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http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm ´FACULTEDESSCIENCESETTECHNIQUES
´ ´UNIVERSITEHENRIPOINCARENANCYI
´EcoleDoctoraleIAEMLorraine
D.F.D.Mathematiques´
encollaborationavec
´INSTITUTFRANC¸AISDUPETROLE
DirectionTechnologie,InformatiqueetMathematiques´ Appliquees´
These` deDoctoratde
Mathematiques´
Present´ ee´ etsoutenuepar
Sev´ erineBAILLET
OPTIMISATIONDEFORME
´ ´D’UNEPOMPEGENERIQUEDEFONDDEPUITS
These` publiquesoutenuele24septembre2007
Jury:
M.Franc¸oisJOUVE ProfesseurLaboratoireJ.L.Lions,Universite´ Paris7 President´
´ ´M.Jean AntoineD ESIDERI DirecteurderechercheINRIASophiaAntipolis Rapporteur
M.OlivierPIRONNEAU ProfesseurLaboratoireJ.L.Lions,Universite´ Paris6
etAcademie´ desSciences
M.JeanBRAC Ingenieur´ derechercheIFP Examinateur
M.AntoineHENROT ProfesseurInstitutElieCartan,NancyUniversite´ INPL
M.JanSOKOLOWSKIElieNancyUniversite´ UHP
´ ´M.JeanFALCIMAIGNE IngenieurderechercheIFP MembreinviteRemerciements
JesouhaiteremercierAntoineHenrotpouravoirdirige´ mathese,` ainsiquepoursadisponibilite,´ son
aideetsonecoute´ pendantcestroisannees.´ Jeremercieeg´ alementJeanBracpouravoirencadre´ lathese`
a` l’IFPetpourlesenseignementsquej’aiputirerdemontravailaveclui.
Je remercie Jean Antoine D esid´ eri´ et Olivier Pironneau qui ont eu l’amabilite´ de rapporter sur ma
these,` ainsiqueFranc¸oisJouveetJanSokolowskiquiontaccepte´ d’etreˆ membresdemonjurydethese.`
Je voudrais aussi remercier Veronique´ Henriot pour avoir facilite´ mon integration´ dans son projet et
pour l’attention qu’elle a accordee´ a` mon travail. Merci aussi a` Jean Falcimaigne pour son aide et ses
conseils avises,´ ainsi que pour sa participation a` mon jury de these.` Enfin merci a` Delphine Sinoquet
pourl’inter´ etˆ qu’elleapretˆ e´ a` mestravauxetpoursessuggestions.
Mercia` tousceuxquiontpartage´ lesmomentsagreables´ etlesplusdifficilesavecmoia` l’IFPetdont
je suis fiere` d’etreˆ devenue l’amie. Zakia, pour les longues discussions que nous avons eues, qui m’ont
si souvent aidee´ a` avancer et a` ne jamais renoncer, et encore pour tant d’autres choses. Carole, pour sa
gentillesse infinie, son sourire vivifiant et son efficacite´ redoutable. Gabriela, que je considere` comme
` ´magrandesœurdel’IFP,pourletempsqu’elleabienvouluconsacreramefairepartagersonexperience
etpourcelui,toutaussiimportant,dupapotage.ElodieetGregorypourleurpatienceavecmoi,pourtous
les bons moments et toutes nos discussions, passees´ et a` venir, autour d’un cafe.´ Enfin merci a` ceux qui
n’ont et´ e´ que de passage mais qui ont eg´ aye´ le quotidien avec leur humour et leur bonne humeur, par
ordred’apparition:Toufik,HenrietStephane.´
Je tiens a` remercier $ylvain et Nico pour leur ecoute´ indefectible´ et leurs encouragements, ainsi que
Pierre,sansquilessoirees´ passees´ a` Nancyauraientet´ e´ bienmornes.
