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http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm UFR S.T.M.I.A.
´Ecole Doctorale IAEM
Universit´e Henri Poincar´e - Nancy I
D.F.D. Math´ematiques
Th`ese
pr´esent´ee pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Universit´e Henri Poincar´e, Nancy-I,
en Math´ematiques Appliqu´ees
´par Blandine BERARD BERGERY
Approximation du temps local et int´egration par r´egularisation
Soutenue publiquement le 16 octobre 2007
Membres du jury :
Rapporteurs : Dominique Lepingle Professeur a` l’Universit´e d’Orl´eans.
Philip Protter Professeur a` Cornell University
Examinateurs : Michel Emery Professeur a` l’Universit´e de Strasbourg.
Bernard Roynette Professeur a` l’IECN, UHP.
Pierre Vallois Professeur a` UHP.
´Institut Elie Cartan Nancy (Math´ematiques), Facult´e des Sciences et Techniques
B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-l`es-Nancy Cedex, France
1Table des mati`eres
1 Introduction 5
1.1 Int´egration par r´egularisation et temps local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Rappels sur les semi-martingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 G´en´eralisation aux processus continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Vers une formule d’approximation du temps local : J (t,y). . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 D´ecompositions successives de J (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Une d´ecomposition ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Deuxi`eme d´ecomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Derni`ere d´ecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 R´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Temps local des semi-martingales 19
1 22.1 Convergence de J (t,x) via la convergence de I (t) et I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 R´esultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Preuve de la Proposition 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Preuve de la Proposition 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 42.2 Convergence de I (t) et I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 R´esultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Preuve du Th´eor`eme 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Preuve du th´eor`eme 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Approximation du temps local du mouvement brownien 29
3.1 De nombreuses approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Convergence de J (t) dans le cas brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Une preuve directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
23.2.2 Convergence de I (t) seul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
23,i 4,i3.3 Convergence de I (t) et I (t), i = 1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4,23.3.2 Convergence de I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3,23.3.3 Convergence de I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
23.4 Vitesse de convergence de J (t) dans L et convergence presque suˆre . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.4.2 Vitesse de convergence de I (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
23.4.3 Vitesse de convergence de I (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.4 Convergence presque suˆre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Convergence vers le temps local de certaines martingales gaussiennes 54
4.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13 04.2 Convergence de A (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 t4
7 1 04.2.1 Convergence de D (t) vers L (X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 t4
64.2.2 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1 24.3 Convergence de A (t)+A (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1 24.3.1 D´ecomposition de A (t)+A (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
14.3.2 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
24.3.3 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 44.3.4 Convergence de D (t) et D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13,2 04.4 Convergence de I (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 t4
13,2 0e4.4.1 Convergence de I (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 t4
3,2
4.4.2 Convergence de I (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 R´esultats de convergence presque surˆ e 81
5.1 Convergence presque suˆre vers l’int´egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.1 Preuve du Th´eor`eme 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
−5.1.2 La martingale I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
−5.1.3 Convergence presque suˆre de (I (t)) vers I(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84n∈Nn
5.1.4 Convergence de ξ (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
e5.1.5 Convergence de ξ (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Convergence presque suˆre vers la variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Convergences au second ordre 94
6.1 Th´eor`eme principal de convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3´6.1.1 Enonc´e du Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.3 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.4 Convergence en loi finie-dimensionnelle et crit`ere de Kolmogorov . . . . . . . . . . 101
6.2 Convergence en loi vers la variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 Convergence dans le cas H = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.2 Convergence dans le cas H =f(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.3 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.4 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H est ´etag´e . . . . . . . . . . . . . . . . 114
26.4 Convergence dans L vers l’int´egrale stochastique si H est `a variation finie . . . . . . . . . 119
6.5 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H est l’int´egrale stochastique d’un pro-
cessus H¨olderien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
´6.5.1 Enonc´e du Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5.3 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.6 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H =f(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
(2)
6.7 Remarque sur Δ ,Δ et W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4Chapitre 1
Introduction
En se basant sur la th´eorie de l’int´egration par r´egularisation et la convergence uniforme en probabilit´e,
ond´efinitplusieurssch´emasd’approximationdutempslocal.Selonlescas,ilssontvalablespourdessemi-
martingales, des diffusions ou pour le mouvement brownien standard. En outre, on s’int´eresse a` d’autres
modes de convergence que la convergence en probabilit´e dans le cadre de l’int´egration par r´egularisation.
On ´etudie des cas de convergences presque surˆ e, puis des convergences au second ordre.
