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actante,
t
(P
2
plus

.
non
de
linéaires
des
Dans
il
le
e
premier
t

du
hapitre,
t
on
de
a
oin
étudié
unique
quelques
tel
métho
.
des
t
de
t
résolution
tel
de
résolution
sys-

tèmes
xe
linéaires
traction
en

dimension
Newton.
nie.
t
L'ob


qui
est
on
main
tout
tenan
par
t
fonction
de
alors
dév

elopp
esp
er
non
des
er
métho
.
des
xe
de
our
résolution

de
(2.0.1)
systèmes
métho
non
oin
linéaires,
p
toujours
de
en
p
dimension
de
nie.
métho
On
yp
se
Les
donne
p
est
2.1.1

xe
te
Soit
ergen
.
v
oint

existe

la
y
A
h
p
Cauc
qu'il
de
e
est

et
et
on
p

que
herc
la
he
métrique
1.
e
dans
Soit
:
le
que
(2.0.1)
trer
à
solution
p
de
de
:
faut-il
mon
oin
a
.
v
103
On
la
.
appro
our
hée
p
système
par
:
dénie
les
suite
des
la
p
et
t
Soit
:
(2.0.1)
oin
Au
xe
Chapitre

I
et
on
oin
a
xe
étudié
monotonie
des
les
métho
des
des
t
de
e
résolution
2.1
du
métho
système
de
(2.0.1)
oin
dans
xe
le
P

t
particulier
de
suite
traction
la
si
de
De
e
vérie
genc
xe
onver
p

un
et
,
de
dénit
,
fonction
e
lors
Existenc
.
:
our
1
que
e
existe
Etap
le
:
tel
Démonstration

,
ontr
.

quand
une
alors
,
,
On
et
eut
.
remarquer
On
sur
v

a
omplet,
main
si
tenan
seulemen
t
si
étendre
ac
le
un

xe)
hamp
t
d'étude
système
au
linéaire

revien

donc
,
trouv
n'est
un
pas
oin
forcémen
xe
t
oin
ane.

On
qu'un
étudiera
p
deux
t
familles
existe.
de
.
métho
2.1
des
p
et
Chapitre
Systèmes
N N Ng∈C(IR ,IR ) x IR

N
x∈ IR
g(x) = 0.
Ng(x) = Ax−b A ∈ M (IR) b ∈ IRN
g
N N N Ng ∈ C(IR ,IR ) f ∈ C(IR ,IR ) f(x) =
x +g(x) g(x) = 0 f(x) = x
Résoudre
f
Théorème E d
E f : E → E
k∈]0,1[ d(f(x),f(y))≤kd(x,y) x,y∈E
x¯ ∈ E f(x¯) = x¯
(0) (n+1) (n) (n)x ∈E x =f(x )∀n≥ 0 x →x¯ n+∞

(0) (n) (n+1) (n)x ∈ E (x ) x = f(x )n∈IN
n≥ 0
(n)(x ) Ensi

Unicité
vérier).
alors
le
,
our
passan
p
Comme
ème
du
or
Soit
thé
de
du
on
ation
donc
démonstr
quand
la
donc
e
2.1,
endr
Sous
epr
est
est
et
p
:
oin
p
t
Etap
xe
limite
de
dans
(r
est
.
fonction
P
a
ar
y
h

yp
si
othèse,
or
on
hyp
sait
2.2
que
ossible
p
,
our
Alors
tout
donc

a
actante
qui
ontr
ts

et

2
est
déduit
fois
l'égalité
n
à
que
.
tel
a
existe
tin
il
te,


ar
Comme
p
2.
actante"

ontr
i.e.

Cauc

suite

104
othèse
6
l'hyp
donc
emplaçant
ème
r
thé
en
othèses
xe
les
oint
1.
p
.
du
sauf
ème
imp
or

thé

le
;
aliser
.
génér
et
eut
t
p
on
On
donc
2.
satisfon
lentement).
,
assez
xes
al
oin
génér
des
en
Soit
ge
:
onver
e

que
de
en
métho
,
ette
dans

la
fait,
t
de
En
si
quand
(même
aussi
e
on
P
ue,
ar


elle
sur
tractan
air
t
,
est
on
la
obtien
.
t
dans
que
donc
liné
on
moins
est
au
:
donc
,
est
h
e
de
genc
est
onver
La