Enfin un merci tout particulier a` ceux qui m’ont prodigue´ leur amour et leur bienveillance pendant
ces trois annees,´ et sans qui je ne serais peut etreˆ pas allee´ si loin : Sylvain, qui m’a apporte´ un soutien
` `constant,monfrere,avecsasagessededocteur,etmesparents,aquijedoistout.`Tabledesmatieres
Introduction 13
I Modelisation´ duprobleme` 29
1 Parametrisation´ etpropriet´ es´ delageom´ etrie´ 31
1.1 Quelquespropriet´ es´ desB splinescubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1.1 Definitions´ etpremieres` propriet´ es´ desB splinescubiques . . . . . . . . . . . . 31
1.1.2 Propriet´ e´ demonotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.1.3 Conditionsuffisantepourqu’uneB splinen’aitpasdepointd’inflexion . . . . . 34
1.2 Quelquespropriet´ es´ geom´ etriques´ del’intradosdelapompe . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.1 Comportementlocaldel’intradosa` l’attaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
`1.2.2localdealafuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Recherched’unnombreraisonnabledepointsdecontroleˆ deB splinepourapprocherla
geom´ etrie´ deref´ erence´ delapompedefonddepuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.2 Grandeslignesdelamethode´ retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.3 Methode´ desmoindrescarres´ pourdeterminer´ Y . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.4 Listedescontraintesa` prendreencomptepourlesaubages . . . . . . . . . . . . 41
1.3.5 Miseenœuvrenumerique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.6 Resultats´ numeriques´ pourl’extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.7 R´ num´ pourlacambrure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Resolution´ numerique´ desequations´ deNavier Stokes 47
2.1 Lelogicielde Computational Fluid Dynamics(CFD)Fluent . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 Presentation´ gen´ erale´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2 Methode´ deresolution´ numerique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Modelisation´ d’unecoulement´ degasoildanslapompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Creation´ etmaillagedelageom´ etrie´ dansGambit . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Specifications´ delasimulationnumerique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3 Modelisation´ d’unecoulement´ basique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.4 Mod´ d’un´ dansundomainemobile . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.5 Modeles` deturbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Resultats´ de convergence pour un probleme` semi lin eair´ e et un probleme` de Stokes dans
unegeom´ etrie´ periodique´ 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Semilinearproblemsin N dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 TheStokesproblemwithNavierslipboundaryconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 61`TABLEDESMATIERES
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II Evaluationdugradient 67
4 Calculd’ungradientincompletdelafonctioncoutˆ 69
4.1 Formulesd’integration´ surdesbordsvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Calculincompletdegradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Z
4.2.1 Deri´ vationdel’integrale´ surleborddudomaine: J = pn . . . . . . . . . . 711 z
∂ΩZ
4.2.2 Deri´ vationdel’integrale´ surlespartiesdeform´ ees´ : J = pn . . . . . . . . . 732 z
D
4.2.3 Expressionfinaledugradientincomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Extensionsduvecteurnormaletduvecteurchampdedeformation´ . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Deri´ vationparrapportaudomainedel’extensiondelanormale . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1 Resultat´ utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2 Premiersel´ ements´ decalcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
04.4.3 CalculdutermeN =−∇(V.N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.4delacourburemoyenne H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Calculduchampdedef´ ormationinduitparledeplacement´ d’unpointdecontroleˆ 81
5.1 Theor´ eme` desfonctionsimplicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Deplacement´ d’unpointdecontroleˆ del’extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 Champdedeformation´ induita` l’e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.2ded´ induita` l’intrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Deplacement´ d’unpointdecontroleˆ delacambrure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
