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Directeur
orteur
osé
de
Klartag
doctora
P
t
ranc
Université
Olivier
P
Lataªa
aris-Es
Mey
t
Examinateur
École
MM.
Do
Barthe
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Cordero-Erausquin
al
Examinateur
e
orteur
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Bernard
ICMS
thèse
Discipline
Examinateur
:
jor
Mathématiques
comp
Inégalités
de
géométriques
F
et
k
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Rapp
ctionnelles
Dario
par
Examinateur
Joseph
Guédon
Lehec
Bo'az
Souten
Rapp
ue
Rafaª
le
Examinateur
3
Maurey
décem
de
bre
Mathieu
2008
er
dev
Alain
an
a
t
jury
un
Thèse
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010été
Pierre
de
mesure
jor,
la
endan
c
Cyril
hance
Olivier
que
,
j'ai
des
d'a
à
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Bernard
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Maurey
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c
de
Lataªa
thèse.
l'honneur
Je
mais
le
lizi,
remercie
thèse
de
d'Analyse
m'a
et
v
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oir
jury
fait
fois
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implication
de
High
son
ermis
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conférences,
v
prot
oir
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et
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de
qui
son
à
in
l'honneur
tuition,
.
je
mem
le
jury
remercie
Matthieu
égaleme
d
n
Gozlan
t
erto.
p
aussi
our
l'Équip
sa
l'Univ
patience
Marie
et
un
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a
b
Cordero-Erausquin
onne
dans
h
Je
umeur.
une
Je
P
suis
our
t
le

Phenomena
s
o
reconnaissan
m'a
t
particip
à
nom
F
m'on
ranc
è
k
es.
Barthe
biais
et
on
Bo'az
herc
Klartag
v
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Keith
s'être
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trois
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ou
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me
mon
particip
tra
jury
v
t
ail
d'être
et
bres
d'a
mon
v
,
oir
aussi
accepté
F
d'être
a
rapp
e
orteurs.
Nathaël
J'ai
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Cette
thèse
doit
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b
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Lab
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d'Analyse
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Mathé-
grand
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Dario
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et
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Guédon
P
mon
aris-Est,
.
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v
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Métho
dans
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Dimensi
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source
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t
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P
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j'ai
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t
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Ball,
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m'a
notammen
p
t
t
Mathieu
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Mey
Londres,
er
Rafaª
et
qui
Alain
fait
P
de
a
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jor,
mon
qui
fon
me
Je
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010authors
Geometric
c
La
ll
ma
giv
jeure
la
partie
taló
de
where
cette
e
thèse
new
est
momen
consacrée
con
à
is
l'inégalité
among
de
alagrand.
Blasc
b
hk
er.
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The
tal
San
ó,
whic
qui
W
s'énonce
de
ainsi
clés.
:
ce
parmi
Inequalities
les
the
ensem
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bles
Euclidea
symétriques,
duct
la
generic
b
th
oule
to
euclidienne
Milman,
maximise
ere
le
this
pro
this
duit
ofs
4
inequalities.
cesses.
San
pro-
ery
gaussian
out
,
sharp
ry
c
t
haînage
geome
alagrand.
ex
fonctionnelle,
v
exité,
,
s
con
F
inequalities,
This
désignan
ab
t
hk
le
y
p
states
o-
sets,
laire
b
de
the
analysis,
ords.
.
of
I
th
l
Lataªa,
existe
p
des
dy
v
Sev
ersions
Artstein,
fonctionnelles
radelizi,
d
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e
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cette
inequalities
inégalité,
y
découv
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ertes
is
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direct
plusieurs
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auteurs
a
(Ball,
pro
Artstein,
ofs
Klartag,
some
Milman,
are
F
The
radelizi,
is
Mey
c
er.
obtain
.
ound
.),
of
mais
due
elles
c
son
à
t
T
toutes
Mots
dériv
Analyse
ées
inégalités,
de
unctional
l'inégalité
pro
ensem
ssu
bliste.
gaussiens.
L'ob
and
jet
unctional
de
Abstract.
cette
thesis
thèse
mostly
est
out
de
Blasc
prop
e-San
ose
inequalit
r
,
des
h
démonstrations
that
directes
symmetric
de
the
ces
n
inégalités
a
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maximises
t
pro
i
F
on-
Keyw
nelles.
T
On
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obtien
e
t
,
ainsi
using
de
is
nouv
e
elles
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pr
o
e
of
uv
.
es
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de
(Ball,
l'inégalité
Klartag,
de
F
San
Mey
taló,
.
parfois
w
très
able
simples.
deriv
La
functional
dernière
from
partie
inequalit
est
.
un
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p
of
eu
thesis
à
to
part
e
et
pro
concerne
of
le
functional
c
t
haos

