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Le filtre de Kalman étendu à grand-gain adaptatif et ses applications, Adaptative high-gain extended Kalman filter and applications

De
204 pages
Sous la direction de Eric Busvelle, Jürgen Sachau
Thèse soutenue le 30 avril 2010: Université du Luxembourg, Dijon
Le travail porte sur la problématique de l’observation des systèmes — la reconstruction de l’état complet d’un système dynamique à partir d'une mesure partielle de cet état. Nous considérons spécifiquement les systèmes non linéaires. Le filtre de Kalman étendu (EKF) est l’un des observateurs les plus utilisés à cette fin. Il souffre cependant d’une performance moindre lorsque l'état estimé n’est pas dans un voisinage de l'état réel. La convergence de l’observateur dans ce cas n’est pas prouvée. Nous proposons une solution à ce problème : l’EKF à grand gain adaptatif. La théorie de l’observabilité fait apparaître l’existence de représentations caractérisant les systèmes dit observables. C’est la forme normale d’observabilité. L’EKF à grand gain est une variante de l’EKF que l’on construit à base d’un paramètre scalaire. La convergence de cet observateur pour un système sous sa forme normale d’observabilité est démontrée pour toute erreur d’estimation initiale. Cependant, contrairement à l’EKF, cet algorithme est très sensible au bruit de mesure. Notre objectif est de combiner l’efficacit´e de l’EKF en termes de lissage du bruit, et la r´eactivit´e de l’EKF grand-gain face aux erreurs d’estimation. Afin de parvenir à ce résultat nous rendons adaptatif le paramètre central de la méthode grand gain. Ainsi est constitué l’EKF à grand gain adaptatif. Le processus d’adaptation doit être guidé par une mesure de la qualité de l’estimation. Nous proposons un tel indice et prouvons sa pertinence. Nous établissons une preuve de la convergence de notre observateur, puis nous l’illustrons à l’aide d’une série de simulations ainsi qu’une implémentation en temps réel dur. Enfin nous proposons des extensions au résultat initial : dans le cas de systèmes multi-sorties et dans le cas continu-discret.
-Observateurs non linéaires
-Systèmes non linéaires
-Filtre de Kalman
-Observateur à grand-gain adaptatif
-Equation de Riccati
-Observateur continu/discret
-Moteur DC
-Implémentation temps réel
The work concerns the “observability problem”—the reconstruction of a dynamic process’s full state from a partially measured state— for nonlinear dynamic systems. The Extended Kalman Filter (EKF) is a widely-used observer for such nonlinear systems. However it suffers from a lack of theoretical justifications and displays poor performance when the estimated state is far from the real state, e.g. due to large perturbations, a poor initial state estimate, etc. . . We propose a solution to these problems, the Adaptive High-Gain (EKF). Observability theory reveals the existence of special representations characterizing nonlinear systems having the observability property. Such representations are called observability normal forms. A EKF variant based on the usage of a single scalar parameter, combined with an observability normal form, leads to an observer, the High-Gain EKF, with improved performance when the estimated state is far from the actual state. Its convergence for any initial estimated state is proven. Unfortunately, and contrary to the EKF, this latter observer is very sensitive to measurement noise. Our observer combines the behaviors of the EKF and of the high-gain EKF. Our aim is to take advantage of both efficiency with respect to noise smoothing and reactivity to large estimation errors. In order to achieve this, the parameter that is the heart of the high-gain technique is made adaptive. Voila, the Adaptive High-Gain EKF. A measure of the quality of the estimation is needed in order to drive the adaptation. We propose such an index and prove the relevance of its usage. We provide a proof of convergence for the resulting observer, and the final algorithm is demonstrated via both simulations and a real-time implementation. Finally, extensions to multiple output and to continuous-discrete systems are given.
-Nonlinear observers
-Nonlinear systems
-Extended Kalman filter
-Adaptive high-gain observer
-Riccati equation
-Continuous-discrete observer
-DC-motor
-Real-time implementation
Source: http://www.theses.fr/2010DIJOS005/document
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UFR 907 Sciences et Techniques Ph.D.-FSTC-10-2010
Faculté des Sciences, de la Technologie Le2i, Laboratoire, Electronique, Informatique
et Image, UMR CNRS 5158et de la Communication




