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Extrait

CHAPITRE3
SERIESDEFOURIER
3.1 Sériestrigonométriques
Définition3.1.1 Onappellesérietrigonométriqueréelle,toutesériedefonctionsdelaforme:
∞Xa0
+ a cos(nωx)+b sin(nωx) (1)n n2
n=1
avec x∈R,ω > 0, a ,b ∈R,pourtout ndansN.n n
Le problème est de déterminer l’ensemble Δ tel que la série (1) soit convergente pour tout
x∈Δ.
Remarque3.1.1
Supposonsquelasérie(1)convergeetposons
∞Xa0f(x)= + a cos(nωx)+b sin(nωx).n n2
n=1
Sachantquepourtous n∈Net k∈Z:
cos(nω(x+2kπ/ω))= cos(nωx+2nkπ)= cos(nωx)
sin(nω(x+2kπ/ω))= sin(nωx+2nkπ)= sin(nωx).
2kπ
Alorslasérie(1)convergeentoutpointdelaforme x+ , k∈Z.
ω !
2kπ
Si la série (1) converge dansR, on aura f(x) = f x+ et par suite la fonction f est
ω
périodiquedepériode T = 2π/ω.Enconclusion,lespropriétéssuivantessontéquivalentes:
i. Lasérietrigonométrique(1)convergedansR.
ii. Lasérietrigonométrique(1)convergedans[0,2π/ω].
iii. Lasérietrigonométrique(1)convergedans[α,α+2π/ω],∀α∈R
43SERIESDEFOURIER
Proposition3.1.1 X X
Si les séries numériques a et b sont absolument convergentesn n
alors la série trigonométrique (1) est normalement convergente surR; donc
absolumentetuniformémentsurR.
Preuve:
C’estévidentpuisque|a cos(nωx)+b sin(nωx)|≤|a |+|b |.n n n n
Proposition3.1.2
Silessuitesnumériques(a )et(b )sontdécroissantesettendentvers0,alorsn n
2kπ
lasérietrigonométrique(1)estconvergentepour x, où k∈Z.
ω
Preuve:
C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de
montrerquelessommessuivantessontmajoréesindépendammentde met n; n≤ m.
p=m p=mX X
C= cospx S= sinpx.
p=n p=n
Onapour t, 2kπoù k∈Z:
p=m p=m p=mX X X
C+iS = cospt+i sinpt= (cospt+isinpt)
p=n p=n p=n
p=mX i(m−n+1)t e1−ipt int it 2it i(m−n)t inte e e e e e= = 1+ + ++ = ite1−
p=n
(1−cos(m−n+1)t)−isin(m−n+1)tint= e
(1−cost)−isint
(m−n+1) (m−n+1) (m−n+1)22sin t−2isin tcos t
2 2 2inte=
22sin (t/2)−2isin(t/2)cos(t/2)
!
(m−n+1) (m−n+1)t (m−n+1)t .
−2isin t cos +isin
2 2 2
inte=
t t
−2isin(t/2) cos +isin
2 2
 (m−n+1) (m−n+1)t (m−n+1)t  sin t cos +isin  2  2 2 int  = e    t t sin(t/2)   cos +isin
2 2
(m−n+1) !sin t (m−n)t (m−n)t2
= cos +isin (cosnt+isinnt).
sin(t/2) 2 2
r
M A N -E 443.1Sériestrigonométriques
etfinalement,ona:
(m−n+1) !sin t (m+n)t (m+n)t2C+iS= cos +isin
sin(t/2) 2 2
D’oùl’ontire:  (m−n+1)t (m+n)t sin cos 2 2C= sin(t/2) (m−n+1)t (m+n)t sin sin 2 2S=
sin(t/2)
Remplaçons t par ωx, d’où pour tout m et n ∈ N, tout x dansR, On a les majorations
suivantes:
1 1
|C|6 et |S|6
|sin(ωx/2)| |sin(ωx/2)|
Lesdeuxsommesétantmajoréesindépendammentde met n.
∞X 2kπ
lasérie (a cosnωx+b sinnωx)estdoncconvergentepour x, , k∈Z.n n
ω
n=1
Remarque3.1.2 Le cas oùωx= 2kπ avec k∈Z donne tout simplement C= m−n et S= 0; donc
la somme C est divergente.