gaussien
This
:
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on
pro
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of
tre
taló,
une
of
ma
h
joration
v
précise
simple.
des
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momen
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ts
ab
du
Gaussian
c
haoses.
haos
e
gaussien
a
due
b
à
for
Lataªa
ts
par
Gaussian
des
haoses
argumen
v
ts
Résumé.
◦ ◦vol(K)vol(K ) K
K
◦ ◦vol(K)vol(K ) K K
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010.
.
.
able
.
des
.
matières
to
1
.
La
des
propriété
.
(
4
5
.
)
.
paire
.
p
.
our
.
la
.
mesure
65
Gaussienne
.
23
.
1.1
Y
A
.
small
.
71
.

.
inequalit
.
y
uit
.
.
.
4.5
.
.
.
et
.
.
.
haînage
.
.
.
.
.
5.4
.
.
.
.
.
.
.
la
.
Main
.
.
.
.
.
.
.
ter
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
.
1.2
55
Symmetrisation
.
.
.
.
.
.
.
.
Theorem
.
.
.
.
.
.
.
Gaussien
.
.
.
.
.
63
.
.
.
.
.
.
.
Théorème
.
.
.
.
.
me
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
artitions
.
ao
29
50
1.3
erties
T
.
ensorisation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2
.
resp
.
basis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Con
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
.
1.4
of
Pro
.
of
.
of
.
Theorem
.
1.1
.
.
.
.
5
.
h
.
5.1
.
principaux
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Le
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Démonstration
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
du
33
.
1.5
.
App
.
endix
.
:
.
an
y
alternate
.
pro
.
of
.
of
.
San
.
taló
.
.
47
.
P
.
à
.
Y
.
et
.
ao
.
4.1
.
prop
.
.
.
.
.
.
.
.
34
.
2
.
Une
.
preuv
.
e
.
directe
.
de
.
l'inégali
.
t
.
é
52
de
Cen
San
with
taló
ect
fonctionnelle
a
37
.
2.1
.
Main
.
results
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
.
Uniqueness
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.4
.
tin
.
y
.
.
.
.
.
.
.
.
39
.
2.2
.
Pro
.
of
.
of
.
Theorem
.
2.4
.
.
.
.
.
.
.
.
57
.
Pro
.
of
.
4.3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
60
.
Chaînage
.
c
.
aos
.
62
40
Énoncé
3
résultats
P
.
artitions
.
et
.
inégalités
.
de
.
San
.
taló
.
fonctionnelles
.
44
.
3.1
5.2
Y
c
ao-Y
générique
ao
.
partitions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.3
.
du
.
5.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68
.
Démonstration
.
lem
.
5.7
45
.
3.2
.
Pro
.
of
.
of
.
the
.
F
.
radelizi
.
-Mey
.
er
inequalit
T
τ

tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010dimension.
la
(1)
tro
6
duction
épaissit
Dans
problème
cette
o
thèse
faisan
on
tout
tra
in
v
Elle
aille
.
sur
v
l'espace
impli
euclidien
terv
In
Prék
De
v
.
v
Le
de
pro
minimise
duit
de
sca-
t
laire
érimétrie
de
v
d
clidienne
e
.
ux
ité
élémen
t
ts
obtien
plus,
Leindler
il
et
de
wski
n'
l'inégalité
est
t
est
.
noté
plus
pas
comme
dicile
pas
de
surface.
et
oule
retrouv
inégalité
er
ultiples
(1)
ermet
à
résoudre
partir
e
de
a
(2)
donné,
en
et
désigne
oule
la
mêm
norme
que
euclidienne
de
de
et
utilisan
v
.
ue
La
:
b
l'inégalité
o
[16].
u
v
l
tendr
e
.
e
[23,
u
épaissit
c
quand
lidienne
Brunn-Mink
t
fonctionnelle
l'homogénéité
deviner
du
p
v
p
olume.
t
L'inégalité
est
implique
quand
(1)
et
alité
,
l'inég
ne
,
faire
(2)
Soit
est
la
notée
euclidienne
et
b
p
Cette
ositifs
a
.
m
La
applications.
notation
p
p
notammen
réels
de
tous
le
our
d
désigne
l'isop
la
sur
mesure
l
de
Soit
Leb
olume
esgue.
de
L'exemple
bles
fondamen
b
tal
eu-
d'inégalité
ensem
géométrique
e
est
olume
le
les
théorème
L'inégalité
suiv
Brunn-Mink
an
wski-Lusternik
t.
l'homogéné
Inégalité
du
de
olume
Brunn-Mink
q
o
n
wski-Lusternik.
parmi
Soient
érimétrique
p
isop
et
t
ossède
on
deux
,
sous-
ers
ensembles
enir
c
e
omp
t
acts
En
et
la
non
24]
vides
opa
de
à
en
due
outre
on
,
que
on
o
a
de
l'a
de
v
ersion
an
une
tage
de
de
égalemen
reste
our
r
ermet
vraie
Elle
si
L'accroissemen
les
de
ensem
olume
bles
donc
ou
grand
son
on
t
(2)
vides
de
n
R

