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77CHAPITRE4LATRANSFORMÉEDEFOURIER4.1 FonctionslocalementintégrablesSoit I unintervalledeRetsoit f :R→ Runeapplication.Définition4.1.1Onditque f estlocalementintégrablesurI si f estintégrablesurtoutintervallefermébornécontenudans I. R bC’estàdire, f estlocalementintégrablesur I,siquelquesoit[a,b]⊂ I,alors f(x)dxexiste.aRemarque4.1.1Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables.On note par Loc(I,R)={f : I→ R : f localement intégrable}.OnaalorsC(I,R)⊂ Loc(I,R)etl’inclusioneststricte.Commeexemplelafonction f(x)= [x],(partieentière de x) est localement intégrable mais non continue.Proposition4.1.1L’ensemble Loc(I,R) est un sous-espace vectoriel deF(I,R), (espace de toutes les fonctions définiesde I dansR).4.2 L’intégraledeFourierPour conclure l’étude de la théorie des séries deFourier, on examinera le cas limite oùl’intervalle]−ℓ,ℓ[,danslequelonétudielasériedeFourier,tendvers]−∞,∞[,c’estàdirelorsqueℓ−−→∞. Z ∞Soit f :R7!RunefonctionlocalementintégrablesurRettellequeI= |f(t)|dtconverge.−∞Onsupposeque f satisfaitauxconditionsdeDirichletetadmetundéveloppementensériedeFourierdansl’intervalle[−ℓ,ℓ],ℓ> 0.Doncilexisteunefonction g :R7!Rpériodique,2πde période T = 2ℓ = , vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en sérieωdeFourier)tellequelarestriction g = f.|[−ℓ,ℓ]63LATRANSFORMÉEDEFOURIERAlorspourtout x∈ [−ℓ,ℓ]ona:∞ ∞ X Xh ia a nπ nπ0 0(a) f(x)= + a cos(nωx)+b sin(nωx) = + a cos x +b sin xn n n n2 2 ...

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Extrait

4.1

CHAPITRE 4

LA TRANSFORMÉE DEFOURIER

Fonctions localement intégrables

SoitIun intervalle deRet soitf:R→−7Rune application.

Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. R b C’est à dire,fest localement intégrable surI, si quelque soit [a,b]⊂I, alorsf(x)dxexiste. a Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I,R)={f:I7−→R:f localement intégrable}. On a alorsC(I,R)⊂Loc(I,R)fet l’inclusion est stricte. Comme exemple la fonction (x)=[x], (partie entière de x) est localement intégrable mais non continue.

Proposition 4.1.1 L’ensemble Loc(I,R)est un sousespace vectoriel deF(I,R), (espace de toutes les fonctions définies de I dansR).

4.2

L’intégrale deFourier

Pour conclure l’étude de la théorie des séries deFourier, on examinera le cas limite où l’intervalle ]−ℓ, ℓ[, dans lequel on étudie la série deFourier , tend vers ]− ∞,∞[, c’est à dire lorsqueℓ−−→ ∞. Z ∞ Soitf:R7→Rune fonction localement intégrable surRet telle queI=|f(t)|dtconverge. −∞ On suppose quefsatisfait aux conditions de Dirichlet et admet un développement en série deFourier dans l’intervalle [−ℓ, ℓ],ℓ >0. Donc il existe une fonctiong:R7→Rpériodique, 2π de périodeT=2ℓ=, vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en série ω deFourier) telle que la restrictiong=f. | [−ℓ,ℓ]