quand
a
L
(n)lim x =x¯ f
n→+∞
n≥ 1,
(n+1) (n) (n) (n−1) (n) (n−1)d(x ,x ) =d(f(x ),f(x ))≤kd(x ,x ).
n
(n+1) (n) n (1) (0)d(x ,x )≤k d(x ,x ), ∀n≥ 0.
n≥ 0 p≥ 1
(n+p) (n) (n+p) (n+p−1) (n+1) (n)d(x ,x ) ≤d(x ,x )++d(x ,x )
pX
(n+q) (n+q−1)≤ d(x ,x )
q=1
pX
n+q−1 (1) (0)≤ k d(x ,x )
q=1
(1) (0) n p−1≤d(x ,x )k (1+k +...+k )
nk(1) (0)≤d(x ,x ) −→ 0 n→ +∞ k< 1.
1−k
(n)(x )n∈IN
(n+p) (n)∀ε> 0, ∃n ∈ IN; ∀n≥n , ∀ p≥ 1 d(x ,x )≤ε.ε ε
(n)E x −→x¯ E n→ +∞
f
(n)f(x )−→f(x¯) E n+∞
(n+1) (n)x =f(x ) x¯ =f(x¯).
x¯ y¯ f x¯ =f(x¯) y¯=f(y¯)
d(f(x¯),f(y¯)) =d(x¯,y¯)≤kd(x¯,y¯) k< 1
x¯ =y¯
Remarque
(n+1) (n)d(x ,x¯) = d(f(x ),f(x¯)) ≤
(n+1)d(x ,x¯)(n) (n)kd(x ,x¯); x = x¯ ≤ k (< 1).(n)d(x ,x¯)
f
(n)n> 0 f =f◦f◦...◦f| {z }othèses

eut
question

qui
et
vien
sur
t
donné
alors
en
naturellemen
ontr
t
ec
est
.
:
que
que
L
faire
e
si
tel
La
on
n'est
lors
pas
thé

et
t
p

sur
tractan
théorème
te
l'algorithme
?
de
Soit

.
suite
si
En
érié
suite
v
eut
est
suite
qui
la

et
si
que
te
de
tractan
p

Il
t
.
telle
a
que
On

trer
est
norme
fonction
On
la
Soit
donc
Démonstration
et
r
:
tel
a
suite
on
que
(2.1.3),

et
pr
.
alors
On
ar
aimerait
si
déterminer
:
les
la


sur
aussi
(2.1.2)
on
p
(2.1.4)
our
onstruisant
que
de
othèses
eut
soit
our

et
t
les

(2.1.3)
tractan
fonction
te.

Plus
si
yp
ème
t
L
si
donc
h
seul
6
ave
aux
que
grâce
v
,
relaxation)
on
désigne
dénit
ar
Donc
mon

la
norme

la
v
de
.
dénition
Soit
par
2.3
alors,
du
,
.
Soit
elaxation
.
de
que
est
tel
le
,
(2.1.5)
et
la
on
tel
remarque

que
de
existe
é
est
o
solution
e
du
.
système
(2.1.5),
(2.0.1)
la
si
p
et
est
seulemen
eet
t
(2.1.5)
si
suivante
qu'il
manièr
est
de
p
ette
oin
e
t
é
xe
(2.1.2)
de
p

Or
te,
que
tractan
:

la
t

.
(2.0.1)
On
solution
aimerait
obtenir
dans
p

,

p
a
(2.1.3),
v
(2.1.2)
oir
hyp
des
sous

er
p
A
our
la
que
montr

est
est

soit
actante

ermet
t
2.3

or
tractan
e
te.
.
que
existe
2.3
un
(P
un
oin
2.4
t

xe
quand
de
tel

105
traction
f
N Ng ∈ C(IR ,IR ) f(x) = x +g(x)
g f
généralemen ω = 0 f (x) =x+ωg(x) xω
x f (x)ω

Théorème
N N N|.| IR g∈C(IR ,IR )
N2∃α> 0 (g(x)−g(y))(x−y)≤−α|x−y| ,∀x,y∈ IR ,
N∃M > 0 |g(x)−g(y)|≤M|x−y|,∀x,y∈ IR .

f 0<ω<ω 2M
N (n)x¯∈ IR g(x¯) = 0 x −→x¯ n+∞
(n+1) (n) (n) (n+1)x =f (x ) =x +ωg(x )ω
Remarque
2αω∈]0, [2M

(n+1) (n) (n)x =x +ωg(x ) n≥ 0,
N(0)x ∈ IR .

(n+1) (n)x˜ =f(x ), ∀n≥ 0
N(n+1) (n+1) (n) (0)x =ωx˜ +(1−ω)x , x ∈ IR .
(n+1) (n+1) (n+1)x x =ωx˜ −(1−
(n) (n) (n) (n) (n)ω)x =ωf(x )+(1−ω)x =ωg(x )+x
f

0 < ω < f
2M
N 2k < 1 |f (x)−f (y)| ≤ k|x−y| ∀(x,y) ∈ (IR )ω ω
N 2(x,y)∈ (IR )
2|f (x)−f (y)| = x−y +ω(g(x)−g(y)) x−y +ω(g(x)−g(y))ω ω
2 2 2=|x−y| +2(x−y)(ω(g(x)−g(y)))+ω |g(x)−g(y)| .
2|f (x)−f (y)| ≤ (1−ω ω
2 2 22ωα +ω M ) |x−y| , fω
2α2 21−2ωα+ω M < 1 0<ω<
2MDonnons
106

