DS de Maths niveau Première

Kdouh

Description

Avec correction. Ds 6
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2013) pour Première S

Sujets

• Annales
• Devoir surveillé
• Devoir scolaire
• Cours
• exercices
• Lycée
• École
• ressources pédagogiques
• Ressource

Informations

• Publié par: ressources-de-premiere
• Nombre de lectures: 803
• Langue: Français

Extrait

DS N°6 MATHEMATIQUES 1°SI -SVT 2012 - 2013 Exercice1: 3 points  Une machine produit des pièces dont le diamètre doit être de 5 cm. On observe toutefois des variations  dans les diamètres des pièces fabriquées. Un échantillon de 40 pièces est prélevé. 4,9 - 5 - 5,2 - 4,7 - 4,8 - 5,1 - 4,5 - 5,2 - 4,9 - 4,8 - 4,9 - 4,9 - 4,9 - 5,3 - 5 - 4,8 - 4,8 - 4,9 - 5,1 - 5,3  5,4 - 4,9 - 4,9 - 5 - 4,8 - 4,8 - 5,3 - 4,8 - 5,1 – 5- 5,1 - 4,8 - 4,7 - 5 - 4,9 - 4,8 - 4,6 - 4,7 - 4,9 - 4,7 1. Compléter le tableau suivant / diamètres en cm 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 effectif 2. Calculer la moyenne , l’écart- type et les quartiles et la médiane de cette série . 3. La machine est parfaitement réglée si : é ù X%2s;X#2s – environ 95% des données appartiennent à l’intervalle X X où X1 5 est la moyenne ë û s  théorique et X est l’écart type de l’échantillon é ù X%s;X#s – environ 68% des données appartiennent à l’intervalle X X ë û  La machine paraît-elle correctement réglée ? Exercice 2 5 points Un boulanger a compté le nombre de clients dans une matinée par tranche de 1 heure. Il a mis certains résultats dans le tableau ci-dessous et a partiellement complété le polygone des effectifs cumulés croissants suivant : Heure [6 ; 7[ [7;8 [ [8; 9 [ [ 9;10 [ [10;11[ [11 ;12[ [12 ;13[ Total Effectifs40 30 45 250 fréquences10 % 20 % Fréquences cumulées46 % 100 croissantes %

y

100

90

80

70

60

50

40

30

20

Polygone de fréquences cumulées croissantes

10 0 5 6 7 8 9 10 11 1. Compléter totalement le polygone et le tableau. 2. a. Quelle est la médiane du nombre de clients ? Justifier. Que signifie cette valeur  (expliquer par une phrase) .

12

13

x

b. On considère les poin A ( 10; 46 ! et A11; 66 . Déterminer par le calcul la valeur de la médiane  ts ( ! Q Q Q 3. Quels sont les premier et troisième quartiles 1 et 3 ? Expliquez comment vous obtenez 3 . Exercice 3 les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes: 8 points 1°) Calculer la somme des vingt premiers termes de la suite : u31  a. arithmétique de premier terme 0 1 et de raison r1, 05 v13  b. géométrique de premier terme 0 et de raison q11, 05 . ( w ! w15w14w%9 n 2°) On considère la suite n définie par 0 et n#1n pour tout entier naturel . ( z ! 1 %  a . Montrer que la suite n de terme général z n w n 3 est géométrique. z z  On pourra calculer n#1 en fonction de n n r z en fonction de .  b . Exprime n n  c. En déduire l’expression de w n .en fonction de 3°) q ( ! q20v112v13072v  a . v n est une suite géométrique de raison telle que 1 et 5 puis. Calculer 7 . 2n#1 4  b. Prouvez que la suite de terme général v1 est géométrique et précisez sa raison. n n%2 6 ( u ! u1406u1806 4°) La suite n est arithmétique de raisonr. On sait que 50 et 100 . r u  a. Calculer la raisonet 0 . S1u#u#. .....#u  b. Calculer la somme 50 51 .. 100 Exercice 4 ( 4 points) x%1  On considère la fonction f[ définie et dérivable sur %10;10] par f x1 . ( ! 2 x#3  On note f sa courbe représentative partiellement tracée dans le repère orthogonal ci-dessous. 1. Justifier la dérivabilité de fsur [% puis calculer 10;10] , f'x et dresser le tableau de variation de f . ( !  On donnera les valeurs exactes des extremums. 2. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à f au point A d'abscisse 1. 3. Compléter le tracé de f dans le repère ci-dessous en traçant les tangentes parallèles à l'axe des  abscisses, et la droite T . y 0,4