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LA TRANSFORMÉE DEFOURIER

Alors pour toutx∈[−ℓ, ℓ] on a :      ∞ ∞ X h i X a 0 a 0 nπnπ (a)f(x)= +a n cos(nωx)+b n sin(nωx)= +a n cosx+b n sinx 2 2ℓ ℓ n=1n=1 Z Z π/ω ℓ   ω1nπ (b)a n =f(x) cos(nωx)dx=f(x) cosx dx π ℓ ℓ −π/ω−ℓ Z Z π/ω ℓ   ω1nπ (c)b n =f(x) sin(nωx)dx=f(x) sinx dx π ℓ ℓ −π/ω−ℓ En remplaçant les quantités (b) et (c) dans (a), on a :   Z Z ∞ ℓ         X ℓ 1 1nπnπnπnπ f(x)=f(x)dx+  f(t) costcosx+sintsinx dt  =   2ℓ ℓ ℓ ℓℓ ℓ −ℓ−ℓ n=1 Z ∞ Z ℓ   ℓ X 1 1nπ f(x)dx+f(t) cos (t−x)dt(1) 2ℓℓ ℓ −ℓ−ℓ n=1 Nous allons étudier cette dernière intégrale quandℓ→ ∞. π2πnπ π Posonsα 1 =, α 2 =, . . . , α n =etΔα n =α n −α n−1 =. ℓ ℓ ℓ ℓ En reportant dans l’expression (1) cidessus, on obtient :   Z +ℓ ∞ Z ℓ X 1 1 f(x)=f(t)dt+  f(t) cosα n (t−x)dt  Δα n   2ℓ π −ℓ−ℓ n=1 Z +ℓ Posonsϕ(α n )=f(t ) cos ( α n (t−x )) dt. Il résulte de cela −ℓ n−1n−1 Z ! X X ℓ ϕ(α k )Δα k =f(t) cos(α k (t−x)dt)Δα k −ℓ k=1k=1 Par conséquent n−1 Z X ∞ limϕ(α k )Δα k =ϕ(α)dα(l’intégrale de Riemann.) n→∞ π/ℓ k=1   Z ! n−1n−1 X X ℓ 1 1 . Donc limϕ(α k )Δα k =lim  f(t) cos(α k (t−x))dt)Δα k  n→∞n→∞   π π −ℓ k=1k=1 Z Z Z ! ∞ ∞ℓ 1 1 Ainsiϕ(α)dα=f(t) cos(α(t−x))dt dα. π π π/ℓ π/ℓ−ℓ Comme Z Z ∞ ∞ 1 1 limϕ(α)dα=ϕ(α)dα π π ℓ→∞ π/ℓ0 Z "Z # Z "Z # ∞ℓ∞ ∞ 1 1 limf(t) cos(α(t−x))dt dα=f(t) cos(α(t−x))dt dα. π π ℓ→∞ π/ℓ−ℓ0−∞ On a finalement la relation pourfcontinue : Z "Z # ∞ ∞ 1 f(x)= f(t) cos(α(t−x))dt dα π 0−∞

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4.2 L’intégrale deFourier

Cette dernière expression est appelée intégrale deFourier. Cette égalité a lieu en tout point xoùfest continue. Sifpossède des discontinuités, on a la formule valable pour toutx: Z "Z # ∞ ∞ 1 f(x+0)+f(x−0) f(t) cos(α(t−x))dt dα= π2 0−∞ Z ∞ Posons maintenantφ(α)=f(t) cos(α(t−x))dt. Il est clair queφ(−α)=φ(α) et doncφest −∞ Z Z ∞ ∞ 1 paire et par suiteφ(α)dα=φ(α)dα. 2 0−∞ On a finalement : L’intégrale deFourier. Z "Z # ∞ ∞ 1 f(x)=f(t) cos(α(t−x)dt dα 2π −∞ −∞

4.2.1 forme complexe de l’intégrale deFOURIER Z ∞ Posonsψ(α)=f(t) sin(α(t−x))dt. −∞ Z Z "Z # a a∞ ψest une fonction impaire et donc pour touta>0,ψ(α)dα=0=f(t) sin(α(t−x))dt dα. −a−a−∞ Donc Z Z "Z # a∞ ∞ limψ(α)dα=f(t) sin(α(t−x))dt dα=0. a→∞ −a−∞ −∞ On dit dans ce cas que l’intégrale converge en valeur principale de Cauchy vers 0. Ceci Z "Z # ∞ ∞ −i implique qu’on a aussif(t) sin(α(t−x))dt dα=0 et donc ; 2π −∞ −∞ Forme complexe de l’intégrale deFourier. Z "Z # ∞ ∞ 1 −iα(t−x) f(x)=f(t)e dt dα. 2π −∞ −∞

Posons : Z ∞ 1 b −iαt F(f)(α)=f(α)= √ f(t)e dt; 2π −∞ alors Z Z "Z # ∞ ∞ ∞ √ 1 2πf(x) iαx−iα(t−x) b f(α)e dα= √ f(t)de dt α= √ =2πf(x). −∞ 2π − 2π ∞ −∞ On peut écrire généralement sifpossède des discontinuités : Z ∞ 1 f(x+0)+f(x−0) iαx b √ f(α)e dα= 2 2π −∞ Maintenant on peut définir la notion de transformée deFourier.