3.1.1 Représentationcomplexed’unesérietrigonométrique
D’aprèslesrelationsd’Euler:
inωx −inωx inωx −inωxe e e e+ −
cos(nωx)= et sin(nωx)=
2 2i
lasérie(1)devient:
" # " #∞ ∞X inωx −inωx inωx −inωx Xe e e ea + − a a −ib a +ib0 0 n n n ninωx −inωxe e+ a +b = + +n n2 2 2i 2 2 2
n=1 n=1
Enposant:
a −ib a +ib an n n n 0c = ; c = c = et c = , lasériedevient:n −n n 02 2 2
∞ ∞ ∞X X X
inωx −inωx inωx −inωxe e e ec + (c +c )= c + c + c0 n −n 0 n −n
n=1 n=1 n=1
∞ −1X X X
inωx inωx inωxe e e= c + c + c = c0 n n n
n=−∞n=1 n∈Z
Cettedernièreexpressionestappeléeformecomplexed’unesérietrigonométrique.
r45 M A N -ESERIESDEFOURIER
3.1.2 Calculdescœfficientsdelasérietrigonométrique.
Casréel.
Mettons nous dans les conditions de convergence uniforme de la série trigonométrique
∞Xa0(1)etposons f(x)= + (a cos(kωx)+b sin(kωx)).Alorsk k2
k=1
∞Xa0f(x)cos(nωx)= cos(nωx)+ [a cos(kωx)cos(nωx)+b sin(kωx)cos(nωx)]k k2
k=1
∞Xa0f(x)sin(nωx)= sin(nωx)+ [a cos(kωx)sin(nωx)+b sin(kωx)sin(nωx)]k k2
k=1
Laconvergenceuniformenouspermetd’avoir:Z Z Z∞2π/ω 2π/ω 2π/ωXa0
• f(x)cos(nωx)dx = cos(nωx)dx+ a cos(kωx)cos(nωx)dxk20 0 0k=1Z .∞ 2π/ωX
+ b sin(kωx)cos(nωx)dx.k
0k=1Z Z Z∞2π/ω 2π/ω 2π/ωXa0
• f(x)sin(nωx)dx = sin(nωx)dx+ a cos(kωx)sin(nωx)dxk20 0 0k=1 .Z∞ 2π/ωX
+ b sin(kωx)sin(nωx)dx.k
0k=1
Orona:(Àfaireàtitred’exercices.)
Z 2π/ω 0 si k, ncos(kωx)cos(nωx)dx =
π/ω si k= n0Z 2π/ω 0 si k, nsin(kωx)sin(nωx)dx =
π/ω si k= n0Z 2π/ω
cos(nωx)sin(kωx)dx = 0.
0
Ondéduitalorslescœfficientsparlesexpressionssuivantes:
Z 2π/ω
ω
a = f(x)cos(nωx)dxn
π 0
Z 2π/ω
ω
b = f(x)sin(nωx)dx.n
π 0
Cesexpressionssontvalablesmêmepour n= 0.
Lemme3.1.1
Soit f unefonctionpériodiquedepériodeT > 0etintégrabledansl’intervalleZ ZT α+T
[0,T].Alorspourtoutα∈R,ona f(t)dt= f(t)dt.
0 α
r
M A N -E 463.2SériesdeFourier
Preuve.
LarelationdeChaslesnouspermetd’écrire:Z Z Z Z Zα+T 0 T α+T α+T
f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt + f(t)dt. Dans l’intégrale f(t)dt on fait le
α a 0 T T
changementdevariables y= t−T.Z Z Zα+T α α
Cecinousdonne f(t)dt= f(y+T)dy= f(y)dy.
T 0 0Z Z Z Z Zα+T 0 T α T
Donc f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt+ f(t)dt= f(t)dt.
α α 0 0 0
Moyennantcelemme,lescœfficientspeuvents’écrire:Z Z2π/ω α+2π/ω
ω ω
a = f(x)cos(nωx)dx= f(x)cos(nωx)dx ∀α∈R.n
π π0 αZ Z2π/ω α+2π/ω
ω ω
b = f(x)sin(nωx)dx= f(x)sin(nωx)dx; ∀α∈R.n
π π0 α
Enparticuliersiω= 1,casdesfonctions2π-périodique;
Z Z2π π1 1
a = f(x)cos(nx)dx= f(x)cos(nx)dx.n
π π0 −πZ Z2π π1 1
b = f(x)sin(nx)dx= f(x)sin(nx)dx.n
π π0 −π
3.1.3 Calculdescœfficientsdelasérietrigonométrique.
Cascomplexe.