nx,y R x·y |x| = x·x
nx {x∈ R ||x|≤ 1}
nB voln2
A B
n
R
1 1 1
n n nvol (A+B) ≥ vol (A) +vol (B) .n n n
n n
R A⊂R D
A
1 1 nn n
n nvol (A+ B )≥ vol (A) +vol (B )n n n2 2
n= vol (D + B ),n 2
> 0
A D 0
n1/n 1/n λ 1−λλ∈ (0,1) λa + (1−λ)b ≥ a b
a b

λ 1−λvol λA+(1−λ)B ≥ vol (A) vol (B) .n n n
A B
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010la
ce
,
de
our
Prék
ar
opa-Leindler.
t
Soient
able,
Inégalité
la
ar
on
conséquen
te
t
en
ce
t
qu'il
indicatrices
fallait
que
démon
l'
trer.
inégalité
Dans
i
le
c
cas
eut
général,
existe
on
7
,
obt
et
dériv
p
on
eut
aux
se
en
rame
dériv
n
A
tels
retrouv
que
(2).
p
de
our
récurrence
tous
sion.
e
que
et
eut
r
suit.
dans
on
au
oser
cas
fonction
on
cas
ait
et
dériv
t
able
i
par
on
un
an
argumen
Naturellemen
t
si
de
applique
densité.
théorème
Supp
fonctions
osons
de
que
,
l'inégali
et

est
est
dmettons
a
tout
on
on
arithmético-géométrique,
e
l'inégalité
inégalité
D'après
Donnons
.
démonstration
vraie
cette
en
par
dimension
sur
,
dimen-
on
S
iden
p
A
telle
lors
p
tie
faire
à
omme
.
P
P
homogénéité,
our
p
et
dans
,
de
on
croissan
p
une
osons
il
P
auquel
.
P
ose
supp
nf ,f ,f :R →R λ∈ (0,1)1 2 3 +
nx y R
λ 1−λ
f λx+(1−λ)y ≥f (x) f (y) .3 1 2
Z Z Z
λ 1−λ
f ≥ f f .3 1 2
n n n
R R R
A B λA+(1−λ)B
n = 1
R R
f = f = 1 x R R1 2
R R
t
Z Zx(t) t
f (s)ds = f (s)ds.1 2
−∞ 0
0x x(t)f (x(t)) = f (t)1 2
z(t) = λx(t)+(1−λ)t
0 0z (t) =λx(t)+(1−λ)
0 λ λ −λ≥x(t) =f (t) f (x) .2 1
Z Z
0f ≥ f (z(t))z (t)dt3 3
R R+
Z
λ 1−λ λ −λ≥ f (x) f (t) f (t) f (x)1 2 2 1
R
Z
= f = 1,2
R
x
nn− 1 R
n−1 n−1
R ×R x∈R i = 1,2,3 (f ) : t7→f (x,t)i x i
Z
n−1F : x∈R 7→ f (x,t)dt.i i
R
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010ose
te.
Prék
8
Ce
alors
de
dans
oudrait
e,
taló
air
Inégalité
p
qui
est
donc
,
facileme
on
autre
a
p
p
p
our
de
tous
un
réels
de
si
par
et
k
(4)
de
a
se
on
récur-
vériant
dèle
tous
imp
our
le
p
est
Si
et
.
à
et
Remarquons
Soient
son
Ball).
onvexe
(Keith
le
taló
taló
San
La
de
le
fonctionnelle
ubini.
ersion
unn-Mi
V
wski-Lusternik
Ball.
cas
Keith
égalité
de
;
résultat
tre
le
t
Énonçons
On
[11].
ce
er
our
Mey
géométrique
et
a
radelizi
général.
F
,
encore
de
ou
par
[2]
à
Milman
les
et
hk
Klartag
est
Artstein,
alors
[3],
en
Ball
entr
Keith
de
à
Blasc
En
Soit
appliquan
orps
t
sur
l'i
rep
n
San
é
démonstration
galité
ce
réelle
est
on
résultat
obtien
F
t
L'inégalité
dues
Br
inégalité,
n
cette
o
de
est
fonctionnelles
un
ersions
particulier
v
l'in-
plusieurs
de
existe
opa-Leindler
Il
laquelle
[20].
démon
jor
très
a
n
P
par
et
rence.
r
v
e
copier
Mey
mo
par
p
puis
une
[25],
inégalité
ymond
très
t-Ra
ort
Sain
n
par
Soit
depuis
cas
ées
our
D'après
le
l'h
olaire
yp
p
othèse
déni
de
[26]
récurrence,
San
il
et
vien
dimensions
t
our
trouv
e
été
Blasc
t

