DS N°6 MATHEMATIQUES 1°SI -SVT 2012 - 2013 Exercice1: 3 points  Une machine produit des pièces dont le diamètre doit être de 5 cm. On observe toutefois des variations  dans les diamètres des pièces fabriquées. Un échantillon de 40 pièces est prélevé. 4,9 - 5 - 5,2 - 4,7 - 4,8 - 5,1 - 4,5 - 5,2 - 4,9 - 4,8 - 4,9 - 4,9 - 4,9 - 5,3 - 5 - 4,8 - 4,8 - 4,9 - 5,1 - 5,3  5,4 - 4,9 - 4,9 - 5 - 4,8 - 4,8 - 5,3 - 4,8 - 5,1 – 5- 5,1 - 4,8 - 4,7 - 5 - 4,9 - 4,8 - 4,6 - 4,7 - 4,9 - 4,7 1. Compléter le tableau suivant / diamètres en cm 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 effectif 2. Calculer la moyenne , l’écart- type et les quartiles et la médiane de cette série . 3. La machine est parfaitement réglée si : é ù X%2s;X#2s – environ 95% des données appartiennent à l’intervalleX XX15 est la moyenne ë û s  théorique etXest l’écart type de l’échantillon é ù X%s;X#s – environ 68% des données appartiennent à l’intervalleX Xë û  La machine paraît-elle correctement réglée ? Exercice 2 5 points Un boulanger a compté le nombre de clients dans une matinée par tranche de 1 heure. Il a mis certains résultats dans le tableau ci-dessous et a partiellement complété le polygone des effectifs cumulés croissants suivant : Heure [6 ; 7[ [7;8 [ [8; 9 [ [ 9;10 [ [10;11[ [11 ;12[ [12 ;13[Total Effectifs40 30 45 250 fréquences10 % 20 % Fréquences cumulées46 % 100 croissantes %
y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
Polygone de fréquences cumulées croissantes
10 0 5 6 7 8 9 10 11 1. Compléter totalement le polygone et le tableau. 2. a. Quelle est la médiane du nombre de clients ? Justifier. Que signifie cette valeur  (expliquer par une phrase) .
12
13
x
b. On considère les poinA(10; 46!etA11; 66 . Déterminer par le calcul la valeur de la médiane  ts ( ! Q Q Q 3. Quels sont les premier et troisième quartiles1et3? Expliquez comment vous obtenez3. Exercice 3 les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes: 8 points 1°) Calculer la somme des vingt premiers termes de la suite : u31  a. arithmétique de premier terme01et de raisonr1, 05 v13  b. géométrique de premier terme0et de raisonq11, 05 . (w!w15w14w%9n 2°) On considère la suitendéfinie par0etn#1npour tout entier naturel . (z!1 %  a . Montrer que la suitende terme généralznwn3 est géométrique. zz  On pourra calculern#1en fonction den n rzen fonction de .  b . Exprimen n  c. En déduire l’expression dewn.en fonction de 3°) q ( !q20v112v13072v  a .vnest une suite géométrique de raison telle que1et5puis. Calculer 7. 2n#1 4  b. Prouvez que la suite de terme généralv1est géométrique et précisez sa raison. n n%2 6 (u!u1406u1806 4°) La suitenest arithmétique de raisonr. On sait que50et100. ru  a. Calculer la raisonet0. S1u#u#. .....#u  b. Calculer la somme50 51..100 Exercice 4 ( 4 points) x%1  On considère la fonctionf[définie et dérivable sur %10;10] parf x1. ( ! 2 x#3  On notefsa courbe représentative partiellement tracée dans le repère orthogonal ci-dessous. 1. Justifier la dérivabilité defsur [%puis calculer10;10] , f'xet dresser le tableau de variation def. ( !  On donnera les valeurs exactes des extremums. 2. Déterminer l'équation réduite de la tangenteTàfau point A d'abscisse 1. 3. Compléter le tracé defdans le repère ci-dessous en traçant les tangentes parallèles à l'axe des  abscisses, et la droiteT. y 0,4
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4
-3
-2
0,3
0,2
0,1
-1 0 -0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10x
DM MATHEMATIQUES 1°SI-SVT 2012 - 2013 Exercice 1  Dans cet exercice, il n'est pas demandé de justifier la dérivabilité des fonctions à étudier. 4 3 2  La fonctionfest définie surRparf(x!13x#4x#30x%84x#2 . 3 2 g 1. La fonction est définie surRparg(x!13x#3x#15x%21 .  Déterminer le signe deg xavec la méthode de votre choix (traiter une seule des deux questions ( !  ci-dessous) ( !g (a) Méthode 1 : Calculerg'xet dresser le tableau de variation de .  Calculergen déduire le signe de1 et g x. ( ! ( ! 2 (b) Méthode 2 : Calculergdéterminer a, b et c tels que1 puis g x1x%1(ax#bx#c!. ( ! ( ! ( !  En déduire le signe deg x. ( ! 2. Calculerf'xet en déduire les variations def. ( ! Exercice 2 Étude de fonction 2 x%x#4  Soitfla fonction définie parf(x!1. x%1  meCfcourbe représentative dans le r  On nomsa epère(O;i,j!. D 1° (a) Préciser l’ensemble de définitionfet justifier quefest dérivable surDf;  (b) Déterminer la dérivéef'x; ( ! D  (c) Etudier les variations defsurfet donner le tableau des variations def; C 2° Justifier quefadmet une tangenteTau pointAd’abscisse 2, puis déterminer une équation  cartésienne deT; 2 3° Soit Pla parabole d’équationg(x!1xpourxÎR.  Représenter graphiquement, avec soin, dans le repère(O;i,j!, la courbef, la paraboleP,  ainsi que la tangenteTla droite d’équationx11 et la droite d’équationy1x%1. àCfdes abscisses.  Indiquer également les éventuelles tangentes , parallèles à l’axe 4° (a) Par lecture graphique, faire une conjecture sur l’existence et le nombre de points d’intersection C D  defavec la paraboleP. Conjecturer également la localisation, dans un intervalle def,  de la (ou les) abscisse(s) de ce(s) point(s) d’intersection. 3 2  (b) Montrer que valider cette conjecture amène à résoudre l’équation :(E!:%x#2x%x#410  (c) Montrer que(E)admet une unique solutionasur l’intervalle[2;3]. C  Que peut-on en déduire pourfÇP?  (d) Déterminer une valeur approchée deaà 102 près. Exercice 3 (a!! ( a10b112n  On définit les suitesnetbnpar0,0, et pour tout entier naturel: 2a#b a#2b n n n n a1etb1n#1n#1 3 3 u1b%a n 1) On posen n npour tout entier naturel. uu( !  a) Exprimern#1en fonction den. En déduire la nature de laun. n  b) Donner alors l’expression deun.en fonction de 1 #n 2) On posevnanbnpour tout entier naturel. v v  (a) Exprimern#1en fonction den.En déduire la nature de la(u! n (v!  (b) En déduire la nature et l’expression de la suiten. ab n 3) Déduire de ce qui précède les expressions denetnen fonction de .
