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Soutenue le 15/06/2009
Num´erodordre:3803
Th`esepr´esent´ee`alUniversit´edeBordeaux1
Ecole Doctorale de Math´ematiques et Informatique de Bordeaux
par MOREAU Pierre
Pour obtenir le grade de de Docteur de Math´ematiques
espaces
g´eome´triedes hypercyclicit´e
Notions de petitesse, de Banach et
The`sedirig´eeparESTERLEJeanetMATHERONEtienne
Jury : DEVILLE Robert, Professeur d’Universit´e, Universit´e de Bordeaux 1 ESTERLEJean,ProfesseurdUniversit´e,Universite´deBordeaux1 KUPINStanislav,MaˆıtredeConfe´rences,Universit´eAix-Marseille1 LANCIENGilles,ProfesseurdUniversit´e,Universite´deFranche-Comt´e LEFEVRE Pascal, Professeur d’Universit´e, Universit´e d’Artois MATHERON Etienne, Professeur d’Universit´e, Universit´e d’Artois
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Haar-ne´gligeabilite´etbasesdeSchauder 3.1 Rappels sur les Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Coˆnecontenantuntranslat´edetoutcompact............... 3.3Haar-n´egligeabilite´ducoˆnepositifassoci´ea`unebasedeSchauder.... 3.3.1 Condition su!r-aaegnntsaeHede´ti....egilliba......... ´ 3.3.2 Conditions n´ecessaires de non-Haar n´egligeabilit´e, application aux bases sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3c0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -saturation . 3.3.4 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Structure des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Mesures gaussiennes et cˆones positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Notions de petitesse et Hypercyclicit´e 4.1 Hypercyclicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . a po s n 4.2 Shifts ` id on!-poreux hypercycliques 4.3 Un crit`ere de!orop-...e´tis....... 4.4 Haar-n´egligeabilit´e . . . . . . . . . . . . .
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Le 2.1 2.2
theore`medeMatouskova-Stegall ´ Preuve de (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuve de (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Notions de petitesse 1.1Haar-ne´gligeabilit´e................... 1.2 Bor´eliens non Haar-n´egligeables et non compactivores 1.3Gauss-ne´gligeabiliteet!-po..........isor.e´t ´ 1.3.1 Gauss-n´egli bilit´ gea e . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2! . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-porosit´e . 1.4 Complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1Ge´ne´ralit´es................... 1.4.2Complexit´edesferme´sGauss-n´egligeables..
matieres `
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Table
des
Introduction
Il existe de nombreuses notions de petitesse en analyse, la plus classique d’entre ellese´tantlapetitesseausensdeBaire:unepartieestpetiteausensdeBairesielleest incluse dans le compl´ementaire d’unG!dense. Cette notion caract´erise un comportement global, elle ne permet pas de quantifier la taille des ensembles. Ceci peut ˆetre accompli en dimensionniegraˆcea`lamesuredeLebesgueetpeuts´etendreauxespaceslocalement compactsgrˆaceauxmesuresdeHaar,cest`adirelesmesuresbor´eliennesinvariantes par translation ; “ˆetre de mesure de Haar nulle” est donc une autre notion naturelle de petitesse. Dans un espace qui n’est pas localement compact, l’absence de mesure de Haar ne permet pas d’utiliser cette notion. En I972, Christensen a introduit ([C]) la notion de Haar-n´egligeabilit´e dans les groupes ab´elienspolonais(compl`etementm´etrisablesets´eparables):unepartiebor´eliennedun tel groupe est dite Haar-n´egligeable s’il existe une mesure de probabilit´e qui s’annule sur cette partie et sur tous ses translat´es. On dit alors d’une telle mesure qu’elle est une me-sure test pour la partie. Cette notion co¨ıncide, quand le groupe est localement compact, aveccelledemesuredeHaarnulle.LaHaar-n´egligeabilite´aservidansl´etudedela di"acitnooncnalssiienneeteipschitzitcnlsnode´tofseabtilili´eneredsecapesesedirean´lin-Banach, on trouvera dans les chapitres 6 et 7 de [BL] beaucoup d’informations `a ce sujet.
