Exceptional polynomialsand monodromy groupsin positive characteristicDissertation zur Erlangung desnaturwissenschaftlichen Doktorgradesder Julius-Maximilians-Universit¨at Wurzburg¨vorgelegt vonFlorian M¨ollerInstitut fur¨ Mathematik der Universitat¨ Wurzburg¨Wurzburg¨ , M¨arz 2009iiDanksagungIch m¨ochte mich herzlich bei Professor Peter Muller¨ fu¨r seine Unterstu¨tzung in allen Phasenmeiner Promotion bedanken.Als Betreuer meiner Dissertation lastete auf Herrn Mu¨ller die Aufgabe, mir einerseits zuzeigen wie sch¨on freie und eigenst¨andige Forschungst¨atigkeit sein kann, mir andererseits aberauch Probleme vorzulegen, die mich in meiner Promotion voranbrachten. Dies ist HerrnMu¨ller ausgezeichnet gelungen.Besonders erw¨ahnen m¨ochte ich noch, dass Professor Mul¨ ler mehrere komplizierte math-ematische Situationen, mit denen ich mich konfrontiert sah, stark vereinfachte. Erst durchseine Hilfe sind mir einige Beweise gelungen oder in ihre jetzige lesbare(re) Form gebrachtworden.Weiterhin danke ich Professor Theo Grundh¨ofer, der fu¨r meine Fragen immer ein offenes Ohrhatte und mir an mancher Stelle mit wertvollen Literaturhinweisen half. Weiter habe ichihm eine zus¨atzliche Anstellung am Lehrstuhl fur¨ Mathematik III zu verdanken. Ohne dieUnterstutzun¨ g vonHerrnGrundh¨oferw¨are mirmeine Promotionerheblichschwerergefallen.
Exceptional polynomials and monodromy groups in positive characteristic
Dissertation zur Erlangung des naturwissenschaftlichen Doktorgrades derJulius-Maximilians-Universit¨atWu¨rzburg
vorgelegt von
FlorianM¨oller
Institutf¨urMathematikderUniversita¨tWu¨rzburg
Wu¨rzburg,Ma¨rz2009
ii
Danksagung Ichm¨ochtemichherzlichbeiProfessorPeterM¨ullerf¨urseineUnterstu¨tzunginallenPhasen meiner Promotion bedanken. AlsBetreuermeinerDissertationlasteteaufHerrnMu¨llerdieAufgabe,mireinerseitszu zeigenwiesch¨onfreieundeigensta¨ndigeForschungsta¨tigkeitseinkann,mirandererseitsaber auch Probleme vorzulegen, die mich in meiner Promotion voranbrachten. Dies ist Herrn M¨ullerausgezeichnetgelungen. Besonderserwa¨hnenm¨ochteichnoch,dassProfessorMu¨llermehrerekompliziertemath-ematische Situationen, mit denen ich mich konfrontiert sah, stark vereinfachte. Erst durch seine Hilfe sind mir einige Beweise gelungen oder in ihre jetzige lesbare(re) Form gebracht worden.
WeiterhindankeichProfessorTheoGrundho¨fer,derfu¨rmeineFragenimmereinoffenesOhr hatte und mir an mancher Stelle mit wertvollen Literaturhinweisen half. Weiter habe ich ihmeinezusa¨tzlicheAnstellungamLehrstuhlf¨urMathematikIIIzuverdanken.Ohnedie Unterst¨utzungvonHerrnGrundho¨ferw¨aremirmeinePromotionerheblichschwerergefallen.
Affine polynomials of degreep2 6.1. Cases in odd characteristicp6 . . . . . . . . . .= 2 6.2. Cases in even characteristicp .= 2. . . . . . . . .
Exceptional polynomials of degreep3 7.1. The cases in characteristicp >3 . . . . . . . . . . 7.2. The cases in characteristicp∈ {23}. . . . . . . .
Exceptional polynomials of degreepr,ran odd prime,
. . . . . .
. . . . . .
with
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2-transitive
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
groupA
61 62 63
65 65 68
69
1. Introduction
In 1923 Schur [43] requested a description of all polynomialsf∈Z[X] that induce a bijection onZ/pZfor infinitely many primesp. He proved that iffis of prime degree, then it is – up to linear changes over the algebraic closure ofQ– either a cyclic polynomialXqor a Chebychev polynomialTq(X) (defined implicitly byTq(X+ 1/X) =Xq+X1q). He conjectured that in the general casef Thiswas proved by Fried [13] inis a composition of such polynomials. 1970. Schur’s original question has been generalized in several ways: Turnwald [48] discusses theproblemoverintegraldomains,Guralnick,Mu¨ller,andSaxl[19]characterizerational functionsrover number fieldsKso thatrinduces a bijection on the residue fieldKpfor infinitely many placesp∈ P(K). There is a different generalization of interest to us: we assume the base field to be of positive characteristic and search forexceptional polynomials, i.e. polynomials that fulfill the following Definition (Exceptionality)Assumek Letis a finite field.f∈k[X]be a polynomial with coefficients ink. IfKis an extension field ofk, thenfis called apermutation polynomial overKiffinduces a bijection onK. f∈k[X]is calledexceptional overkif it is a permutation polynomial over infinitely many finite extensions ofk. The classification of permutation polynomials has a long tradition and goes back to Her-mite [24] who noticed that any functionk→kwithka finite field can be represented by a polynomial. A broad survey of permutation polynomials can be found in Lidl and Niederreiter [35]. An important step forward concerning the theory of exceptional polynomials was the refor-mulation of the original definition in terms of Galois theory and covering theory in positive characteristic. Afirst consequence was the proof of the following Exceptionality Lemma (cf. [14])Letkbe a finite field of characteristicpandta tran-scendental overk. Letf∈k[X]be a polynomial. Denote the set of zeros off(X)−tbyZ. Fix a zerox∈Z. Then: (1) Supposefis not ap-th power ink[X]. Thenfis exceptional overkif and only if the xof the arithmetic monodromy group of-stabilizer ffixes no orbit of thex-stabilizer of the geometric monodromy group offonZ\ {x} definition of monodromy groups. (A is given on page 7.) (2) Supposefis a compositionf=f1◦f2withf1 f2∈k[X]. Thenfis exceptional over kif and only if bothf1andf2are exceptional overk. In 1993 Fried, Guralnick, and Saxl [14] realized that this result reduces the classification of exceptional polynomials essentially to a question about primitive groups. They used the