´ `5.3.1 Champdedeformationinduitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.2ded´ induita` l’intrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 Deplacement´ d’unpointdecontroleˆ dumoyeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.1 Champdedeformation´ induitaumoyeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Ecrituredesvecteursendimension3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.1 Champdedeformation´ a` l’extradosdesaubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.2ded´ a` l’intradosdesaubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5.3 Champdedeformation´ normalaumoyeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Cas particulier du champ de deformation´ sur les surfaces d’entree´ et de sortie de l’etage´
depompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Deri´ vee´ del’extensiondelanormale 91
6.1 Calculsrelatifsaumoyeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2gen´ eraux´ relatifsa` uneaube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Distinctionentrel’intradosetl’extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.1 L’extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.2 L’intrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
III Optimisationdumoyeu 101
7 Miseenœuvredel’optimisation 103
7.1 Aproposdel’existenced’unminimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6Tabledesmatier` es
7.2 Deroulement´ del’algorithmed’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Evaluationnumerique´ delafonctioncoutˆ etdugradientincomplet . . . . . . . . . . . . 106
7.4 Calculdesderi´ vees´ desvariablesd’etat´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.1 LesmacrosdeFluent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
´ ´ ´7.4.2 Schemanumeriquealternatifpourlecalculdesvariablesd’etataucentredesfaces109
7.4.3 Schema´ num´ pourlecalculdesderi´ vees´ aucentredesfaces . . . . . . . . 112
7.4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5 Algorithmesd’optimisationsanscontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5.1 Methodes´ degradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5.2 M´ deNewtonetdequasi Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.6 Priseencomptedescontraintesgeom´ etriques´ pourleprobleme` dumoyeu . . . . . . . . 117
7.6.1 Positionduprobleme` specifique´ d’optimisationdumoyeu . . . . . . . . . . . . 117
7.6.2 Recensementdescontraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.6.3 Reduction´ duprobleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.6.4 Choixdelageom´ etrie´ initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Analysecritiquedelamethode´ degradientincomplet 121
8.1 Resultats´ numeriques´ pourlamethode´ degradientincomplet . . . . . . . . . . . . . . . 121
08.1.1 Contraintesdecontinuite´C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
18.1.2surlecaractere` C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1.3 Perspectivespourunnombrededegres´ deliberte´ superieur´ . . . . . . . . . . . . 125
8.2 Comparaisonaveclesresultats´ desdifferences´ finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2.1 Calculdugradientpardifferences´ finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2.2 Comparaisondel’angleentregradientincompletetgradientcalcule´pardifferences´
finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.2.3 Resultats´ numeriques´ parlesdifferences´ finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.3 Qualite´ dugradientincompletetcasdumoyeucylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3.1 Gradientpourunmoyeucderayonfixe´ . . . . . . . . . . . 131
8.3.2incompletpourunmoyeucylindriquederayonvariable . . . . . . . . 133
8.4 Bien fond e´ delamethode´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.4.1 Justificationparl’experience´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.4.2 Etudedesderi´ vees´ elimin´ ees´ lorsducalculdugradientincomplet . . . . . . . . 136
8.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.5.1 Optimisationdesaubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.5.2 Solutionsenvisageablespourl’amelioration´ del’algorithmed’optimisation . . . 138
Conclusion 141
Bibliographie 145
7Glossaire
0E =(0,e ,e ,e ) repere` cartesien´ lie´ a` lapompe1 2 3
A longueuraxialed’uneaubeaurotorr
Aaxialed’uneaubeaustators
C bordsdeΩnondeform´ es´ aucoursdel’optimisation
c contraintei
D bordsdeΩdeform´ es´ aucoursdel’optimisation
D(.) matricejacobienne
2D (.)hessienne
D diametre` minimaldumoyeu1
D diametre` maximaldumoyeu2
D diametre` ducartert
d directiondedescentek
∂Ω borddeΩ
E faced’entree´ d’unetage´ depompe
e epaisseur´ d’uneaube
ε pasdesdifferences´ finies
Γ surfaced’uneaubea
Γ surfacedumoyeum
H courburemoyenne
J fonctioncoutˆ
jeu jeuaxial
L longueuraxialed’unetage´ depompe
Laxialedurotorr
L longueuraxialedustators
M pointdelacambrurec
M pointdel’extradose
m nombredecontraintes
μ viscosite´ dynamique