2.5
pr
(Quelques
les.
rapp
air
els
ose
de


existe
diéren
Comme
tiel)
e
Soit
anonique,
:
Comme
écrire
,
eut
Prop
p
les
On
et
que
dans
trer
,
mon
matric
eut
notation,
v
,
On
r
ériée.
de
.
sa
L
r
a
de
fonction
la
v
,
est
,
donc

en
fonction
p
,

els
diér
osition
entiable,
donc

donc
que
pr
p
Pour
our
de
tout
r
est
p
(2.1.3)
e
othèse
alors
yp
matric
l'h
la
,

il
alors
existe
ort
que
-ème
t
supp
tenan
existe
main
On
trons
e
Mon
a
(2.1.2).
es
de
les
démonstration
2.6
la
et
termine
othèses
qui
différ

yp
:
érian
donc
exemple
tel
,
le
tels
que
p
a
r
On

.
pr
donc
supp
a
p
on
é
,
sont
Comme
es
:
les
que
on
déduit
est
en
,
On
Comme
Donc
p
.
ésenter
Or
abus
donc
une
a

On
gr
:

par
ation
dénie
et
la
qui

ésente
our
ase
p
on
duit
ar
tro


p
in
app
On
à
.
é
que
variable).
trer
on
mon
ose
eut
des
v
qu'il
on
supp
.
.
On
hessienne
a
matric
dans
on

donc
e
de

opr
as,
valeurs
p
et
ar
Soit
dénition
osition
du
(2.1.3).
gr
(2.1.2)
adient,
et
,
est
Soit
ontinûment
ériée.
entiable,
v
e
est
h
(2.1.2)
t
othèse
v
yp
de
l'h
un
que
.
ord
On
d'ab
que
trons
et
Mon
ositifs
2.6

osition
é

des
prop
qu'il
la
(2.6)
de
op
Démonstration
la
.
oser
et
bien

eut
ave
On
2.3
el
ème
r
or

thé
qui
du
de
(2.1.3)
opr
et
valeurs
(2.1.2)
.
othèses
note
hyp
,
les
symétrique.
vérie
e
)
la
de

adient
est
(gr

fonction
,on
la
eut
lors
epr
A
ave
.
de
que
et
est
ar
le
matric
gr
de
adient
à
de
âc
tels
e,
au
on
p
onfond
oint
l'applic
et
liné
(on
e
désigne
la
p
e
ar
la
ositifs
epr
p
dans

b
la

dérivé
et
e
é
p
p
artiel
abus
le
notation
de
é
els
eut
p
.
ar
r
Remarque
N2h∈C (IR ,IR) h
N Nx ∈ IR Dh(x) ∈ L(IR ,IR) h(x + y) =
h(x) +Dh(x)(y) +|y|ε(y) ε(y) → 0
y→0
NtDh(x)(y) =∇h(x)y ∇h(x) = (∂ h(x), ,∂ h(x)) ∈ IR1 N
h x ∂ h fi
i
N N N2 1h∈ C (IR ,IR) g =∇h∈ C (IR ,IR ) g
N N
Dg(x)∈L(IR ,IR ), g(x+y) =g(x)+Dg(x)(y)+|y|ε(y),
ε(y)→ 0
y→0
N N
Dg(x) ∈ L(IR ,IR ) Dg(x)
M (IR)N
Dg(x) ∈ M (IR)N
Dg(x)(y) = Dg(x)yP
2 2(Dg(x)y) = ∂ h (x) ∂ h =∂ (∂ h)(x).i j i ji,j=1,N i,j i,j
N2h C Dg(x) x ∈ IR
(λ (x)) Dg(x)i 1≤i≤N
N
β γ −β≤λ (x)≤−γ ∀i∈{1...N} ∀x∈ IRi
g
2 Nh ∈ C (IR ,IR) (λ )i i=1,N
h β
Nγ −β ≤ λ (x)≤−γ, ∀i∈{1...N}, ∀x∈ IRi
g =∇h h
α =γ M =β
N 2(x,y)∈ (IR )
2(g(x)−g(y))(x−y)≤−γ|x−y|
1 N
fonction ϕ∈C (IR,IR )
ϕ(t) =g(x+t(y−x)).R1
ϕ(1)−ϕ(0) = g(y)−g(x) = ϕ (t)dt. ϕ (t) = Dg(x +t(y−0R1
x))(y−x) g(y)−g(x) = Dg(x+t(y−x))(y−x)dt.
0Z 1
(g(y)−g(x))(y−x) = (Dg(x+t(y−x))(y−x)(y−x))dt.
0
2λ (x) ∈ [−β,−γ] ∀i ∈ {1...N} −β|y| ≤ Dg(z)yy ≤i R12 2 2−γ|y| (g(y)−g(x))(y−x)≤ −γ|y−x| dt =−γ|y−x|0
|g(y)−g(x)|≤β|y−x|. Z 1
g(y)−g(x) = Dg(x+t(y−x))(y−x)dt,
0
′ ′inversible,
xe
P
donc
oblème
.
41,
tout
On
our
itér
p