THÈSE

Présentée le 30/04/2010 à Luxembourg
en vue de l’obtention du grade académique de



DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DU LUXEMBOURG

EN INFORMATIQUE



DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE BOURGOGNE

EN INFORMATIQUE
Spécialité: Automatique

par

Nicolas BOIZOT
Né le 14 Juillet 1977 à Dijon, France

ADAPTIVE HIGH-GAIN EXTENDED KALMAN FILTER
AND APPLICATIONS

Jury
Dr Jean-Paul Gauthier, Président
Professeur, Université de Toulon

Dr Eric Busvelle, Directeur de thèse
Professeur, Université de Bourgogne

Dr Jürgen Sachau, D
Professeur, Université du Luxembourg

Dr Jean-Claude Vivalda, Rapporteur
Directeur de Recherches, INRIA Metz

Dr Gildas Besançon, Rapporteur
Maître de conférences HDR, INP Grenoble

Dr Martin Schlichenmaier, Examinateur
Professeur, Université du Luxembourg Qu’est-ce qui nous prend, de mourir comme des cons,
†nous qui pourtant savions vivre ?
`a Richard Boizot
Ce jour l`a, j’ai bien cru tenir quelque chose et que ma vie
s’en trouverait chang´ee.
Mais rien de cette nature n’est d´efinitivement acquis.
Comme une eau, le monde vous traverse et pour un temps
vous prˆete ses couleurs.
Puis se retire, et vous replace devant ce vide que l’on porte en soi,
devant cette esp`ece d’insuffisance centrale de l’ˆame
qu’il faut bien apprendre `a cˆotoyer, `a combattre,
et qui, paradoxalement est peut-ˆetre
‡notre moteur le plus suˆr .
`a Jo¨elle Boizot
†Frederic Dard `a propos de Michel Audiard, Lib´eration, 30 Juillet 1985.
‡Nicolas Bouvier, L’usage du monde.Remerciements
Je remercie tout d’abord monsieur Jean-Paul Gauthier pour avoir accept´e la
pr´esidence de ce jury de th`ese, pour ses intuitions extrˆemement pertinentes et
pour m’avoir transmis le gouˆt de la th´eorie du contrˆole il y a de ¸ca quelques
ann´ees.
Monsieur Gildas Besan¸con a accept´e le rˆole de rapporteur de ce manuscrit. Lui
pr´esenter ce travail me tenait particuli`erement `a coeur. Les ´echanges que nous
avons eu, alors que je n’en ´etais qu’au tout d´ebut m’ont encourag´e `a croire en
l’approche adaptative, `a explorer l’aspect temps r´eel du probl`eme.
Monsieur Jean-Claude Vivalda m’a fait l’honneur d’ˆetre rapporteur de mon tra-
vail. J’ai beaucoup appr´eci´e l’acuit´e de sa relecture et de ses questions portant
sur ce lemme avec lequel je me suis battu pendant la r´edaction pensant, na¨ıf, que
ce ne serait qu’une bagatelle.
I’m thankful to mister Martin Schlichenmaier for being part of the jury. I re-
member that it took us ages to organize a talk at the doctorands seminar of the
Mathematics Research Unit: although I don’t know if the audience did, I learned
a lot that day.
Je remercie monsieur Ju¨rgen Sachau d’avoir coencadr´e ce travail, de m’avoir ac-
cueilli au sein de son ´equipe, de m’avoir offert beaucoup d’autonomie et surtout
de m’avoir soutenu dans mes choix.
Je te suis reconnaissant, Eric, de.... plein de choses en fait. Tout d’abord, de
m’avoir propos´e ce beau sujet, de m’avoir instill´e un peu de tes qualit´es scien-
tifiques, pour ton humanit´e, pour ta fa¸con `a motiver les troupes. Pour lePoisson-
scorpion.
Merci`aM.UlrichSorgerpouravoirsuivil’´evolutiondecetravail,`aPascalBouvry,
NicolasGuelfyetThomasEngelpourm’avoiraccueilliavecbienveillancedansleur
unit´e (CSC) et laboratoires respectifs (LASSY et Com.Sys).
M. Massimo Malvetti a ´et´e d’une rare gentillesse et a beaucoup contribu´e `a ce
que la cotutelle soit mise en place dans de bonnes conditions.
Merci `a M. Jean-Regis Hadji-Minaglou de s’ˆetre demand´e ce que je pouvais fiche
