Master “Mathematiques Informatique” MAT403 Universite J Fourier
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1 “Mathematiques, Informatique”, MAT403 Universite J. Fourier 2005-2006 Corrige du DS du 26 octobre Exercice 1. [6=1+2,5+2,5 points] 1. Soit h ? Lipk, 0 < k ≤ 1. Alors C = pk(h) < ∞ et |h(t)?h(s)| ≤ C|t?s|k pour tout s, t ? I (on obtient cette inegalite par symetrie si t < s et elle est triviale pour s = t). Donc |h(t)?h(s)| ? 0 quand t ? s et h est continue sur I. 2. Si h ? Lipk alors h est bornee sur le compact I d'apres 1., d'ou 0 ≤ ?h?∞ = supt?I |h(t)| < ∞. Comme de plus 0 ≤ pk(h) < ∞ (par hypothese), on a bien ?h?k,∞ = pk(h) + ?h?∞ ? [0,∞[. Puisque ?.?∞ est une norme, il suffit de verifier l'inegalite triangulaire pour pk. On l'obtient en prenant le sup sur s, t ? I (s < t) dans les deux membres de l'inegalite |h1(t) + h2(t)? h1(s)? h2(s)| |t? s|k ≤ |h1(t)? h1(s)| |t? s|k + |h2(t)? h2(s

  • vertu de la linearite et de la continuite de ?

  • pk

  • norme ?