que
p
et
t
tout
l'itér
our
ar
p
.
que
le
sur
sous


par
appliquer
trer
sous
mon
Soient
a
de
v
:
On
r
dénie.
mon
bien
elaxation,
est
atique
t
qui
érian
nombr
v
r
suite
e
la

ersible
est
v
d'or
in
oint
est
On
Comme
é
2.8
5
théorème
.
du
de
Démonstration
(P
et
t
quand
et
3.
s'é
,
,
2.
e
,
donc
1.
que
:

alors

a
p
On
on
.
ation
et
la
ose
Dans
p

On
oblème
.
d'un
que
liné
e
ar

forme
oblème,
qui
pr

du
matric
sur-solution
é
une
e
est
sur
que
de

eut
tel
.
;
le
existe

est
forme
la
page
norme
On
sur
et
il
monotonie)
et
xe
que
oin
e
2.8

xe
oblème,
oin
induite
2.1.2
par
,
la

norme
ation

alors
sur
elaxation
pr
de
du
amètr
sous-solution
a
.
ainsi
Or,
tré

:
une
p
est
ave
3.
r
osante).
ave
omp
oint

un
ar
pr
p
Si
osante
:
omp

(c
termine
alors
démonstration.
osante)
2.7
p
de
our
eux
tout
as,
omp
pr

de
ar
ésolution
p
pr
osante
non
omp
air
(c
app
si
aît
que
la
,
omme
la
donne
matrice
e

,
monotone,
fonction
est
une
2.
e
e
arr

e
,
dr
,
la
1.
et
:
xe
que
p
ose
l'algorithme
supp
donc
est
p
symétrique
.
dénie
On
p
eut
ositiv
r
e.
é
Et
e
donc,
la
d'après
107

Z 1
|g(y)−g(x)| ≤ |Dg(x+t(y−x))(y−x)|dt
0Z 1
≤ |Dg(x+t(y−x))||y−x|dt,
0
N|.| M (IR) IRN
λ (x)∈ [−β,−γ] i = 1,...,N −Dg(x+t(y−x))i
|Dg(x+t(y−x)| =ρ(Dg(x+t(y−x))≤β.
|g(y)−g(x)|≤β|y−x|,
Remarque
Ax = R(x) A
N NN R∈C(IR ,IR ) x =
−1A R(x) f =
−1 (n+1) −1 (n)A R x =A R(x )
ω > 0
(n+1) −1 (n) (n+1) (n+1) (n)x˜ =A R(x ) x =ωx˜ +(1−ω)x .
monotonie
Théorème
N N
A∈M (IR) R∈C(IR ,IR )N N∀x ∈ IR Ax ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 (Ax) ≥ 0,∀i = 1,...,N ⇒i
x ≥ 0,∀i = 1,...,N .i
R x≥ y
R(x)≥R(y)
0 R(0)≥ 0
N
x˜ ∈ IR x˜ ≥ 0 x˜
Ax˜≥R(x˜)
(0) (n+1) (n)x = 0 Ax =R(x )
(n)0≤x ≤x˜, ∀n∈ IN
(n+1) (n)x ≥x , ∀n∈ IN
(n)x −→x¯ n→ +∞ Ax¯ =R(x¯).
(n)A (x )n∈IN
(0)x = 0,
(n+1) (n)Ax =R(x ), n≥ 0
(n)n 0≤x ≤x˜
(n) (n+1)n≥ 0 x ≤x n≥ 0page
alors
.
P
et
our
yp
t
.
obtien
1,
on

,
discrétisation
on
On
a
est
t
il
prenan

en
(plus
puis
a
e,
25)
ositiv
op
et
par
donc
Elle
p
est
est
passage
de
yp

ose
première

la
a
que
(par
t
et
obtien
manière
et
yp
on
um
t
oir
prenan
dénition
En
terv
.
a
que
a
alors
et
donne
sait
1
e
othèse
app
yp
1
L'h
lorsque
.
on
On
alors
en

déduit
De
que
.
ersible.
ma
v
;
in
si
est

que
inégalités
e
donc
grâce
l'h
aux
l'h
h
an
yp
de
othèses
à
1
2,
et
aussi
3
du
et
29).
donc
sur
prouv
P
qui
la

(v
,
sur
déduit
,
en
diérences
On
ues
.
matrices
othèse,
par
yp
à
h
3,
par
v
2.
maxim
On
elée
supp
donc
ose
en
main
théorème
tenan
yp
t
et
(h
la
yp
t
othèse
tin
de
en

à
que
1)
donc

et
donc
soit

,
on
aussi
tel
a
par
on
et
Mais
suite
.
et
et
et
othèse,
,
yp
te,
h
te
par
tenden
donc,
que
et
mon
alors
On
,
p
que
grâce
tel
othèse
est
108
p
te
our
suiv
tout
la
Si