dans le labo et d’avoir ´ecout´e la (longue) r´eponse. Merci encore pour nos discus-
sions du midi et pour la Bonne Adresse.
Nossecr´etairesfontpreuvedepatiencepourg´ererleflouartistiquequicaract´erise
souvent une universit´e, je dois avouer en avoir eu ma part. Merci `a Ragga,
Fabienne, Denise, Dani`ele, Steffie, Virginie et tout particuli`erement `a MireilleKies, t´emoin de cette p´eriode qui m’a vu m’exercer au violon apr`es les heures de
bureau.
Tout le monde n’a pas la chance de converser avec une incarnation de Nick
Tosches. C’est syst´ematique, je quitte Alexandre Ewen avec la furieuse envie de
lire `a nouveau H´eros oubli´es du rock’n roll ou Confessions d’un chasseur d’opium.
Les amis, la famille m’ont aussi apport´e beaucoup de soutien dans cette histoire,
qu’il me soit permis de les remercier ici.
A tout seigneur tout honneur.
Mul¸tumesc Laurici ¸si Kenneth. Vous avez quelque part initi´e le mouvement, fait
route avec moi et mˆeme aid´e `a manier les rames.
Ma trinit´e se d´ecompose en M’sieur Alex, M’sieur Alain et M’sieur Davy. Merci
pour vos conseils avis´es quand mes pens´ees arpentaient un ruban de Moebius.
Je souris `a mes soeurs H´el`ene et Marie-Pierre. Je n’oublie pas la belle Emma,
ses geˆoliers et ses v´en´erables ancˆetres Monique et Christian, ainsi que Serge qui a
troqu´e le soleil de la drˆome pour la bise du Luxembourg le temps d’un week-end.
Parlant de famille, je pense de suite aux Arpendiens. Sans ˆetre un inconditionnel
de la s´erie, je ne vois d’autre choix que de suivre un format de type friends.
Merci `a
– Celui qui, de la perfide Albion, passait sous le manteau des articles traitant de
cin´etique chimique – Celui qui enseignait la th´eorie de la relaxation par les chats
– Celui qui savait d´emontrer que la vie est toujours plus chaotique que ce que l’on
pense – Celui qui discutait jusqu’`a deux-trois heures du matin mˆeme si le train
pour Auxerre est `a huit – Celui qui parlait peu, mais recevait comme un prince,
sous le regard d’un Lion – Celui dont l’humour ´etait d´evastateur – Celui qui se la
dorait au soleil –
MerciC´elinedeparlerauxtypesquijonglentauxarrˆetsdebusetpourtonamiti´e.
Paul, DylanetPrisqueBusvelleformentuncomit´ed’accueild’unequalit´e`aforger
les l´egendes.
Merci `a la danseuse aux yeux aigue-marine, aux chanteurs, au happy living room
band, aux mentors violonistiques, bouilleurs de cru distillant l’enthousiasme.
Il n’y a qu’un authentique Spritz pour effacer tout souvenir d’une campagne
simulations d´esastreuse. Merci Maria.
Last but so far from least. Anne-Marie, dame de l’´et´e aux reflets de jais, Aman-
dine, dame de l’hiver aux reflets d’or et Pierrick, le g´eant mod´ehen forment le
gang de la rue de Neudorf. Une ´equipe dont on peut douter de l’existence quand
on sait qu’on lui demande de vivre avec quelqu’un qui passe une partie de son
tempsdanslesastres, n’´ecoutepasquandluiparleetcrincrinte usuellemententre
vingt-deux heures et minuit.
Me croirez-vous ?
Ils existent !Abstract
Keywords - nonlinear observers, nonlinear systems, extended Kalman filter,
adaptive high-gain observer, Riccati equation, continuous-discrete observer, DC-
motor, real-time implementation.
Theworkconcernsthe“observabilityproblem”—thereconstructionofadynamic
process’s full state from a partially measured state— for nonlinear dynamic sys-
tems. The Extended Kalman Filter (EKF) is a widely-used observer for such
nonlinear systems. However it suffers from a lack of theoretical justifications and
displays poor performance when the estimated state is far from the real state, e.g.