on
résultat
sation,
(3)
symétri-
,
de
que
ts
masse
argumen
e
des
c
par
ayant
simples,
.
plus
de
démonstrations
hk
Des
taló.
ariations.
c
v
c
des
e-San
calcul
Fixons
n−1x,y R s,t
λ 1−λ(f ) (λs+(1−λ)t)≥ (f ) (s) (f ) (t) ,3 λx+(1−λ)y 1 x 2 y
λ 1−λF (λx+(1−λ)y)≥F (x) F (y) .3 1 2
Z Z Z
λ 1−λ
F ≥ F F3 1 2
n−1 n−1 n−1
R R R
nK⊂R K
◦ nK ={x∈R |∀y∈K, x·y≤ 1}.
◦n nB = B2 2
nK R
0
◦ n 2vol (K)vol (K )≤ vol (B ) .n n n 2
2 3
nf,g:R →R+
ρ:R →R x,y x·y≥ 0+ +
√ 2f(x)g(y)≤ρ( x·y)
f
Z Z Z 2
f g≤ ρ(|x|)dx .
n n n
R R R
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010(5)
t
même
ar
norme
e

xemple,
résultat,
si
.
9
hk
que
est
tel
Legendre
existe
en
,
e,
l
trer
qu'i
s'écrit
trer
eet,
mon
elle
de
alen
et
érian
sut
l
il
Le
faire,
obtien
e
n
c
est
our
que
,
est
alors
p
(
particulier,
4
P
)
v
est
le
clairemen
retrouv
t
Cette
vraie,
manière
ce
par
qui
et
mon
fonction
tre
tre
que
transformée
l'inéga
barycen
lité
our
de
et
Keith
olaire
Ball
t
implique
en
l'inégalité
particulier
de
log-conca
San-
t
taló
ce
p
on
our
.
les
de
ensem
L'inégal
bles
ce
symé
de
t
:
rique
paire,
s.
et
Artstein,
un
Klartag
symétrique.
et
taló
Milman
r
s'in
d
téressen
p
t
asso
au
De
cas
équiv
P
te
vraie.
déni
soit
,
qu'elle
t
our
v
p
,
en
d'une
soit
est
de
a
tre
de
,
de
qui
:
p
.
ousse
p
à
de
in
t
tr
on
o
p
duire
et
la
tégran
notion
i
de
car
p
En
olarité
le
suiv
est
an
v
te.
e
Si
remarquons
barycen
qui
est
donc
une
obtien
foncti
symétrique
on
Si
p
que
ositiv
mon
e,
ermet
sa
ité
p
ciée.
olaire
Dans
est
cas
dénie
l'inégalité
par
Ball
le
ainsi
que
si
sut
est
qu'il
alors
t
la
tren
exe
démon
con
Ils
soit
(6).
En
l'inégalité
cas
de
dans
non-symétrique
e-San
cas
Blasc
au
e
t
e
téressen
aussi
s'in
ermet
[2]
inégalité
de
(6)
auteurs
Les
f = 1 g = 1 ◦ ρ = 1K K [0,1]
2
t−
2ρ(t) = e
f
−x·ye◦f :x7→ inf .
ny∈R f(y)
◦−φ −Lφe = e Lφ
φ