.
grâce
ts
l'h

othèse

on
des
donc
a
est
que
maxim
et
e
ersible
Le
v
page
in
(v
que
et
.
.
On
ar
v
de
eut
suite
mon
oir
trer
alle
que
l'in
trons
érateurs
mon
des
et
on
ériée
nies
v
par
est
par
2.8
obten
théorème
qu'on
du
les
et
exemple
que
ériée
1
grâce
othèse
l'h
yp
othèse
l'h
on
que
que
ord
est
d'ab
um".
osons
du
Supp
princip
:
.
.
a
.
:
P
t
ar
souv
h
2.8
yp
du
othèse
othèse
de
L'h

que
p
que
our
limite

à
o
par

obtien
des
ue,
a

,
On
on
déduit
sait

que
l'h
et
othèse
inversible
que
si
et
seulement
Enn,
et
quand
si
a
e
plus,
vérié
on
est
p
2.8
Si
ème
que
et
existe
que
donc
or
jorée
thé
et
du
te
1
est
othèse
la
L'hyp
Soit
2.9
et
osition
,
.
1.
On
que
a
on
donc

Prop
osan
:
par
pratique)
osan
en
t
utiliser
s'en
à
Ces
.

P
tré
ar
ainsi
h
a
yp
.
othèse
othèse
de
y-

à
on
donc
a
2,
égalemen
par
t
yp
que
dicile
(0) (0) (1)n = 0 x = 0 0≤x ≤x˜ Ax =R(0)≥ 0
(1) (1) (0)x ≥ 0 x ≥x = 0.
(p)0 ≤ x ≤ x˜
(p) (p+1)x ≤x p∈{0,...,n−1}
(n) (n) (n+1)0≤x ≤x˜ x ≤x
(n) (n−1) (n−1)p =n−1 x ≥x x ≥ 0
(n) (n−1)x ≥ 0 x ≤
(n−1)x˜ R(x )≤R(x˜)
(n) (n) (n−1)(x ) Ax = R(x )n∈IN
(n) (n−1)Ax˜≥R(x˜) A(x˜−x )≥R(x˜)−R(x )≥ 0.
(n)x ≤x˜.
(n) (n−1) (n+1) (n) (n+1)Ax =R(x ) Ax =R(x ) A(x −
(n) (n) (n−1)x ) = R(x )−R(x )≥ 0
(n+1) (n)x ≥x
(n)0≤x ≤x˜, ∀n≥ 0
(n) (n+1)x ≤x , ∀n≥ 0.
(n)x =
(n) (n) N N (n) (n)t t(x ...x ) ∈ IR x˜ = (x˜ ...x˜ ) ∈ IR 0≤ x ≤ x˜ x ≤1 N i1 N i i
(n+1)
x ,∀i∈{1...N}, ∀n≥ 0.i
(n)
i∈{1...N} (x ) ⊂ IR x˜n∈IN ii
(n) Ntx¯ ∈ IR x¯ = lim x x¯ = (x¯ ...x¯ ) ∈ IR ,i i 1 Nin→+∞
(n)x −→x¯ n→ +∞
(n+1) (n)Ax = R(x ) R
n→ +∞ Ax¯ =R(x¯) 0≤x¯≤x˜
A
−u ]0,1[
Δu ]0,1[×]0,1[
−1A A ≥ 0
Démonstration
−1A A ≥ 0 x Ax = 0
Ax≥ 0 x≥ 0 Ax≤ 0 A(−x)≥ 0
x ≤ 0 x = 0 A
−1y≥ 0⇒A y≥ 0 y =e1
−1A y =ei
′′ort
oissante
la
la
or
quand
le
-ème
:

)
de
ales
si
sous-solution)
linéaire
,
er
lieu
est
unité,
p
variable
ositiv
une
e,
non
p
monotone
our
o-
sup
que
est
sur-solution).
e
des
genc
de
onver
a

vers
a
la
L
app
3.
unité
.
ontinue
Donc
ouwer
quand

que
or
tel
(
a
p
tous
b
ses
ave

p

aussi
ts
(
p

ositifs.
,
Supp
essé
osons
ar
main
(P
tenan
lieu
t
au
que
suite
existe
De
est
(
in
monotone
v
ar
ersible
à
et
de
que
oule
il
la
si
,
linéaire
si
a
de
des
,



est
ts
le
p
plus
ositifs.
e
Soit

est
r
e
la
genc
).
onver
des

(0
tel
xe
que
ème
a
thé
L
Il
2.
p
.
donnent
alors
qui
si
xe
,
de
alors
or
que
uniquement
tels
s'est
existe
dénie
il
w
et
t
existe
.
s'il
et
linéaire
ec
.
précéden
Donc
se
moins
.
v
onver
érie
et
l'h
et
yp
oule
othèse
b
1.
est
au