Ilestpluse´tonnantdevoirquelaHaar-n´egligeabilit´epermetdobtenirdesinforma-tionssurlage´ome´triedesespacesdeBanach.Ondoitcetteapproche`aMatouskovaet Stegallqui,danslesarticles[MS]et[M3],ontli´elar´eexivit´edunespacedeBanacha ` laHaar-ne´gligeabilit´edesespartiesconvexes,ferm´eesetdinte´rieurvide.Lesprincipaux ´sultatssurcesujetpeuventˆetreregroup´esdansle´nonce´suivant: re Soit X un espace de Banach s´eparable. 1.SiXestr´eexifalorstoutepartieconvexe,ferm´eeetdinte´rieurvidedeXest Haar-ne´gligeable. 2. Si X est non r´eflexif, il existe une partie convexe, ferm´ee et d’int´erieur vide de X qui contient un translat´e de toute partie compacte de X.
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En particulier, X est r´eflexif si et seulement si toute partie convexe, ferm ee et d’int´erieur ´ vide de X est Haar-n´egligeable.
Lepremierchapitredecetteth`eseestconsacre´ea`lapre´sentationg´ene´raledecer-tainesnotionsdepetitesse.Danslasection1.1,ondonneraunepr´esentationde´taille´e de la Haar-n´egligeabilit´e, notamment du fait que contenir un translat´e de tout compact entraˆınelanonHaar-n´egligeabilite´,etondiscuteradelar´eciproquedanslasection1.2. Danslasection1.3,onpr´esenterabrie`vementdeuxautresnotionsdepetitesse:la!-porosit´eetlaGauss-n´egligeabilite´.Enn,nousmontreronsdans1.4quedansunespace deBanachse´parableXegn´gelileabsedecapseseitrapsl,egbageil.i.eel(s´eesferms-n´Gaus pourtoutemesureGausiennenon-d´eg´ene´r´eesurX) est une partie non-bor´elienne dans l’espace des parties fermees deX. ´
Lesecondchapitredecetteth`eseestconsacre´ea`lad´emonstrationduth´eor`emede Matouskova et Stegall. Il y a dans cette d´emonstration un type particulier de convexe ferme´etdinte´rieurvidequijoueunrˆoleclef:lecoˆnepositifassoci´ea`unebasede Schauder.IlestalorsnatureldesedemanderquellessontlesbasesdeSchauder`acoˆne Haar-n´egligeable et ce que cela entraˆıne pour la structure de l’espace de Banach. Ces questions seront trait´ees dans le troisi`eme chapitre.
Avant de commencer ` traiter ces questions, nous donne rons dans 3.1 les principales a de´nitionsetpropri´et´esdesbasesdeSchauder,ainsiquelalistedesr´esultatsde´j`aconnus surlaHaar-ne´gligeabilite´ducˆone,notammentquelecˆonepositifdelabasecanonique delpaelbpeuon-e´lggiestHaarrp!silare´.3snadset2etnorne´gatluesstesscesr´1ou.T ´ 3.3. Il y a deux approches pour tester la Haar-n´egligeabilit´e d’une partie : soit mon-trer qu’elle contient un translat´e de tout compact et dans ce cas cette partie n’est pas H´ligeable,soitconstruireunemesuretest,cequiimpliquelaHaar-n´egligeabilite´ aar-neg de cette partie ; c’est ce qui sera fait respectivement dans 3.2 et 3.3.
