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http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm UFR S.T.M.I.A.
´Ecole Doctorale IAEM
Universit´e Henri Poincar´e - Nancy I
D.F.D. Math´ematiques
Th`ese
pr´esent´ee pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Universit´e Henri Poincar´e, Nancy-I,
en Math´ematiques Appliqu´ees
´par Blandine BERARD BERGERY
Approximation du temps local et int´egration par r´egularisation
Soutenue publiquement le 16 octobre 2007
Membres du jury :
Rapporteurs : Dominique Lepingle Professeur a` l’Universit´e d’Orl´eans.
Philip Protter Professeur a` Cornell University
Examinateurs : Michel Emery Professeur a` l’Universit´e de Strasbourg.
Bernard Roynette Professeur a` l’IECN, UHP.
Pierre Vallois Professeur a` UHP.
´Institut Elie Cartan Nancy (Math´ematiques), Facult´e des Sciences et Techniques
B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-l`es-Nancy Cedex, France
1Table des mati`eres
1 Introduction 5
1.1 Int´egration par r´egularisation et temps local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Rappels sur les semi-martingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 G´en´eralisation aux processus continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Vers une formule d’approximation du temps local : J (t,y). . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 D´ecompositions successives de J (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Une d´ecomposition ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Deuxi`eme d´ecomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Derni`ere d´ecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 R´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Temps local des semi-martingales 19
1 22.1 Convergence de J (t,x) via la convergence de I (t) et I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 R´esultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Preuve de la Proposition 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Preuve de la Proposition 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 42.2 Convergence de I (t) et I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 R´esultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Preuve du Th´eor`eme 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Preuve du th´eor`eme 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Approximation du temps local du mouvement brownien 29
3.1 De nombreuses approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Convergence de J (t) dans le cas brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Une preuve directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
23.2.2 Convergence de I (t) seul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
23,i 4,i3.3 Convergence de I (t) et I (t), i = 1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4,23.3.2 Convergence de I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3,23.3.3 Convergence de I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
23.4 Vitesse de convergence de J (t) dans L et convergence presque suˆre . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.4.2 Vitesse de convergence de I (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
23.4.3 Vitesse de convergence de I (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.4 Convergence presque suˆre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Convergence vers le temps local de certaines martingales gaussiennes 54
4.1 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13 04.2 Convergence de A (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 t4
7 1 04.2.1 Convergence de D (t) vers L (X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 t4
64.2.2 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1 24.3 Convergence de A (t)+A (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1 24.3.1 D´ecomposition de A (t)+A (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
14.3.2 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
24.3.3 Convergence de D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 44.3.4 Convergence de D (t) et D (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
13,2 04.4 Convergence de I (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 t4
13,2 0e4.4.1 Convergence de I (t) vers L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 t4
3,2
4.4.2 Convergence de I (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 R´esultats de convergence presque surˆ e 81
5.1 Convergence presque suˆre vers l’int´egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1.1 Preuve du Th´eor`eme 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
−5.1.2 La martingale I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
−5.1.3 Convergence presque suˆre de (I (t)) vers I(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84n∈Nn
5.1.4 Convergence de ξ (t) vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
e5.1.5 Convergence de ξ (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Convergence presque suˆre vers la variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Convergences au second ordre 94
6.1 Th´eor`eme principal de convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3´6.1.1 Enonc´e du Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.1.3 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.4 Convergence en loi finie-dimensionnelle et crit`ere de Kolmogorov . . . . . . . . . . 101
6.2 Convergence en loi vers la variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.1 Convergence dans le cas H = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2.2 Convergence dans le cas H =f(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.3 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.4 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H est ´etag´e . . . . . . . . . . . . . . . . 114
26.4 Convergence dans L vers l’int´egrale stochastique si H est `a variation finie . . . . . . . . . 119
6.5 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H est l’int´egrale stochastique d’un pro-
cessus H¨olderien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
´6.5.1 Enonc´e du Th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5.3 M´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.6 Convergence en loi vers l’int´egrale stochastique si H =f(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
(2)
6.7 Remarque sur Δ ,Δ et W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4Chapitre 1
Introduction
En se basant sur la th´eorie de l’int´egration par r´egularisation et la convergence uniforme en probabilit´e,
ond´efinitplusieurssch´emasd’approximationdutempslocal.Selonlescas,ilssontvalablespourd