2.10
p
est
r
du
ort
précéden
la
t)
dans
Soit
si
e
6
genc
b
onver
et

de
la

1.
fonction
:
est
que
:
,
Br
dit
ème
On
thé
.
le
suite
),
la

de
,
e"
ème
genc
thé
onver
(mais

génér
de
oup
vitesse

la
est
,

à
oissante
esse
ar
s'intér
app
On
à
.
variable
tout
thèses
our
3.
p
hyp
6


dans
ave
est
,
et
lorsque
oint
que
de
tels
tel
que
or
1.
un
Pour
existe
tout
déterminer.
ose
our
supp
algorithme
On
un
et
est
p
Soient
our
i.e.
tout
c
.
oint
et
p
Soit
èmes
ergence)
et
v
thé
,
à

ici
de
intér
(Vitesse
On
2.12
suite
Dénition
p
ergence
er)
v
Brou

xe
de
oin
Vitesse
2.11
2.1.3
de
2.
au
unité.
de
oule
au
b
v
la
t
dans
théorème
xe
ramène
oint
On
p
Démonstration
,
Cette
un

admet
ge
le
que
el
plus,
t.q.
.
alors
109
6
−1 −1i A i = 2,...,N A
−1A A
N −1x∈ IR Ax =y≥ 0 x =A y≥ 0 A
Théorème
(Généralisation
N N1 tA∈M (IR) R∈C (IR ,IR ) R = (R ,...,R )N 1 N
Nβ≥ 0 x∈ IR Ax+βx≥ 0⇒x≥ 0
∂Ri ≥ 0 ∀i,j i = j Ri
∂xj
∂Ri Nx j =i ∃γ > 0 −γ≤ ≤ 0 ∀x∈ IR ∀i∈{1...N}j
∂xi
R xi i
0 ≤ R(0) ∃x˜ ≥ 0 A(x˜) ≥ R(x˜) x˜
(0) (n) (n+1) (n+1)x = 0 β ≥ γ (x ) Ax +βx =n∈IN
N(n) (n)R(x ) +βx x¯ ∈ IR Ax¯ = R(x¯)
(n) (n) (n+1)0≤x ≤x˜ ∀n∈ IN x ≤x , ∀n∈ IN.
A+βId
A R+β R
Remarque
NIR
Nf IR
N(n)(x ) ∈ IR x¯ ∈n∈IN
N (n) (n)IR x → x¯ n → +∞ x = x¯
(n)n∈ IN (x )n∈IN
β ∈]0,1[
(n+1) (n)n ∈ IN n≥n kx −x¯k≤βkx −x¯k0 0
β∈]0,1[
(n+1)kx −x¯k −→β n→ +∞,
(n)kx −x¯k
(n+1)kx −x¯k −→ 0 n→ +∞,
(n)kx −x¯kexiste
(
genc
L
est
a
si

.
onver
le
genc
tin
e
atique.
est
supp
au

moins

quadratique
à
si
tractan
il
tenan
existe
il
ue.
si
tin
e

tel
est
liné
et
ord

trons
donc
oin
et
p
il
on
existe
p
a
ourra
On
,
.
que
que
On
tel
4.
tels
alors
que
mon
si
Supp
,
moins
ou
a
existe
alors
il
et
alors
Si
,
L
Comme
:
.
.
a
la
on
;
et
xe
Comme
l'unique
.
obtenir
tout
t
our
1.
p
ose
6
t
et
6
6
appliquer
que
on
osons
t
Supp
il
suite.
trer
la
mon
de
a
ergence
de
v
par

tel
de
Comme
5.
que
L
qu'il
a
,

que
onver
1.
genc
alors
e
donc
est
onver
quadratique
alors
si
,
vitesse
si
la
il
t
maintenant
tenan
,
main
e.
hons
est


.
110
si
que
que
d'ab
tré
On
mon
onstruit
ainsi
suite
a
mon
On
Soit
ec
de
v
t
a
p
que
est
tel
que
existe
our
il
fermé),
,
étan
,
,
tous
Si
our
supp
p
que
que
xe
quand
oin
t
du
remarquan
théorème
en
et
te
alors
tractan
p

te,
2.13

L

a
alors

existe
onver
que
genc
tel
e
si
quadr
t
atique
main
est
v
évidemment
).
plus
uité
r

apide"
(
que
que
la
existe

alors
onver
.
genc
si
e
tel
liné
lorsque
air
trons
e.
et
Prop
et
osition
,
2.14
osons
Soit
6
t
Démonstration

,
est
quadr
que
au
alors
est
érie
genc
v

On
L
que
6
e
et
prouv
quand
;
,
on
que
supp
existe
ose
,alors
qu'il
que
existe
ose
qui
on