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4.3

Transformée deFourier

LA TRANSFORMÉE DEFOURIER

Définition 4.3.1 Soitf:R7→Rune fonction localement intégrable et absolument intégrable surR. b On définit la transformée deFourier def, la fonction notéefouF(f) deR7→C; et sa transformée inverse deC7→Rpar :

Transformée deFourier. Z ∞ 1 −iαx b F(f)(α)=f(α)= √ f(x)e dx 2π −∞

Transformée inverse deFourier . Z ∞ 1 f(x+0)+f(x−0) iαx b f(x)= √ f(α)e dα= 2 2π −∞

Exemple 4.3.1 −|x| Soitf(x)=e. Z "Z Z # ∞0∞ 1 1 b −|x| −iαx x−iαx−x−iαx f(α)= √ e e dx= √ dxe e +e e dx 2π2π −∞ −∞0 "Z Z # 0∞   1 1 1 1 1 2 (1−iα)x−(1+iα)x = √ e dx+e dx= √ + = √ . 2 1+iα1−iα1+α 2π −∞0 2π2π Puisquefest continue surR, La transformaée inverse donne : Z Z ∞ ∞ 1 1 1 b −|x| iαx iαx f(x)=e= √ f(α)e dα=e dα 2 π1+α 2π −∞ −∞ Z Z Z ∞ ∞ ∞ 1 cosαx isinαx2 cosαx =dα+dα=dα+i.0 ; 2 2 2 π1+α π1+α π1+α −∞ −∞0 d’où : Z ∞ cosαxπ −|x| dα= e . 2 1+α2 0 Z ∞ cosxπ En particulier on a ;dx=∙ 2 1+x 2 e 0

4.4

Propriétés

Lemme 4.4.1 (Riemann)

On pose IK=RouC. Soitf: [a,b]7→IK une fonction intégrable sur [a,b]. Alors les fonctionsf(t) cosαtetf(t) sinαtsont intégrables dans [a,b] pour toutα dansRet on a : Z Z b b limf(t) cosαt dt=limf(t) sinαt dt=0 α→±∞α→±∞ a a

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4.4 Propriétés

Preuve. fintégrable sur [a,b] implique que pour toutε >0, il existe une subdivision de [a,b]a=x 0 <x 1 <x 2 . . < . <x n =b et une fonction en escalier, ε g: [a,b]7→Rtelles que|f(t)−g(t)|<. 2(b−a) Z Z Z b b b ε ε (f(t)−g(t)) cosαtdt≤ |f(t)−g(t)||cosαt|dt≤dt=.  2(b−a) 2 a a a Or, dans chaque intervalle ]x k ,x k+1 [, la fonctiongest constante et vautg(t)=c k . | ]x k ,x k+1 [ On a alors, Z Z n−1 x b n−1 Z x X X k+1k+1 g(t) cosαt dt=g(t) cosαt dt=c k cosαt dt a x k x k k=0k=0   x k+1 n−1n−1 X X sinαt1 =c k =c k (sinαx k+1 −sinαx k )−−−−−→0. α−→±∞ α x k α k=0k=0 Et par suite, Z b limf(t) cosαt dt=0. α→±∞ a Raisonnement identique pour la deuxième intégrale. Théorème 4.4.1

Soitf:R7→Cune fonction localement intégrable et absolument intégrable surR. Alors Z ∞ 1 b −iαx 1.f(α)= √ f(x)e dxest normalement convergente. 2π −∞ b 2.fest bornée. b 3. limf(α)=0 α→± ∞

Preuve. −iαx 1. C’est immédiat car|f(x)e|=|f(x)|qui est intégrable surRpar hypothèse. Z Z ∞ ∞ 1 −iαx b 2.|f(α)√ || ≤ f(x)e|dx=|f(x)|dx=M. 2π −∞ −∞ Z a 1 3. PosonsI(a)=√ |f(x)|dx. 2π −a Z ∞ 1 limI(a)=√ |f(x)|dx=Iexiste. a→∞ 2π −∞ ε Soitε >0. Il existe alorsb>0 tel que|I−I(b)|=I−I(b)≤. 2 Z ∞ 1 b −iαx |f(α)|= √ f(x)e dt=  2π −∞ Z Z Z −b b∞ 1 1 1 −iαx−iαx−iαx √ f(x)e dx+ √ f(x)e dx+ √ f(x)e dx≤  2π2π2π −∞ −b b Z Z Z −b b∞ 1 1 1 −iαx √ |f(x)|dx+ √ f(x)e dx+√ |f(x)|dx.   2π2π2π −∞ −b b

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