Lφ(x) = sup x·y−φ(y) .
ny∈R
1 12 ◦ 2◦ − |x| − |x|
2 2f e = e
f
Z Z Z
1 2 2◦ − |x| n
2f f ≤ e dx = (2π) .
n n n
R R R
K NK
1 2 1 2
◦ ◦x·y≤N (x)N (y)≤ N (x) + N (y)K K K K2 2
11 2 ◦ 2− N − N ◦K2 2 Ke = e K
Z Z
1 2 1 2− N − N n◦2 K 2 Ke e ≤ (2π)
n n
R R
1 2− Nk21 eK
Z
1 2 n vol (K)n− N
2 K 2e = (2π)
nvol (B )n nR 2
◦K
R R
f 0 < f <∞ |x|f(x)dx <∞
R
f(x)xdx
Rbar(f) = .
f(x)dx
◦f 0
nz∈R
Z Z
◦ nf (f ) ≤ (2π) ,z z
n n
R R
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010es
).
utilisera
p
fonction
osan
enne
t
l'in-
10
se
t
hapitres
vien
e-San
il
de
inégalités,
démon
deux
(c'est-à
ces
les
t
aux
additionnan
asso
En
toutes
e
mais
.
pas
En
our
e
b

radelizi
e
v
t,
dans
comme
n'imp
trouv
articles
on
t
te
soit
précéden
niv

à
l'inégali
fonction.
fois
3,
deux
v
t
les
appliquan
dire
En
l'inégalité
(4).
ou
t
mo
érian
opa-Leindler
v
l'iné
et
our
t
Enn
,
Mey
en
t
m
non-symétrique
ulti-
de
plian
cas
t
p
l'inégalité
quel
n
ces
Soie
2,
taló.
es
San
e
de
bliste
l'inégalité
l'appliquan
et
bles
inégalité
de
cette
,
tre
ensem
par
à
en
les
lien
2
le
démon
Donnons
inégalités,
8].
des
et
simples
en
es
in
directes,

faisan
gran
el
t
Blasc
en
inégalité
[3,
géométrique,
il
y
vien
la
t
p
oir
Prék
v
galité
eut
eaucoup
p
p
on
tout
applications,
.
et
F
ons
et
i
er
monstrat
tren
é
une
d
ersion
d'autres
de
our
égalité
P
Ball,
.
le
c
général
e
dire
v
our
a
orte
,
On
à
Dans
opa
trois
Prék
[3,
t
11],
appliquan
preuv
n
utilisen
e
l'inégalité
t
n
s'obtien
m-
inégalité
(3),
Cette
en
lors
t
A
ensem
.
de
tous
eau
our
la
p
taló.
Si
soit
vériant
d'autres
Soient
bles
logarithmique.
ciés
opa-Leindler
la
Prék
Dans
de
c
Inégalité
1,
,
et
le
on
dernier
tre
terme
ces
e
a
st
ec
n
preuv
ul
plus
et
que
on
preuv
obtien
originelles,
t
surtout
.
c'est-à
[6]
ne
Borell
t
à
app
due
à
logarithmique,
de
opa-Leindler
hk
Prék
de
en
◦ ◦ z·yf : x7→ f(x+z) (f ) (y) = f (y)ez z
y·z ◦1≤ e −y·z f (y) y
Z Z Z
◦ ◦ ◦f (y)dy≤ (f ) (y)dy− (y·z)f (y)dy.z
n n n
R R R
◦bar(f ) = 0
Z Z Z Z
◦ ◦f f ≤ (f ) (f )z z
n n n n
R R R R
z
ρ
f
g ,g ,g :R →1 2 3 +√
2
R g (s)g (t)≤g ( st) s,t∈R+ 1 2 3 +
Z Z Z
2
g g ≤ g .1 2 3
R R R+ + +
f ,f ,f f (x) =1 2 3 i
x xg (e )ei
f,g:R→
R ρ:R →R+ +
Z Z Z
2
f g≤ ρ
R R R+ + +
Z Z Z
2
f g≤ ρ .
R R R− − +
Z Z Z
1 2
f g≤ ρ(|t|)dt
4θ(1−θ)
R R R
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010