,
2.
que
air
tel
donc
tel
.
que
a
existe
onver
il
e
,

β ∈]0,1[
(n+1) (n) 2n ∈ IN n≥n kx −x¯k≤βkx −x¯k ,0 0
(n+1)kx −x¯k∃β> 0 −→β n→ +∞.
(n) 2kx −x¯k
Remarque
1f ∈ C (IR,IR) x¯∈ IR
f(x¯) =x¯
(0)x ∈ IR
(n+1) (n)x =f(x ).
f (x¯) = 0 |f (x¯)|< 1 α> 0
(0) (n) (n)x ∈I = [x¯−α,x¯+α] x →x¯ n→ +∞ x =x¯α
(n+1)|x −x¯| → |f (x¯)| = β β ∈]0,1[
(n)|x −x¯|
2f (x¯) = 0 f ∈ C (IR,IR)
(0) (n)α> 0 x ∈I = [x¯−α,x¯+α] x →x¯ n+∞α
(n)x =x¯, ∀n∈ IN
(n+1)|x −x¯| 1→β = |f (x¯)|.
(n) 2|x −x¯| 2
(0)|f (x¯)|< 1 α> 0 x ∈Iα
(n) 1x →x¯ f ∈C (IR,IR) α> 0 γ = max |f (x)|<x∈Iα
1 f
f : I → Iα α
f I|I αα
(n)x →x¯ x¯ f|Iα
1x∈I f(x)∈I f ∈C (IR,IR)α α
ξ ∈]x,x¯[ |f(x)−x¯| =|f(x)−f(x¯)| =|f (ξ)||x−x¯|≤ γ|x−x¯|< α
f(x)∈I .α
f|Iα
x,y∈I x<y ξ∈]x,y[(⊂I ) |f(x)−f(y)| =|f (ξ)||x−α α
y|≤γ|x−y| γ< 1.
(n) (0)x →x¯ x ∈Iα
(n) (n+1) (n)f (x¯) = 0 x =x¯ n∈ IN x =f(x ) x¯ =f(x¯),
(n+1) (n) 1 (n)|x −x¯| =|f(x )−f(x¯)| f ∈C (IR,IR) ξ ∈]x ,x¯[n
(n) (n) (n)]x¯,x [ f(x )−f(x¯) =f (ξ )(x −x¯)n
(n+1)|x −x¯| (n)=|f (ξ )|−→|f (x¯)| x →x¯ fn(n)|x −x¯|
′ ′ ′







′′


′ ′
donc
des
a
xe
donc
suiv
une
.

osition
v
6
ergence
et
linéaire.
Donnons
2.
et
Supp
que
osons
quadratique.
main
a
tenan
,
t
On
que
une

est
étudier
p
t
dans
tenan
eut
main
est
a
p
v
donc
On
et
et
de
.
donné
dimension
qui
en
de
monotonie
On
de
v
xe
ers
t

oin
On
p
La
du
étudie
partir
métho
.
d'un
On
métho
sait
prop
déjà
p
par
on

que
qui
résumé,
précède
si
qu'il

existe
On
à
prendre
Newton
Il
de
on
tel
au
que
tel
si
la
de
(p
métho
sur
la
traîne

oin
se
métho
t
par

a
alors
tel

ose
vu
manière
a
erge
On
suite
de
de
métho
herc
la
quand
de
te.
lorsque
v
ergence
quadratique.
v
le

t
et
de
.
la
On
non
v
de
eut
de
estimer

la
à
vitesse
de
de


p
v
,
ergence.
6
On
telle
supp
si
ose
En
p
6
our
ossible

est
que
.
2.2.1
tel
Newton
a
de
:
de
de
6
sut
Métho
donc
2.2
a
.
Or
p
moins
our
manière
tout
que

2.14)
ou
prop
)
par

our
.
donner
Comme
v
le

(dans
en

que
s'écrit
t
Newton
p
de
de
suite
la
la

de
Si

donc
la
on
,
que
il
ec
existe
a
que
p
Remarquons
quadratique.
quadratique.
de
moins
v
au
v
manière
qui
de
d'une
ers
de
v
métho
erge
he
v


que
tel
tel
que
Soit
par
précéden
suite

la
ergence
alors
donc
si
On
que
dans
tel
paragraphe
existe
an
il
la
2.14,
de
osition
Newton
prop
our
la
résolution
à
système
Grâce
linéaire.
par
l'idée
dénie
la
fonction
de
la
Newton
,
le
de
osition
he
la

partir
pro
résultats
assez
111
our
2f (x¯) = 0 f ∈ C (IR,IR)
(0) (n)α > 0 x ∈ I x →→ x¯α
n→ +∞
(n)x =x¯ n∈ IN
2 (n) (n) (n)f ∈C (IR,IR) ξ ∈]x ,x¯[ f(x )−f(x¯) =f (x¯)(x −n
1 (n) 2 (n+1) 1 (n) 2x¯) + f (ξ )(x −x¯) . x −x¯ = f (ξ )(x −x¯)n n22
(n+1)|x −x¯| 1 1
= |f (ξ )|−→ |f (x¯)| n→ +∞.n(n) 2 2 2|x −x¯|
3N = 1 g∈C (IR,IR)
x¯∈ IR g(x¯) = 0.
N(n)(x ) ∈ IR x¯n
2f(x) =x+h(x)g(x) h∈C (IR,IR) h(x) = 0 ∀x∈ IR.
f(x) =x⇔g(x) = 0.
f (x¯) = 0 f
(0) (n) (n)x ∈I (x ) x →x¯α n∈IN
f (x) = 1+h (x)g(x)+g (x)h(x) f (x¯) =
1
1+g (x¯)h(x¯). h h(x¯) =−
g (x¯)
g (x¯) = 0
3g ∈ C (IR,IR) g (x) = 0 ∀x ∈ IR g(x¯) = 0
2x x¯ f ∈C (IR,IR)
g(x)
f(x) =x− .
g (x)
(0)α > 0 x ∈ Iα
(n)g(x )(n+1) (n) (n)
dénie x = f(x ) = x − x¯
′ (n)g (x )
(n) (n+1) (n) (n) (n) (n) (n+1)N = 1 g (x )(x −x ) =−g(x ) g(x )+g (x )(x −
(n)x ) = 0
Construction
N = 1
′ ′