  • consequence du theoreme de lusin

  • inegalite precedente

  • inegailite triangulaire

  • theoreme de convergence dominee


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Master1Math´ematiques,Informatique,MAT403
Corrig´eduDSdu26octobre
Universite´J.Fourier 20052006
Exercice 1.[6=1+2,5+2,5 points] k 1. SoithLip ,0< k1. AlorsC=p(h)<et|h(t)h(s)| ≤C|ts|pour touts, tI(on k k obtientcettein´egalit´eparsyme´triesit < set elle est triviale pours=t). Donc|h(t)h(s)| →0 quandtsethest continue surI. 2. SihLip alorshtcapmocrnbosteleures´eIse`rpado`u1.,d0≤ khk= sup|h(t)|<. k tI Comme de plus 0pk(h)<thpose`e(phyarn,)nobaeikhkk,=pk(h) +khk[0,[. Puisquek.krepoudetsuile,rmnoneutselairanguetrilit´e´aglniire´vrepk. Onl’obtient en prenant le sup surs, tI(s < tda)uedselsnserbmemxdelin´egalit´e |h1(t) +h2(t)h1(s)h2(s)| |h1(t)h1(s)| |h2(t)h2(s)| + k kk |ts| |ts| |ts| avech1, h2on aLip . Finalement,khkk,⇒ khk= 0h´vreife0=tenotqueacilemen k khkk,=|λ|khkk,siλC. . l’espace vectorieLip tede 3.Montronsquelnorme´(k,k.kk,) est complet.Soit (hn)nNune sui Cauchy dans (Lipk.k). Alorhk,k,sε >0,NN,m, nN⇒ |hn(t)hm(t)| ≤ kn hmkk,εrtou,pntueeqs´oncraP.uottIe´(,xhn(t))nNest de Cauchy dansC. Cette suite est donc convergente, notonsh(t) sa limite.On a :   |hn(t)hm(t)hn(s) +hm(s)| pk(hnhsup lim) = k m→∞ |ts| s,tI,s<t   |hn(t)hm(t)hn(s) +hm(s)|   sup supsuphnhm. k k,|ts| mn s,tI,s<t mn Il s’ensuit quepk(hnh)0 quandn→ ∞tnomedermeˆmfc(eou.c)qrsue.Onkhnhk0 dou`khnhkk,0. Enparticulier,khnkk,→ khkk,taiul)eretr´engiainlar(pitilga´e puisque (khnkk,)nNorn´ee(cra(estbhn)nNest de Cauchy pourk.kk,) on a bienkhkk,<do`uhLip . k Exercice 2.[8=2,5+1,5+3+1 points] (k) 1. Soit (a)kNune suite dans (c0(N),k.k) convergeant versa. PourkNtriec´no,e´x(k) (k) (k) (k) (k) (k) a= (a ,a ,∙ ∙ ∙an,∙ ∙ ∙). Alorsε >0,kN,|anan| ≤ kaakεnN. 0 1 On peut prendre la limiten→ ∞(aveckpeonutersts,me´xttein´ege)danscednatuerlatie´e( (k) inverser les limitesk→ ∞etn→ ∞car la convergence desanversanest uniforme enn). (k) (k) Puisqueanc(N),an0 et l’on obtient limsup|a| ≤εprouve que. Cecia0 et 0n→∞n n doncac0(N). Variante :L’ensembleM={a`(N); limn→∞anexiste}muni de la normek.kest un espacevectorielnorm´e.Pourcettenorme,laformeline´aireϕ:a7→limn→∞ansurMest 1 born´eeetdonccontinue.Ilende´coulequec0(N) =ϕ(0)M´ermurpoeeftsk.k. 1 2. Soitb`(N). Alors ∞ ∞ X X |ϕb(a)|| ≤anbn| ≤ kak|bn|=kakkbk1ac0(N). n=0n=0 Onend´eduitqueϕbus(rbiendoncnie)d´eeobtse´nrte(ec0(N),k.k) et quekϕbk ≤ kbk1. Or 0 ϕbalctseltnemerid,nocnie´iaerϕbc0(N) .
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0 3. Soitϕc0(N) .On poseϕ(en) =bnavecen= (0,∙ ∙ ∙,0,1,0,∙ ∙ ∙)c0(N) (1 enn`imee position).Envertudelalin´earit´eetdelacontinuite´deϕ, ∞ ∞ X X a=anenc0(N)ϕ(a) =anϕ(en) =ϕb(a) n=0n=0 (las´eriedegaucheconvergepourlanormek.kcaran0 quandn→ ∞).Ilerts`emanortre 1 queb`(Nchoisit :). On ( b sinketbn6= 0 (k)|bn| a= n 0 sinon. (k) (k) Alorsac0(N) etkak= 1.Commeϕbtseeii,vele´:ntrno k X   (k) ϕ a=|bn| ≤ kϕk<∞ ∀kN n=0 1 do`ub`(Nede)L.unicit´bd´ecedeluoϕb(en) =ϕ(en) =bnnN. 4.Dapr`esline´galite´pre´c´edenteonakbk1≤ kϕbkceinverseen2.,done´rtnilage´´tilOn.onam 10 kbk1=kϕbk. AinsiJ:b`(N)7→ϕbc0(Ne`3sarp)..surjtrieve(dectiutse)e´mosien 010010 ∞ On peut donc identifierc0(N) avec`(N) et l’on ac0(N) =`(N) =`(N). Maisc0(N) est strictement inclus dans`(N), doncc0(Nen)aptsf.´esrxie Exercice 3.[8=2+3+3 points] 2 1. SoitfL([0,1]) etgX=L([0,1]). Alors Z Z 1 1 2 22 22 2 kM(g)k=|f(t)g(t)|dt≤ kfk|g(t)|dt=kfkkgk. f XL LX 0 0 DoncMf:g7→f gest une applicationXXfenimastiequ,.n´eetboretesiaernie´nelttsme De plus,kMfk ≤ kfkL. 2. Pourmontrer quekMfk=kfkL, il suffit de trouver une suite de fonctionsgnXnaire´v:t kf gnkX sup≥ kfkL. kg nNnkX SoitnNdre´.aPitnndioek.kL,Ωn[0,1] de mesure|Ωn|>0 tel que|f(t)| ≥ kfkL1/npour touttΩn. Onpose : 1 sitΩn |Ωn| gn(t) = 0 sinon. R 21 Alorskgnk=|Ωn|dt= 1 et XΩn   Z1/2 kf gnkX1 2 =kf gnkX=|f(t)|dt≥ kfkL1/n . kgnkX|Ωn| Ωn Le sup surnl`gaandra´eounopculgscuehsedtmbredegadumekfkLd,u`okMfk=kfkL. ∞ ∞ Cecimontrequelapplicationlin´eaireI:fL([0,1])7→Mf∈ L(Xustiseen)e´moeirtniA.,si ∞ ∞ on peut identifierL([0,1]) avecI(L([0,1]))⊂ L(X). 3. (a)SoitE=C([0,sait que (1]). OnE,k.k)selptectmoncfeetdo.Comrm´emeIest une isome´trieetpuisquekgk=kgkLpour toute fonction continuegEquitdu´endne,oe I(Eade´mreftse)ns(L(X),k.k).
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