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4

-3

-2

0,3

0,2

0,1

-1 0 -0,1

-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 x

DM MATHEMATIQUES 1°SI-SVT 2012 - 2013 Exercice 1  Dans cet exercice, il n'est pas demandé de justifier la dérivabilité des fonctions à étudier. 4 3 2  La fonction f est définie sur R par f ( x ! 13x#4x#30x%84x#2 . 3 2 g 1. La fonction est définie sur R par g ( x ! 13x#3x#15x%21 .  Déterminer le signe de g x avec la méthode de votre choix (traiter une seule des deux questions ( !  ci-dessous) ( ! g (a) Méthode 1 : Calculer g'x et dresser le tableau de variation de .  Calculer g en déduire le signe de 1 et g x . ( ! ( ! 2 (b) Méthode 2 : Calculer g déterminer a, b et c tels que 1 puis g x1x%1 ( ax#bx#c ! . ( ! ( ! ( !  En déduire le signe de g x . ( ! 2. Calculer f'x et en déduire les variations de f . ( ! Exercice 2 Étude de fonction 2 x%x#4  Soitfla fonction définie par f ( x ! 1 . x%1  me Cf courbe représentative dans le r  On nomsa epère ( O;i,j ! . D 1° (a) Préciser l’ensemble de définition f et justifier quefest dérivable surDf;  (b) Déterminer la dérivée f'x ; ( ! D  (c) Etudier les variations defsur f et donner le tableau des variations def; C 2° Justifier que f admet une tangenteTau pointAd’abscisse 2, puis déterminer une équation  cartésienne deT; 2 3° Soit Pla parabole d’équation g ( x ! 1x pour xÎR .  Représenter graphiquement, avec soin, dans le repère ( O;i,j ! , la courbe f , la paraboleP,  ainsi que la tangenteTla droite d’équation x11 et la droite d’équation y1x%1 . à Cf des abscisses.  Indiquer également les éventuelles tangentes , parallèles à l’axe 4° (a) Par lecture graphique, faire une conjecture sur l’existence et le nombre de points d’intersection C D  de f avec la paraboleP. Conjecturer également la localisation, dans un intervalle de f ,  de la (ou les) abscisse(s) de ce(s) point(s) d’intersection. 3 2  (b) Montrer que valider cette conjecture amène à résoudre l’équation : ( E ! :%x#2x%x#410  (c) Montrer que(E)admet une unique solutionasur l’intervalle[2;3]. C  Que peut-on en déduire pour fÇP ?  (d) Déterminer une valeur approchée deaà 10−2 près. Exercice 3 ( a !! ( a10b112 n  On définit les suites n et b n par 0 , 0 , et pour tout entier naturel: 2a#b a#2b n n n n a1 et b1 n#1n#1 3 3 u1b% a n 1) On pose n n n pour tout entier naturel. u u ( !  a) Exprimer n#1 en fonction de n . En déduire la nature de la u n . n  b) Donner alors l’expression de u n .en fonction de 1 # n 2) On pose v n a n b n pour tout entier naturel. v v  (a) Exprimer n#1 en fonction de n .En déduire la nature de la ( u ! n ( v !  (b) En déduire la nature et l’expression de la suite n . a b n 3) Déduire de ce qui précède les expressions de n et n en fonction de .