′ ′ ′ ′

′′ ′′
′′ ′′

′ar
si
s'é
de
est
dans
de
le
main

suite
métho
on

On
Soien
.
t

:
2.
a
système
on
our
,
.
si
air
et
supp
:
Newton,
ose
système
p
moins
on
v
si
métho
lors,
questions
A
bien
et
,
.
ar
alors
si
si
ar
2.
si
;
la
et
zér
tels
existe
que
inversible.
inversible
.
est
et
alors
la
si
r
1.
métho
:
(Con
que
v
tels
3.
On
P

la
herc
a
he
à
une
:
métho
in
de
si
de
,

Résolution
d'une
alors
suite
dénie
existe
si
qu'il
,
plus
et
de
dénie
ose
la
supp
que
On
2.15
inversible.
,
est

que
est
ose
i.e.
qui
dénie

lors
v
que
erge
ave
v
d'une
ers
que
supp
Soient
On
,
de
de
manière
evient
quadratique.
e
L'algorithme
air
de
de
Newton
eet
de
?

est-elle
d'une
donc
telle

suite
quand
s'écrit
Aton
:
assurer
induite.
ergence
norme
de
la
on
de
herc
et
nan
norme
ondre
d'une
an
munit
la
On
ersible
.
?
que
112
tels
et
et
3.
Soient
quand
I)
2.
I
du
Newton,
linéaire
de
(2.2.6)
de
p
métho
est
la
la
de
et
ergence
2.
v
tout
(Con
p
2.17
(2.2.6)
:
p
en
bien
érier
suite
v
alors
à
1.

tels
très
et
pas
Si
mais
fonction
faibles
dont
plus

othèses
un
yp
o
h
liné
des
e,
utilise
si
qui
est
t,
p
an
il
(2.2.6)
A
(On
est
rapp
ose
elle
On
que

v
norme
sui-
munit
théorème
.
le
tels
trer
et
démon
I)
par
de

alors
a
métho
v
de
on
r
théorème,
à

ésoudr
trer
le
démon
liné
est
e
la
la
matrice
ergence
représen
En
tan
v
t
2.16
la
quadratique
diéren
au
tielle
ergence
de
et
our
(2.2.6)
en

P
La
.
?
alors
ergence
(2.2.6)

.)
.
P
our
our
la

v
haque
et
ar
qualité
p
la
dénie
de,
est
v
,

il
her
faut
te-
donc
t
eectuer
rép
les
aux
op
suiv
érations
tes
suiv
1.
an
suite
tes
?
:
v
1.
Aton
Calcul
estelle
de
dénie
suite
la
N N N1N g ∈ C (IR ,IR ) x¯ ∈ IR
g(x¯) = 0.
(n) N(x ) ∈ IRn


(0) Nx ∈ IR
(n) (n+1) (n) (n)Dg(x )(x −x ) =−g(x ),∀n≥ 0.
(n)Dg(x )∈M (IR)N
(n)g x
n∈ IN
(n)Dg(x )
(n) (n+1) (n) (n)Dg(x )(x −x ) =−g(x )
Remarque g g
Ng(x) =Ax−b A∈M (IR) b∈ IRN
(n)
Newton Ax =b Dg(x ) =A
(n+1)Ax =b
(n) (n)(x ) Dg(x )n
(n)x →x¯ n+∞
Théorème g∈
N N N N2C (IR ,IR ) x¯∈ IR g(x¯) = 0 IR kk
Dg(x¯) b> 0 β > 0
N(0) (n)x ∈ B(x¯,b) = {x ∈ IR ,kx−x¯k < b} (x )n∈IN
(n)x ∈B(x¯,b) n∈ IN
(0) (n)x ∈ B(x¯,b) (x )n∈IN
(n)x →x¯ n→ +∞
(0) (n)x ∈ B(x¯,b) (x )n∈IN
(n+1) (n) 2kx −x¯k≤βkx −x¯k ∀n∈ IN
pratique
Théorème
N N N N1g ∈ C (IR ,IR ) x¯ ∈ IR g(x¯) = 0 IR
kk M (IR) Dg(x¯)N

a,a , a ∈ IR1 2 +
−1x∈B(x¯,a) Dg(x) kDg(x)) k≤a1
2x,y∈B(x¯,a) kg(y)−g(x)−Dg(x)(y−x)k≤a ky−xk2
1 (0)b = min a, > 0, β =a a x ∈B(x¯,b)1 2
a a1 2

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