Exercice 1 Résumé des données dans un tableau : diamètres en cm 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 effectif 1 1 4 9 10 5 4 2 3 s» – A la calculatrice on obtientX»et4, 93 X0, 20  Moyenne : 4,93 Écart type : 0,198997  Effectif total : 40 Minimum :4,5 Maximum : 5,4  Premier décile :4,7 Neuvième décile : 5,2  Premier uartile : 4,8 Médiane : 4,9 Troisième uartile : 5 y 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 4,4
y
3
2
1
4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 e 1
5 3
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5
x
5,4 1
0 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5x M e d 1 3 éX%2s;X#2sù 1[4, 6 ; 5, 4] . pas à cet intervalle so2 tiennent X Xit 5 % des valeursvaleurs n’appar ë û  donc environ 95 % des données appartiennent à l’intervalleéX%2s;X#2sù X X ë û éX%s;X#sù 1[4,8 ;5, 2] X X=[4,8 ; 5,2]. 9 + 10 + 5 + 4 + 2 = 30 valeurs appartiennent à cet ë û  intervalle soit 75 % des valeurs.  La deuxième condition n’est pas respectée donc la machine n’est pas correctement réglée.
Exercice 2 Heure Effectifs Effectifs cumulés croissants Fréquence en % FCC y 260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
[6; 7[ 20 20
8 % 8
[7;8[ 25 45
10 % 18
[8; 9[ 40 85
16 % 34
[9;10] 30 115
12 % 46
[10;11[ 50 165
20 % 66
[11 ;12[ 45 210
18 % 84
[12 ;13[ 40 250
16 % 100
[12;13[ 250
100
20 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13x Q 3 ed  La médiane est d'environ 10,25 . Cela signifie qu'au moins la moitié des clients passent avant 10h15 3.Q1≈8,5 etQ3≈11,75 . Pour trouver Q3, on fait 250×3 /4 =187,5 et on cherche l'abscisse point de la courbe d'ordonnée 187,5
y 110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
y
5
6
olyg ne d s fré uenc s cu
7
8
Q
9
ulée croi ante
10 ed
11
3
12
10 0 5 6 7 8 9 10 11 12 Q 3 ed Polygone des fréquences cumulées croissantes Moyenne : 9,94 Écart type : 1,85645 Effectif total : 250 Minimum : 6 Maximum : 13 Premier décile : 7,2 Premier quartile : 8,4375 Médiane : 10,2 Troisième quartile : 11,5 Neuvième décile : 12,375
Exercice 3 1°) Calculer la somme des vingt premiers termes de la suite : r105  a. arithmétique de premier termeu013 et de raison 1,
13
13
x
x
20´(3#22,95! ème  Le 20 teu1u#19r13#19´1, 05122, 95 , doS1 1259,5 rme est :19 0nc20 2  b. géométrique de premier termev013 et de raisonq11, 05 . 20 20 q%051 1, %1 ( ! 20 S1v´ 13´ 160´(1, 05%1!»99, 2 20 0 q%051 0, q ( !q20u112u13072u 2.unest une suite géométrique de raison telle que1et5puis: calculer 7. 112ìu112 ìuï1 1 4 4 2 2 Þ Û12´q13072Ûq1256Ûq14 í í.u1u´q13072´4149152 47 5 1 î1ïî1u´q u53072u53072 1 (u!u1406u1806 3.La suitenest arithmétique de raisonr. On sait que50et100. ìu1u#50r1406 50 0 u1u#50r1 a. On sait que50 0etu1001u0#00r. D’où le système à résoudre :í u1u#100r1806 î100 0  Après calculs, on trouve :r= 8 etu0 = 6 u#u406#806 1212 50 100 b.S1u#u#........#u151´ 151´ 151´ 151´606130906 50 51 100 2 2 2
Exercice 3
-10 -9 -8 -7 -6 -5
Exercice 6
-4
-3
-2
y
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
-1 0 -0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10x