Nous´etablironsdans3.2uneconditionn´ecessaireetsu!sante pour que le c one ˆ contienne un translat´e de tout compact, condition qui implique que la base canonique dec0silamronltnodee´ioitndcoetleelnnedcSabesreniahdueseuletlaseitntnoˆceocen un translat´e de tout compact. Il existe n´eanmoins d’autres bases, non inconditionnelles, quiv´erientcecietnousenverronsunexemple.Cer´esultat,danslecasdesbasesincon-ditionnelles,nelaissequedeuxpossibilit´espourlaHaar-n´egligeabilite´ducoˆne:soitla basecanoniqueestlaseulebasedeSchauderinconditionnelleetnormalis´eedontlecoˆne n’est pas Haar-n´egligeable, soit il existe une base de Schauder inconditionnelle et nor-malise´edontlecˆonenestpasHaar-n´egligeablemaisquinecontientpasuntranslat´ede toutcompact.Cesdeuxpossibilit´esontleurinterˆet:lapremie`reparcequelledonnerait ´ une caract´erisation surprenante de la base canonique dec0, ce que les r´esultats suivants
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laissentespe´rer,lasecondeparcequonobtiendraitainsiunexemplenatureldeconvexe ferm´eetdinte´rieurvidequinestpasHaar-n´egligeableetnecontientpasuntranslat´e de tout compact.
La partie 3.3 traite des bases inconditionnelles et contient deux r´esultats principaux quig´ene´ralisentlesre´sultatspre´sent´esdans3.1.Lepremierestuneconditionsu!sante pourquelecoˆnesoitHaar-n´egligeable:silexisteunebloc-basedelabasedeSchauder dontlecoˆneestHaar-ne´gligeabledanslespacequelleengendre,alorslecˆonepositifdela base de Schauder est Haar-n´egligeable. Cette condition donne une premi`ere information sur la structure de l’espace de Banach sous-jacent. En e"et un r´esultat classique de James indique qu’il n’y a que deux possibilit´es pour une base de Schauder inconditionnelle : soit elle engendre un espace r´eflexif, soit elle contient la base canonique del1et/ouc0comme bloc-base. Ceci implique donc que si le cˆone est n’est pas Haar-n´egligeable, l’espace de Banach sous-jacent contient une copie isomorphe dec0. Ceciestpre´cise´parledeuxie`mer´esultatquiestcettefoisuneconditionn´ecessaire:si lecoˆnepositifnestpasHaar-n´egligeable,onpeutextrairedetoutebloc-base(etmˆeme uniforme´ment)unesous-suite´equivalentea`labasecanoniquedec0iudeeuqton;d´en la base canonique dec0ptsahcuadeSebesaeslustlaesentseenoˆceltndoueiqtr´eymrsde Haar-ne´gligeable.Cecipeutˆetrevucommeunesortedec0-saturation, en particulier l’espace de Banach sous-jacent s’´ecrit comme une somme topologique de copie isomorphe dec0. Nous verrons egalement que cela entraˆıne lac0-saturation de l’espace au sens clas-´ sique du terme. N´eanmoins, cette derni`erec0-saturation uniforme n’est pas su!sante : nous terminerons la section 3.3 en construisant un espace de Banach muni d’une base de Schauderve´riantcetteconditionmaisdontlecˆonepositifestHaar-n´egligeable.
Lasection3.4estd´edie´ea`l´etudedesquotientsdunespacedeBanachmunidune base de Schauder inconditionnelle dont le c one n’est pas Haar-n´egligeable. Rappelons ˆ qu’un espace de Banach est ditc0mrefed-e´etmuisdaoeissrn´ouitoutsess-cepaninnie contient une copie isomorphe dec0. Odell montre dans [O] que tous les quotients de l’espace de Schreier sontc0iostesndelosueaqe´ruptestas-urrevraipoetsneocvaiosrci tout espace de Banachc0ebundnimu´eurats-e.LenelltionondiircnuaedSehcsadeung [L],puisdefa¸conplusge´n´eraleGasparis[G],yr´epondentparlan´egativeenconstruisant des contre-exemples. Nous verrons que lac0 etablie dans 3.3 passe au-saturation uniforme ´ quotient,lecoˆnepositifassoci´esauxbasesdeSchauderconstruitesparLeungetGasparis est donc encore une fois Haar-n´egligeable. Nous verrons enfin qu’elle est “presque” une propi´te´destroise r e spaces.