Dans ce chapitre, on commence par faire des rappels sur les semi-martingales continues (Section 1.1.1),
puis sur l’int´egration par r´egularisation (Section 1.1.2). On pr´esente un premier sch´ema d’approximation
du temps local dans la Section 1.1.3. Ce premier sch´ema peut se d´ecomposer de plusieurs mani`eres,
chacune donnant naissance `a de nouveaux sch´emas d’approximation. Ces diff´erentes d´ecompositions sont
pr´esent´ees dans la Section 1.2. Ce chapitre se termine avec une s´erie de r´esultats pr´eliminaires qui seront
utilis´es fr´equemment dans les chapitres suivants (Section 1.3).
Dans les trois chapitres suivants, on ´etudie la convergence des diff´erents sch´emas d’approximation vers
le temps local. Le Chapitre 2 concerne les semi-martingales et les diffusions r´eversibles. Le Chapitre 3 se
concentre sur le cas particulier du mouvement brownien standard. Enfin, le Chapitre 4 traite le cas de
certaines martingales browniennes. L’essentiel de ces r´esultats a ´et´e publi´e dans [3], et le cas brownien a
fait l’objet de [4].
Les deux derniers chapitres sont consacr´es `a d’autres modes de convergence que la convergence en proba-
bilit´e. Dans le Chapitre 5, on montre la convergence presque suˆre vers l’int´egrale stochastique dans le cas
ou` l’int´egrant est H¨old´erien. Dans le Chapitre 6, on´etudie la convergence au second ordre de la variation
quadratique et de l’int´egrale stochastique.
1.1 Int´egration par r´egularisation et temps local
Soit(Ω,F,(F ) ,P)unespacedeprobabilit´ecompletet(X ) unprocessusr´eelcontinu,(F )-adapt´e.t t>0 t t>0 t
Une cat´egorie particuli`ere de tels processus est celle des semi-martingales continues, ou alors celles des
processus gaussiens. Alors qu’on connaˆıt d´ej`a une int´egrale, une variation quadratique et un temps local
pour les semi-martingales (voir section 1.1.1), de tels objets n’existent pas pour le cas des processus
continus en g´en´eral, et mˆeme pas dans le cadre restreint des processus gaussiens. Les travaux de Russo
5et Vallois dans [21], [22] et [23] ont permis de d´efinir une int´egrale et une variation quadratique pour une
classe de processus continus plus large que les semi-martingales (voir section 1.1.2). En se basant sur le
proc´ed´e de construction de cette variation quadratique, on d´efinit une premi`ere famille d’approximation
du temps local (voir section 1.1.3).
1.1.1 Rappels sur les semi-martingales continues
Avant de consid´erer les processus continus en g´en´eral, rappelons quelques r´esultats connus pour les semi-
martingales continues. Ces rappels sur le calcul stochastique d’Itˆo sont tir´es de [19] et [14]. Commenc¸ons
par rappeler bri`evement ce que sont les semi-martingales, leur variation quadratique et l’int´egrale sto-
chastique par rapport `a une semi-martingale.
D´efinition 1.1.1 Un processus X est une (F )- semi-martingale continue si X peut s’´ecrire X =X +t 0
M +A, avec X une variable al´eatoire F -mesurable, M une (F )-martingale locale continue et A un0 0 t
processus continu, (F )-adapt´e et `a variation finie.t
Nous rappelons ensuite la d´efinition de la variation quadratique pour une martingale, puis pour une
semi-martingale.
D´efinition 1.1.2 Soient X,Y deux martingales locales continues. Alors il existe un unique processus
< X,Y > adapt´e, continu et `a variation born´ee tel que < X,Y > = 0 et XY− < X,Y > est une0
martingale locale continue.
Si X =Y, alors <X,X > est la variation quadratique de X et c’est un processus croissant. On notera
parfois dans la suite <X >=<X,X >.
D´efinition 1.1.3 Soit X = X +M +A une semi-martingale continue, avec M une martingale locale0
continue,A un processus continu adapt´e a` variation born´e. On d´efinit la variation quadratique deX par :
<X,X >=<M,M >.
2P
n nSignalonsque<M,M > estd´efinieclassiquementparlaconvergenceenprobabilit´ede M −Mt t ti i+1 i
ou` Δ ={0 =t <···<t =t} est une subdivision de [0,t] telle que |Δ | converge vers 0.n 0 n n
Enfin, rappelons la d´efinition de l’int´egrale stochastique d’Itˆo pour une semi-martingale.
