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77CHAPITRE4LATRANSFORMÉEDEFOURIER4.1 FonctionslocalementintégrablesSoit I unintervalledeRetsoit f :R→ Runeapplication.Définition4.1.1Onditque f estlocalementintégrablesurI si f estintégrablesurtoutintervallefermébornécontenudans I. R bC’estàdire, f estlocalementintégrablesur I,siquelquesoit[a,b]⊂ I,alors f(x)dxexiste.aRemarque4.1.1Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables.On note par Loc(I,R)={f : I→ R : f localement intégrable}.OnaalorsC(I,R)⊂ Loc(I,R)etl’inclusioneststricte.Commeexemplelafonction f(x)= [x],(partieentière de x) est localement intégrable mais non continue.Proposition4.1.1L’ensemble Loc(I,R) est un sous-espace vectoriel deF(I,R), (espace de toutes les fonctions définiesde I dansR).4.2 L’intégraledeFourierPour conclure l’étude de la théorie des séries deFourier, on examinera le cas limite oùl’intervalle]−ℓ,ℓ[,danslequelonétudielasériedeFourier,tendvers]−∞,∞[,c’estàdirelorsqueℓ−−→∞. Z ∞Soit f :R7!RunefonctionlocalementintégrablesurRettellequeI= |f(t)|dtconverge.−∞Onsupposeque f satisfaitauxconditionsdeDirichletetadmetundéveloppementensériedeFourierdansl’intervalle[−ℓ,ℓ],ℓ> 0.Doncilexisteunefonction g :R7!Rpériodique,2πde période T = 2ℓ = , vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en sérieωdeFourier)tellequelarestriction g = f.|[−ℓ,ℓ]63LATRANSFORMÉEDEFOURIERAlorspourtout x∈ [−ℓ,ℓ]ona:∞ ∞ X Xh ia a nπ nπ0 0(a) f(x)= + a cos(nωx)+b sin(nωx) = + a cos x +b sin xn n n n2 2 ...

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4.1
CHAPITRE 4
LA TRANSFORMÉE DEFOURIER
Fonctions localement intégrables
SoitIun intervalle deRet soitf:R7Rune application.
Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. R b C’est à dire,fest localement intégrable surI, si quelque soit [a,b]I, alorsf(x)dxexiste. a Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I,R)={f:I7R:f localement intégrable}. On a alorsC(I,R)Loc(I,R)fet l’inclusion est stricte. Comme exemple la fonction (x)=[x], (partie entière de x) est localement intégrable mais non continue.
Proposition 4.1.1 L’ensemble Loc(I,R)est un sousespace vectoriel deF(I,R), (espace de toutes les fonctions définies de I dansR).
4.2
L’intégrale deFourier
Pour conclure l’étude de la théorie des séries deFourier, on examinera le cas limite où l’intervalle ]ℓ, ℓ[, dans lequel on étudie la série deFourier , tend vers ]− ∞,[, c’est à dire lorsque→ ∞. Z Soitf:R7→Rune fonction localement intégrable surRet telle queI=|f(t)|dtconverge. −∞ On suppose quefsatisfait aux conditions de Dirichlet et admet un développement en série deFourier dans l’intervalle [ℓ, ℓ],ℓ >0. Donc il existe une fonctiong:R7→Rpériodique, 2π de périodeT=2=, vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en série ω deFourier) telle que la restrictiong=f. | [ℓ,ℓ]