Danslasection3.5,nous´etudierons`aquellesconditionsunemesuregaussienne,i.e. laloidunes´eriepresque-suˆrementconvergentedevariablesal´eatoiresdeloinormaleuni-dimensionnelles, est une mesure test du cˆone positif d’une base de Schauder. Le premier
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constat est que le cˆone positif n’est jamais Gauss-n´egligeable et nous construirons ex-plicitement une mesure Gaussienne qui ne s’annule pas sur le cˆone. On obtient le mˆeme r´esultatdefa¸conencoreplusagranteenregardantlesmesurescubiques(voirsection 1.3) : une mesure cubique n’est jamais une mesure test pour le cˆone, ce qui est quelque peusurprenantpuisquelaGauss-n´egligeabilite´est´equivalentea`lacube-ne´gligeabilite´. Nous´etablironsensuiteuneconditionsu!sante pour qu’une mesure Gaussienne ne soit pas une mesure test du cˆone, qui devient une condition n´ecessaire et su!sante dans une certaine classe d’espaces contenant les espaceslp,p!1, etc0. Ceci permettra de d´ecrire enti`erementlensemblenonvidedesmesurestestGaussiennesducˆonepositifdelabase canonique delpenaplrnistlelsseuqnslaetraucˆot´edqusinluin,aelbmopedegraesne n’est pas de mesure nulle quand la mesure n’est pas une mesure test (pourlpetc0).
Lechapitre4estd´edie´`al´etudedelatailledelensembledesvecteursnon-hypercycli-ques pour un op´erateur hypercyclique d´efini sur un espace de Fr´echet. Dans la section 4.1,onpre´senterasommairementlanotiondhypercyclicit´eainsiqueplusieursr´esultats classiques, notamment que l’ensemble des vecteurs hypercycliques est toujours petit au sensdeBaire.Danslasection4.2,onsint´eressera`auncertaintypedop´erateurshy-percycliques, les shift `a poids, et on montrera qu’il existe toujours de tels op´erateurs dont l’ensemble des vecteurs non-hypercycliques n’est pas!tnemenuqoo,rpice´R.uxrepo-donnera dans 4.3 un crit`ere pour que l’ensemble des vecteurs non-hypercycliques soit !on l’appliquera aux shifts `a poids ainsi qu’aux op´erateurs de translation sur-poreux et l’espace des fonctions enti`eresH(C) pour une certaine classe de m´etriques. Enfin dans 4.4 on montrera que pour des poids assez grands, un shift `a poids n’est pas “Haar-n´egligeable hypercyclique”, et que c’est aussi le cas pour une certaine classe d’op´erateurs surH(C) commutant avec les translations.
Chapitre
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Notions de petitesse 1.1 Haar ´ ligeabilit´e -neg Avantded´enirlaHaar-n´egligeabilite´ilfautpre´ciserquelquesnotationsetoutilsde the´oriedelamesure([K]).Touslesgroupesconsid´ere´sserontb´liensetPolonais.Rappe-a e lons qu’un espace topologique estPolonaissstleis.letemenemte´rtsibaeparableetcompl´ ´ SiG´baeeileloPnianoesngtuuproetl`mpcoenumeolsrqieue´rtorsis,alstealexidcom-patible avec la topologie deGet invariante par translation. SoitX il existe alors une m´etrique ;un espace Polonaisdcompatible avec la topologie deXde´eetcompl´etllequeleXpourdsoit compact([K] page 22) l’ensemble ;Ud(X) des fonctions uniform´ement continues de (X, d) dansRest alors un espace de Banach s´eparablepourlanorme"."!. On noteP(X) l’ensemble des mesures de probabilit´e sur Xnsnamoievergenceedelaconotopoliguminedallopoelgireditolaec,a`tsrte´etio rendant continues les applicationsµ#!f dµuo`fest une fonction continue et born´ee deXa`avelrurse´leelAls.sorP(X) est un espace polonais et si (fn)n!=0est une suite dense deUd(X) ne contenant pas la fonction nulle, alors "(µ,#) ="!2"n"1#!fn$!fnd## n=0"fn"! estunem´etriquecomple`tesurP(X), et compatible avec la topologie deP(X). SiGest un groupe Polonais, la convolutionµ%#de deux mesures de probabilit´eµ et#surG´idnpeeeratsµ%#(A) =! !$A(x+y)d(µ)(x)d(#)(x) pour tout bor´elien A&G`u,o$Aest la fonction indicatrice deA. On a alors pour toute fonctionfborn´ee et continue deG`leursrse´leel a va $f(x)d(µ%#)(x) =$ $f(x+y)d(µ)(x)d(#)(x).