due to large perturbations, a poor initial state estimate, etc...
We propose a solution to these problems, the Adaptive High-Gain (EKF).
Observability theory reveals the existence of special representations characteriz-
ing nonlinear systems having the observability property. Such representations
are called observability normal forms. A EKF variant based on the usage of a
single scalar parameter, combined with an observability normal form, leads to an
observer, the High-Gain EKF, with improved performance when the estimated
state is far from the actual state. Its convergence for any initial estimated state
is proven. Unfortunately, and contrary to the EKF, this latter observer is very
sensitive to measurement noise.
Our observer combines the behaviors of the EKF and of the high-gain EKF. Our
aim is to take advantage of both efficiency with respect to noise smoothing and
reactivity to large estimation errors. In order to achieve this, the parameter that
is the heart of the high-gain technique is made adaptive. Voila, the Adaptive
High-Gain EKF.
A measure of the quality of the estimation is needed in order to drive the adapta-
tion. Weproposesuchanindexandprovetherelevanceofitsusage. Weprovidea
proof of convergence for the resulting observer, and the final algorithm is demon-
strated via both simulations and a real-time implementation. Finally, extensions
to multiple output and to continuous-discrete systems are given.R´esum´e
Mots clefs - observateurs non lin´eaires, syst`emes non lin´eaires, filtre de Kalman
´etendu, observateur `a grand-gain adaptatif,´equation de Riccati, observateur con-
tinu/discr`et, moteur DC, impl´ementation temps r´eel.
Le travail porte sur la probl´ematique de “l’observation des syst`emes” — la re-
construction de l’´etat complet d’un syst`eme dynamique `a partir d’une mesure
partielle de cet ´etat. Nous consid´erons sp´ecifiquement les syst`emes non lin´eaires.
Le filtre de Kalman ´etendu (EKF) est l’un des observateurs les plus utilis´es `a
cette fin. Il souffre cependant d’une performance moindre lorsque l’´etat estim´e
n’est pas dans un voisinage de l’´etat r´eel. La convergence de l’observateur dans
ce cas n’est pas prouv´ee.
Nous proposons une solution `a ce probl`eme : l’EKF `a grand gain adaptatif.
La th´eorie de l’observabilit´e fait apparaˆıtre l’existence de repr´esentations car-
act´erisant les syst`emes dit observables. C’est la forme normale d’observabilit´e.
L’EKF `a grand gain est une variante de l’EKF que l’on construit `a base d’un
param`etre scalaire. La convergence de cet observateur pour un syst`eme sous sa
forme normale d’observabilit´e est d´emontr´ee pour toute erreur d’estimation ini-
tiale. Cependant, contrairement `a l’EKF, cet algorithme est tr`es sensible au bruit
de mesure.
Notreobjectifestdecombinerl’efficacit´edel’EKFentermesdelissagedubruit,et
la r´eactivit´e de l’EKF grand-gain face aux erreurs d’estimation. Afin de parvenir
`a ce r´esultat nous rendons adaptatif le param`etre central de la m´ethode grand
gain. Ainsi est constitu´e l’EKF `a grand gain adaptatif.
Leprocessusd’adaptationdoitˆetreguid´eparunemesuredelaqualit´edel’estimation.
Nous proposons un tel indice et prouvons sa pertinence. Nous ´etablissons une
preuvedelaconvergencedenotreobservateur, puisnousl’illustrons`al’aided’une
s´erie de simulations ainsi qu’une impl´ementation en temps r´eel dur. Enfin nous
proposons des extensions au r´esultat initial : dans le cas de syst`emes multi-sorties
et dans le cas continu-discret.