Exercice 1 Résumé des données dans un tableau : diamètres en cm 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 effectif 1 1 4 9 10 5 4 2 3 s» – A la calculatrice on obtient X» et 4, 93 X 0, 20  Moyenne : 4,93 Écart type : 0,198997  Effectif total : 40 Minimum :4,5 Maximum : 5,4  Premier décile :4,7 Neuvième décile : 5,2  Premier uartile : 4,8 Médiane : 4,9 Troisième uartile : 5 y 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 4,4

y

3

2

1

4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 e 1

5 3

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

x

5,4 1

0 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 x M e d 1 3 é X%2s;X#2s ù 1 [4, 6 ; 5, 4] . pas à cet intervalle so2 tiennent X X it 5 % des valeursvaleurs n’appar ë û  donc environ 95 % des données appartiennent à l’intervalle é X%2s;X#2s ù X X ë û é X%s;X#s ù 1 [4,8 ;5, 2] X X =[4,8 ; 5,2]. 9 + 10 + 5 + 4 + 2 = 30 valeurs appartiennent à cet ë û  intervalle soit 75 % des valeurs.  La deuxième condition n’est pas respectée donc la machine n’est pas correctement réglée.

Exercice 2 Heure Effectifs Effectifs cumulés croissants Fréquence en % FCC y 260

240

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

[6; 7[ 20 20

8 % 8

[7;8[ 25 45

10 % 18

[8; 9[ 40 85

16 % 34

[9;10] 30 115

12 % 46

[10;11[ 50 165

20 % 66

[11 ;12[ 45 210

18 % 84

[12 ;13[ 40 250

16 % 100

[12;13[ 250

100

20 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x Q 3 ed  La médiane est d'environ 10,25 . Cela signifie qu'au moins la moitié des clients passent avant 10h15 3.Q1≈8,5 etQ3≈11,75 . Pour trouver Q3, on fait 250×3 /4 =187,5 et on cherche l'abscisse point de la courbe d'ordonnée 187,5

y 110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

y

5

6

olyg ne d s fré uenc s cu

7

8

Q

9

ulée croi ante

10 ed

11

3

12

10 0 5 6 7 8 9 10 11 12 Q 3 ed Polygone des fréquences cumulées croissantes Moyenne : 9,94 Écart type : 1,85645 Effectif total : 250 Minimum : 6 Maximum : 13 Premier décile : 7,2 Premier quartile : 8,4375 Médiane : 10,2 Troisième quartile : 11,5 Neuvième décile : 12,375

Exercice 3 1°) Calculer la somme des vingt premiers termes de la suite : r105  a. arithmétique de premier terme u 0 13 et de raison 1,

13

13

x

x

20´ ( 3#22,95 ! ème  Le 20 te u1u#19r13#19´1, 05122, 95 , do S1 1259,5 rme est : 19 0 nc 20 2  b. géométrique de premier terme v 0 13 et de raison q11, 05 . 20 20 q% 051 1, %1 ( ! 20 S1v´ 13´ 160´ ( 1, 05%1 ! »99, 2 20 0 q%051 0, q ( ! q20u112 u13072 u 2. u n est une suite géométrique de raison telle que 1 et 5 puis: calculer 7 . 112 ì u112 ì u ï 1 1 4 4 2 2 Þ Û12´q13072Ûq1256Ûq14 í í . u1u´q13072´4149152 4 7 5 1 î 1 ï î 1u´q u 5 3072 u 5 3072 1 ( u ! u1406u1806 3.La suite n est arithmétique de raisonr. On sait que 50 et 100 . ì u1u#50r1406 50 0 u1u#50r1 a. On sait que 50 0 et u 100 1u 0 #00r . D’où le système à résoudre : í u1u#100r1806 î 100 0  Après calculs, on trouve :r= 8 etu0 = 6 u#u 406#806 1212 50 100 b. S1u#u#........#u151´ 151´ 151´ 151´606130906 50 51 100 2 2 2

Exercice 3

-10 -9 -8 -7 -6 -5

Exercice 6

-4

-3

-2

y

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

-1 0 -0,1

-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 x