Lope´rateurdeconvolutionestcontinudeP(G)'P(G) dansP(G). Tousl´sultatssuivants,saufindicationcontraire,peuventˆetreretrouve´sdans[BL]. es re
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CHAPITRE 1.
NOTIONS DE PETITESSE
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De´nition1.1.1[C] Soit G un groupe ab´elien Polonais. Un bor´elien A de G est ditHaar-n´egligeables’il existe une mesure de probabilit´eµsur G telle queµ(A+x) = 0pour toutx(G. On dit alors queµest unemesure testpour A.
De´sormais,Gqutima´estsyranegise´ds,onainPolelieae´borpuutgnmenedsirteeuquare´men invariante par translation compatible avec la topologie deGetB(x, rbalarengeluosi´e)d ouverte de rayonrne´eeentrcx. La proposition suivante montre que dans le cas o`uG est localement compact, la notion de Haar-n´egligeabilit´e co¨ıncide avec celle de mesure de Haar nulle.
Proposition 1.1.1 Si G est localement compact, alors un bor´elien A de G est-Haar-n´egligeable si et seulement si sa mesure de Haar est nulle.
D´ nstration emo Soit#la mesure de Haar surG. Si#(A) = 0, alors#(A+x) = 0 pour toutx(G, et c’est donc le cas pour toute mesure de probabilit´eµqui est absolument continue par rapport`a#(par exempleµ(B) ="("B(#C)C)pour unCtel que#(C) soit strictement positif et fini). Re´ciproquement,siµest une mesure de probabilit´e telle queµ(A+x) = 0 pour tout x(G,auaece´htsrolaˆrgbiFu(ni`eordeme#etµsont!-finies) et par l’invariance de# par translation, on a 0 =! !$A(x+y)(x)d#(y) =#(A).!
Proposition 1.1.2 Une union d´enombrable d’ensembles Haar-n´egligeables est Haar-n´egligeable.
De´monstration Ceci est vrai pour une union finie : siµest une mesure de probabilit´e qui s’annule sur tous les translat´es deA, et#est une mesure de probabilit´e qui s’annule sur tous les translat´es deB, alors la convol´ee deµet#est une mesure de probabilit´e qui s’annule sur tous les translat´es deA)B. Siµest une mesure qui s’annule pour un ensembleAet sur tous ses translat´es, alors c’est aussi vrai pour toute mesure qui est absolument continue par rapport `aµ, et en particulier pour les mesures de la formeµB(A) =µ(A*B)(B) avecµ(B)>0. Puisque P(G) est complet pour la m´etrique"ourtoutduitquepo,endne´lpsuahtu´edien%>0, il existe une mesure#qui s’annule sur tous les translat´es deAet qui v´erifie"(#,&0)<%, &0eredemustnale´at.n0ceraDi Soit{An}n!=1esHaar-nensembllbseL.see´lggiaensio´eprseobatrvsde´cetnedellimafenu permettent de d´efinir par r´ecurrence des mesures de probabilit´eµnerv´taniµn(An+x) = 0 pour toutx(Get"('%µn,')<%u`o,'le produit de convolution d’une sous-est famille quelconque de la famille{µk}1$k<n.