D´efinition 1.1.4 Si X =X +M +A est une semi-martingale, alors pour tout processus K progressi-0
vement mesurable tel que pour tout t> 0,
Rt 21) K d<M > <∞,ss0
Rt
2) |K| d|A| <∞,s s0
Rt
on peut d´efinir ( K dX ) l’int´egrale stochastique d’Itˆo deK par rapport `aX de la mani`ere suivante :s s t>00
Z Z Zt t t
K dX = K dM + K dA ,s s s s s s
0 0 0
R Rt t
avec K dM l’int´egralestochastiqueparrapport`alamartingalelocalecontinueM et K dA l’int´egrales s s s0 0
Rt
de Stieljes par rapport a` A. Le processus ( K dX ) est une semi-martingale continue nulle en 0.s s t>00
Gracˆ e `a la variation quadratique et l’int´egrale stochastique, on montre que l’image d’une semi-martingale
2continue par une fonction de classe C est une semi-martingale continue.
62Th´eor`eme 1.1.5 (Formule d’Itˆo) Soit X une semi-martingale continue et F ∈ C (R). Alors F(X)
est une semi-martingale continue et on a pour tout t> 0 :
Z Zt t
10 00F(X ) =F(X )+ F (X )dX + F (X )d<X > .t 0 s s s s
20 0
2La formule d’Itˆo ci-dessus n’est valable que pour des fonctionsF de classeC (R), mais on peut´ecrire une
formule semblable pour les fonctions convexes, en introduisant le temps local d’une semi-martingale.
Commen¸cons par rappeler les r´esultats relatifs au temps local L(X) de la semi-martingale X.
aTh´eor`eme 1.1.6 (formule de Tanaka) Pour tout a∈R, il existe (L (X),a∈R,t> 0) un processust
abimesurable, adapt´e, appel´e le temps local de X, tel que pour tout a∈R, t→L est croissant continu, ett
tel que pour tout t> 0,a∈R
Z t
1+ + a
(X −a) = (X −a) + 1I dX + L (X),t 0 {X >a} ss t20
Z t
1− − a(X −a) = (X −a) − 1I dX + L (X),t 0 {X 6a} ss t20
Z t
a|X −a| =|X −a|+ sign(X −a)dX +L (X).t 0 s s t
0
− +Remarque. On rappelle que x = sup(−x,0) et x = sup(x,0).
On peut maintenant ´ecrire une extension de la formule d’Itˆo pour les fonctions convexes.
Th´eor`eme 1.1.7 (Formule d’Itˆo-Tanaka) SoientX unesemi-martingalecontinueetF unediff´erence
de deux fonctions convexes. Alors F(X) est une semi-martingale et pour t> 0, on a
Z Zt
10 a 00F(X ) =F(X )+ F (X )dX + L F (da),t 0 s s− t20 R
0 00avec F la d´eriv´ee `a gauche de F et F (da) la d´eriv´ee seconde au sens des distributions.−
aTerminons ces rappels par une br`eve ´etude du temps local.L (X) est un processus qui sert `a mesurer ce
qui se passe localement autour de a, comme on peut le voir dans les propositions suivantes.
aProposition 1.1.8 Pour tout a ∈ R, le processus (L (X),t > 0) ´etant croissant, on peut lui associert
a +une mesure dL surR . Cette mesure est port´ee par l’ensemble {t :X =a}.tt
Proposition 1.1.9 (Formule de densit´e d’occupation) Pour toute fonction φ bor´elienne positive
d´efinie surR , on a presque surˆ ement pour tout t> 0 :
Z Zt
aφ(X )d<X > = φ(a)L (X)da.s s t
0 R
Une extension de cette formule peut ˆetre trouv´ee en exercice dans [19] :
Proposition 1.1.10 SiX est une semi-martingale continue, alors presque surˆ ement, pour toute fonction
h bor´elienne positive d´efinie surR ×R,+
Z Z Zt t
ah(s,X )d<X > = h(s,a)dL (X) da.s s s
0 R 0
7´Enon¸cons maintenant quelques propri´et´es de r´egularit´e du temps local.
Proposition 1.1.11 SoitX une semi-martingale continue. Alors il existe une modification du processus
Rta a(L (X)) telle que (a,t)→L (X) est p.s continu ent et c`adl`ag ena. Si de plus, 1I dX =a∈R,t>0 st t {X =a}0 s
0, alors il existe une modification bicontinue de L(X).
Remarque.
Rt
1) Pour le mouvement brownien (B ) , on a 1I dB = 0. En effet,t t>0 {B =a} ss0
Z Z Zt t t
2 2E ( 1I dB ) =E 1I ds = P(B =a)ds = 0.{B =a} s ss {B =a}s
0 0 0
Rt
Plus g´en´eralement, si X est une martingale, alors 1I dX = 0.{X =a} ss0
Rt
2) Si 1I dX = 0, la deuxi`eme ´egalit´e du Th´eor`eme 1.1.6 peut ˆetre modifi´ee de la mani`eres{X =a}0 s
suivante : Z t
1− − a(X −a) = (X −a) − 1I dX + L (X).t 0 {X <a} ss t20
Dans le cas des martingales, on a plus de r´egularit´e que la simple bicontinuit´e.