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LA TRANSFORMÉE DEFOURIER
Alors pour toutx[ℓ, ℓ] on a :      ∞ ∞ X h i X a0a0nπnπ (a)f(x)= +ancos(nωx)+bnsin(nωx)= +ancosx+bnsinx 2 2ℓ ℓ n=1n=1 Z Z π/ω ℓ  ω1nπ (b)an=f(x) cos(nωx)dx=f(x) cosx dx π ℓ π/ωZ Z π/ω ℓ  ω1nπ (c)bn=f(x) sin(nωx)dx=f(x) sinx dx π ℓ π/ωEn remplaçant les quantités (b) et (c) dans (a), on a :   Z Z        X 1 1nπnπnπnπ f(x)=f(x)dx+f(t) costcosx+sintsinx dt=   2ℓ ℓ ℓ ℓℓ ℓ n=1 ZZ  X 1 1nπ f(x)dx+f(t) cos (tx)dt(1) 2ℓ ℓ n=1 Nous allons étudier cette dernière intégrale quand→ ∞. π2πnπ π Posonsα1=, α2=, . . . , αn=etΔαn=αnαn1=. ℓ ℓ ℓ ℓ En reportant dans l’expression (1) cidessus, on obtient :   Z +ZX 1 1 f(x)=f(t)dt+f(t) cosαn(tx)dtΔαn   2ℓ π n=1 Z +Posonsϕ(αn)=f(t) cos (αn(tx))dt. Il résulte de cela n1n1Z ! X X ϕ(αk)Δαk=f(t) cos(αk(tx)dt)Δαk k=1k=1 Par conséquent n1Z X limϕ(αk)Δαk=ϕ(α)dα(l’intégrale de Riemann.) n→∞ π/ℓ k=1   Z ! n1n1 X X 1 1 . Donc limϕ(αk)Δαk=limf(t) cos(αk(tx))dt)Δαkn→∞n→∞  π π k=1k=1 Z Z Z ! ∞ ∞1 1 Ainsiϕ(α)dα=f(t) cos(α(tx))dt dα. π π π/ℓ π/ℓComme Z Z ∞ ∞ 1 1 limϕ(α)dα=ϕ(α)dα π π →∞ π/ℓ0 Z "Z # Z "Z # ∞ ∞ 1 1 limf(t) cos(α(tx))dt dα=f(t) cos(α(tx))dt dα. π π →∞ π/ℓ0−∞ On a finalement la relation pourfcontinue : Z "Z # ∞ ∞ 1 f(x)=f(t) cos(α(tx))dt dα π 0−∞
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4.2 L’intégrale deFourier
Cette dernière expression est appelée intégrale deFourier. Cette égalité a lieu en tout point xfest continue. Sifpossède des discontinuités, on a la formule valable pour toutx: Z "Z # ∞ ∞ 1f(x+0)+f(x0) f(t) cos(α(tx))dt dα= π2 0−∞ Z Posons maintenantφ(α)=f(t) cos(α(tx))dt. Il est clair queφ(α)=φ(α) et doncφest −∞ Z Z ∞ ∞ 1 paire et par suiteφ(α)dα=φ(α)dα. 2 0−∞ On a finalement : L’intégrale deFourier. Z "Z # ∞ ∞ 1 f(x)=f(t) cos(α(tx)dt dα 2π −∞ −∞
4.2.1 forme complexe de l’intégrale deFOURIER Z Posonsψ(α)=f(t) sin(α(tx))dt. −∞ Z Z "Z # a aψest une fonction impaire et donc pour touta>0,ψ(α)dα=0=f(t) sin(α(tx))dt dα. aa−∞ Donc Z Z "Z # a∞ ∞ limψ(α)dα=f(t) sin(α(tx))dt dα=0. a→∞ a−∞ −∞ On dit dans ce cas que l’intégrale converge en valeur principale de Cauchy vers 0. Ceci Z "Z # ∞ ∞ i implique qu’on a aussif(t) sin(α(tx))dt dα=0 et donc ; 2π −∞ −∞ Forme complexe de l’intégrale deFourier. Z "Z # ∞ ∞ 1 iα(tx) f(x)=f(t)e dt dα. 2π −∞ −∞
Posons : Z 1 b iαt F(f)(α)=f(α)=f(t)e dt; 2π −∞ alors Z Z "Z # ∞ ∞ 1 2πf(x) iαxiα(tx) b f(α)e dα=f(t)de dt α==2πf(x). −∞2π2π ∞ −∞ On peut écrire généralement sifpossède des discontinuités : Z 1f(x+0)+f(x0) iαx b f(α)e dα= 2 2π−∞ Maintenant on peut définir la notion de transformée deFourier.