∞X
ikωxeOna f(x)= c .k
k=−∞Z Z∞2π/ω 2π/ωX
−inωx iωx(k−n)f(x)e dx= c e dx.k
0 0k=−∞
Or, Z 2π/ω 0 si k, niωx(k−n)e dx= 2π/ω si k= n.0
Lescœfficientssontalorsdonnésparlarelation:Z Z2π/ω α+2π/ω
ω ω−inωx −inωxc = f(x)e dx= f(x)e ;n∈Z.n 2π 2π0 α
3.2 SériesdeFourier
Dans cette partie, on ne va considérer que les fonctions de période 2π. A chaque fois on
préciseralesformulespourunepériodequelconque. Z
Soit f :R 7!R une application périodique de période T = 2π. On suppose que |f(t)|dt
I
convergesurunintervalle I = [α,α+2π]delongueur2π, ∀α∈R.
r47 M A N -ESERIESDEFOURIER
Définition3.2.1
OnappellesériedeFourierassociéeà f,lasérietrigonométrique
∞Xa0
+ [a cos(nx)+b sin(nx)]n n2
n=1
Z Z2π 2π1 1
avec a = f(x)cos(nx)dxet b = f(x)sin(nx)dxn n
π π0 0
Deuxquestionsseposent:
1. LasériedeFourierassociéeà f est-elleconvergente?
2. Encasdeconvergence,peut-ondirequelasérieconvergevers f ?
Rappelonslanotiondediscontinuitédepremièreespèce.
Définition3.2.2
Une fonction f admet une discontinuité de première espèce en un point x si les limites0
à droite et à gauche de x existent. (Celles-ci ne sont pas forcément égales sauf en cas de0
continuité.)
Théorème3.2.1(Dirichlet)
Soit f :R7!R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux
conditionssuivantes(appeléesconditionsdeDirichlet):
D1) Lesdiscontinuitésde f (siellesexistent)sontdepremièreespèceetsonten
nombrefinidanstoutintervallefini.
D2) f admetentoutpointunedérivéeàdroiteetunedérivéeàgauche.
AlorslasériedeFourierassociéeà f estconvergenteetona:
∞Xa0
+ [a cos(nx)+b sin(nx)]n n2
n=1
 f(x) si f estcontinueen x
=  f(x+0)+ f(x−0) si f estdiscontinueen x
2
De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle où la fonction f est
continue.
Les notations f(x + 0) et f(x− 0) représentent respectivement les limites à droite et à
gauchede f aupoint x.
Remarque3.2.1
Ilyaunautrethéorèmeéquivalentauthéorème(3.2.1)dûàJordan.
Théorème3.2.2(Jordan)
Soit f :R7!R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux
r
M A N -E 483.2SériesdeFourier
conditionssuivantes:
J1) Ilexiste M > 0telque|f(x)|≤ M(i.e f estbornée)
J2) On peut partager l’intervalle [α,α+2π] en sous-intervalles [α ,α [,1 2
[α ,α [..., [α ,α ], avec α = α et α = α + 2π tels que la restriction2 3 n−1 n 1 nf soitmonotoneetcontinue.]α ,α [j j+1
AlorslasériedeFourierassociéeà f estconvergenteetona:
∞Xa0
+ [a cos(nx)+b sin(nx)]n n2
n=1
 f(x) si f estcontinueen x
=  f(x+0)+ f(x−0) si f estdiscontinueen x
2
Deplus,laconvergenceestuniformesurtoutintervalleoù f estcontinue.
Remarque3.2.2
Nousallonsétudierquelquescasparticuliers.Rappelonsd’abordquelquespropriétés.
f : [−k,k]7!Runefonctionintégrablesur[−k,k].Z Zk k
Si f estpairealors f(x)dx= 2 f(x)dx.
−k 0Z k
Si f estimpaire f(x)dx= 0.
−k
Si f estdéveloppab