0,1,0,∙ ∙ ∙)∈c 0 (N) (1 enn`imee position).Envertudelalin´earit´eetdelacontinuite´deϕ, ∞ ∞ X X a=a n e n ∈c 0 (N)⇒ϕ(a) =a n ϕ(e n ) =ϕ b (a) n=0n=0 (las´eriedegaucheconvergepourlanormek.k ∞ cara n →0 quandn→ ∞).Ilerts`emanortre 1 queb∈`(Nchoisit :). On ( b sin≤ketb n 6= 0 (k) |b n | a= n 0 sinon. (k) (k) Alorsa∈c 0 (N) etkak ∞ = 1.Commeϕbtseeii,vele´:ntrno k X   (k) ϕ a=|b n | ≤ kϕk<∞ ∀k∈N n=0 1 d’o`ub∈`(Nede)L.’unicit´bd´ecedeluoϕ b (e n ) =ϕ(e n ) =b n ∀n∈N. 4.D’apr`esl’ine´galite´pre´c´edenteonakbk 1 ≤ kϕ b kceinverseen2.,done´rtni’lage´´tilOn.onam 10 kbk 1 =kϕ b k. AinsiJ:b∈`(N)7→ϕ b ∈c 0 (Ne`3sa’rp)..surjtrieve(dectiutse)e´mosien 010010 ∞ On peut donc identifierc 0 (N) avec`(N) et l’on ac 0 (N) =`(N) =`(N). Maisc 0 (N) est ∞ strictement inclus dans`(N), doncc 0 (Ne’n)aptsf.´esrxifle Exercice 3.[8=2+3+3 points] ∞2 1. Soitf∈L([0,1]) etg∈X=L([0,1]). Alors Z Z 1 1 2 22 22 2 kM(g)k=|f(t)g(t)|dt≤ kfk ∞ |g(t)|dt=kfk ∞ kgk. f X L LX 0 0 DoncM f :g7→f gest une applicationX→Xfenimastiequ,.n´eetboretesiaernie´nelttsme De plus,kM f k ≤ kfk L . ∞ 2. Pourmontrer quekM f k=kfk L , il suffit de trouver une suite de fonctionsg n ∈Xnafiire´v:t ∞ kf g n k X sup≥ kfk L . ∞ kg n∈N n k X Soitn∈Ndre´.aPitfinndioek.k L ,∃Ω n ⊂[0,1] de mesure|Ω n |>0 tel que|f(t)| ≥ ∞ kfk L −1/npour toutt∈Ω n . Onpose : ∞  1  sit∈Ω n |Ω n | g n (t) =  0 sinon. R 2−1 Alorskg n k=|Ω n |dt= 1 et X Ω n   Z 1/2 kf g n k X 1 2 =kf g n k X =|f(t)|dt≥ kfk L −1/n . ∞ kg n k X |Ω n | Ω n Le sup surnl`gaandra´eounopculgscuehsedtmbredegadumekfk L d,u`o’kM f k=kfk L . ∞ ∞ ∞ Cecimontrequel’applicationlin´eaireI:f∈L([0,1])7→M f ∈ L(Xustiseen)e´moeirtniA.,si ∞ ∞ on peut identifierL([0,1]) avecI(L([0,1]))⊂ L(X). 3. (a)SoitE=C([0,sait que (1]). OnE,k.k ∞ )selptectmoncfeetdo.Comrm´emeIest une isome´trieetpuisquekgk ∞ =kgk L pour toute fonction continueg∈Equitdu´endne,oe ∞ I(Eade´mreftse)ns(L(X),k.k).

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