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4.3
Transformée deFourier
LA TRANSFORMÉE DEFOURIER
Définition 4.3.1 Soitf:R7→Rune fonction localement intégrable et absolument intégrable surR. b On définit la transformée deFourier def, la fonction notéefouF(f) deR7→C; et sa transformée inverse deC7→Rpar :
Transformée deFourier. Z 1 iαx b F(f)(α)=f(α)=f(x)e dx 2π −∞
Transformée inverse deFourier . Z 1f(x+0)+f(x0) iαx b f(x)=f(α)e dα= 2 2π−∞
Exemple 4.3.1 −|x| Soitf(x)=e. Z "Z Z # 01 1 b −|x| −iαx xiαxxiαx f(α)=e e dx=dxe e +e e dx 2π2π −∞ −∞0 "Z Z # 0  1 1 1 1 1 2 (1iα)x(1+iα)x =e dx+e dx=+ =. 2 1+iα1iα1+α 2π−∞02π2π Puisquefest continue surR, La transformaée inverse donne : Z Z ∞ ∞ 1 1 1 b −|x|iαx iαx f(x)=e=f(α)e dα=e dα 2 π1+α 2π −∞ −∞ Z Z Z ∞ ∞ ∞ 1 cosαx isinαx2 cosαx =dα+dα=dα+i.0 ; 2 2 2 π1+α π1+α π1+α −∞ −∞0 d’où : Z cosαxπ −|x| dα=e. 2 1+α2 0 Z cosxπ En particulier on a ;dx=2 1+x2 e 0
4.4
Propriétés
Lemme 4.4.1 (Riemann)
On pose IK=RouC. Soitf: [a,b]7→IK une fonction intégrable sur [a,b]. Alors les fonctionsf(t) cosαtetf(t) sinαtsont intégrables dans [a,b] pour toutα dansRet on a : Z Z b b limf(t) cosαt dt=limf(t) sinαt dt=0 α→±∞α→±∞ a a
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4.4 Propriétés
Preuve. fintégrable sur [a,b] implique que pour toutε >0, il existe une subdivision de [a,b]a=x0<x1<x2. . < . <xn=b et une fonction en escalier, ε g: [a,b]7→Rtelles que|f(t)g(t)|<. 2(ba) Z Z Z b b b ε ε (f(t)g(t)) cosαtdt≤ |f(t)g(t)||cosαt|dtdt=. 2(ba) 2 a a a Or, dans chaque intervalle ]xk,xk+1[, la fonctiongest constante et vautg(t)=ck. |]xk,xk+1[ On a alors, Z Zn1x b n1Zx X X k+1k+1 g(t) cosαt dt=g(t) cosαt dt=ckcosαt dt a xkxk k=0k=0  xk+1 n1n1 X X sinαt1 =ck=ck(sinαxk+1sinαxk)−−−−→0. α−→±∞ αxkα k=0k=0 Et par suite, Z b limf(t) cosαt dt=0. α→±∞ a Raisonnement identique pour la deuxième intégrale. Théorème 4.4.1
Soitf:R7→Cune fonction localement intégrable et absolument intégrable surR. Alors Z 1 b iαx 1.f(α)=f(x)e dxest normalement convergente. 2π −∞ b 2.fest bornée. b 3. limf(α)=0 α→± ∞
Preuve. iαx 1. C’est immédiat car|f(x)e|=|f(x)|qui est intégrable surRpar hypothèse. Z Z ∞ ∞ 1 iαx b 2.|f(α)√ || ≤ f(x)e|dx=|f(x)|dx=M. 2π−∞ −∞ Z a 1 3. PosonsI(a)=√ |f(x)|dx. 2πa Z 1 limI(a)=√ |f(x)|dx=Iexiste. a→∞ 2π −∞ ε Soitε >0. Il existe alorsb>0 tel que|II(b)|=II(b). 2 Z 1 b iαx |f(α)|=f(x)e dt= 2π−∞ Z Z Z b b1 1 1 iαxiαxiαx f(x)e dx+f(x)e dx+f(x)e dx2π2π2π −∞ −b b Z Z Z b b1 1 1 iαx √ |f(x)|dx+f(x)e dx+√ |f(x)|dx.   2π2π2π −∞ −b b
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