Proposition 1.1.12 Soit X une martingale continue. On peut choisir une version du temps local telle
1aque, presque suˆrement, a→L est H¨olderien d’ordre δ uniform´ement en t∈ [0,T], pour tout δ< .t 2
Enfin, la Proposition suivante donne une premi`ere formule d’approximation du temps local par des
int´egrales. Ce r´esultat est une cons´equence directe de la formule de densit´e d’occupation et de la Propo-
sition 1.1.11.
Proposition 1.1.13 Soit X une semi-martingale continue, alors
Z t1a∀t> 0,a∈R, L (X) = lim 1I (X )d<X > p.s.s st [a,a+[
→0 0
Si X est une martingale locale continue, on a :
Z t1aL (X) = lim 1I (X )d<X > .]a− ,a+[ s st →0 2 0
Si on veut ´etendre les formules d’Itˆo et d’Itˆo-Tanaka pour des processus continus plus g´en´eraux, comme
les processus gaussiens ou des processus continus, il faut utiliser une int´egrale qui ´etende celle d’Itˆo. La
d´efinition de cette int´egrale stochastique ´etendue est l’objet de la section suivante.
1.1.2 G´en´eralisation aux processus continus
Commen¸cons par d´efinir l’int´egrale forward, qui´etend l’int´egrale stochastique d’Itˆo pour certains proces-
suscontinus.L’int´egraleforward,etplusg´en´eralementl’int´egrationparr´egularisation,ont´et´eintroduites
etd´evelopp´eesparRussoetValloisdans[21],[22],[23]et[24].Cetteint´egraleseconstruitparconvergence
(ucp) d’une famille d’int´egrales. Rappelons la d´efinition de la convergence (ucp) ( d’apr`es la Section II.4
de [18]).
8()
D´efinition 1.1.14 On dit qu’une famille de processus (H ) converge uniform´ement sur les compactst>0t
()
en probabilit´e (ucp) vers (H ) si pour tout T > 0, sup |H −H | converge en probabilit´e vers 0t t>0 t06t6T t
quand tend vers 0.
Nous pouvons maintenant introduire la d´efinition de l’int´egrale forward, valable pour certains processus
continus.
D´efinition 1.1.15 Soient X un processus r´eel continu (F )-adapt´e et H un processus (F )-adapt´e. Ont t
Rt −d´efinit Hd X l’int´egrale forward de H par rapport `a X comme la limite suivante :
0
Z Zt t
1−∀t> 0, Hd X = lim(ucp) H (X −X )ds,s s+ s
→0 0 0
si cette limite existe.
Comme dans la section 1.1.1, on associe a` l’int´egrale forward une variation quadratique, d´efinie aussi par
convergence (ucp). Pour la diff´erencier de la variation quadratique ordinaire, on la note [,].
D´efinition 1.1.16 Soient X,Y deux processus r´eels continus. On d´efinit le crochet de X et Y par :
Z .1
[X,Y] = lim(ucp) (Y −Y )(X −X )ds. s+ s s+ s
→0 0
si cette limite existe.
Si Y =X, alors [X,X] est appel´e variation quadratique de X.
On remarque que pour un processus continu, il existe un lien tr`es fort entre l’existence de sa variation
quadratique et celle de certaines int´egrales forward.
Proposition 1.1.17 Soit X un processus continu. [X,X] existe si et seulement si pour tout f fonction
R.1 −de classe C , f(X)d X existe.
0
L’int´egraleforwardetlavariationquadratiqueainsid´efiniessontdesextensionsdel’int´egralestochastique
d’Itˆo et de la variation quadratique ordinaire relatives aux semi-martingales continues, comme on le voit
dans ces r´esultats tir´es de [20].
Proposition 1.1.18 Si X,Y sont deux semi-martingales continues, alors [X,Y] =<X,Y >.
Proposition 1.1.19 Soient X une semi-martingale continue et H processus (F )-adapt´e admettant dest
limites a` gauche, alors :
Z Zt t
−∀t> 0, Hd X = H dX ,s− s
0 0
Rt
avec H dX l’int´egrale stochastique habituelle.s s0
La variation quadratique poss`ede une propri´et´e de stabilit´e, tir´ee de [21] :
Proposition 1.1.20 Soient X,Y processus continus tels que [X,Y],[X,X],[Y,Y] existent et f,g ∈
1C (R), alors [f(X),g(Y)] existe et
Z t
0 0∀t> 0, [f(X),g(Y)] = f (X )g (X )d[X,Y] .t s s s
0
9