77CHAPITRE4LATRANSFORMÉEDEFOURIER4.1 FonctionslocalementintégrablesSoit I unintervalle deRetsoit f :R→ Runeapplication.Définition4.1.1Onditque f estlocalementintégrablesurI si f estintégrablesurtoutintervallefermébornécontenudans I. R bC’estàdire, f estlocalementintégrablesur I,siquelquesoit[a,b]⊂ I,alors f(x)dxexiste.aRemarque4.1.1Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables.On note par Loc(I,R)={f : I→ R : f localement intégrable}.OnaalorsC(I,R)⊂ Loc(I,R)etl’inclusioneststricte.Commeexemplelafonction f(x)= [x],(partieentière de x) est localement intégrable mais non continue.Proposition4.1.1L’ensemble Loc(I,R) est un sous-espace vectoriel deF(I,R), (espace de toutes les fonctions définiesde I dansR).4.2 L’intégraledeFourierPour conclure l’étude de la théorie des séries deFourier, on examinera le cas limite oùl’intervalle]−ℓ,ℓ[,danslequelonétudielasériedeFourier,tendvers]−∞,∞[,c’estàdirelorsqueℓ−−→∞. Z ∞Soit f :R7!RunefonctionlocalementintégrablesurRettellequeI= |f(t)|dtconverge.−∞On supposeque f satisfait auxconditions deDirichlet etadmetundéveloppementen sériedeFourierdansl’intervalle[−ℓ,ℓ],ℓ> 0.Doncilexisteunefonction g :R7!Rpériodique,2πde période T = 2ℓ = , vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en sérieωdeFourier)tellequelarestriction g = f.|[−ℓ,ℓ]61LATRANSFORMÉEDEFOURIERAlorspourtout x∈ [−ℓ,ℓ]ona:∞ ∞ X Xh ia a nπ nπ0 0(a) f(x)= + a cos(nωx)+b sin(nωx) = + a cos x +b sin xn n ...
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CHAPITRE4
LATRANSFORMÉEDEFOURIER
4.1 Fonctionslocalementintégrables
Soit I unintervalle deRetsoit f :R→ Runeapplication.
Définition4.1.1
Onditque f estlocalementintégrablesurI si f estintégrablesurtoutintervallefermébornécontenu
dans I. R b
C’estàdire, f estlocalementintégrablesur I,siquelquesoit[a,b]⊂ I,alors f(x)dxexiste.
a
Remarque4.1.1
Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables.
On note par Loc(I,R)={f : I→ R : f localement intégrable}.
OnaalorsC(I,R)⊂ Loc(I,R)etl’inclusioneststricte.Commeexemplelafonction f(x)= [x],(partie
entière de x) est localement intégrable mais non continue.
Proposition4.1.1
L’ensemble Loc(I,R) est un sous-espace vectoriel deF(I,R), (espace de toutes les fonctions définies
de I dansR).
4.2 L’intégraledeFourier
Pour conclure l’étude de la théorie des séries deFourier, on examinera le cas limite où
l’intervalle]−ℓ,ℓ[,danslequelonétudielasériedeFourier,tendvers]−∞,∞[,c’estàdire
lorsqueℓ−−→∞. Z ∞
Soit f :R7!RunefonctionlocalementintégrablesurRettellequeI= |f(t)|dtconverge.
−∞
On supposeque f satisfait auxconditions deDirichlet etadmetundéveloppementen série
deFourierdansl’intervalle[−ℓ,ℓ],ℓ> 0.Doncilexisteunefonction g :R7!Rpériodique,
2π
de période T = 2ℓ = , vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en série
ω
deFourier)tellequelarestriction g = f.|[−ℓ,ℓ]
61LATRANSFORMÉEDEFOURIER
Alorspourtout x∈ [−ℓ,ℓ]ona:
∞ ∞ X Xh ia a nπ nπ0 0(a) f(x)= + a cos(nωx)+b sin(nωx) = + a cos x +b sin xn n n n2 2 ℓ ℓ
n=1 n=1Z Z π/ω ℓω 1 nπ
(b) a = f(x)cos(nωx)dx= f(x)cos x dxn π ℓ ℓ−π/ω −ℓZ Z π/ω ℓω 1 nπ
(c) b = f(x)sin(nωx)dx= f(x)sin x dxn π ℓ ℓ−π/ω −ℓ
Enremplaçantlesquantités(b)et(c)dans(a),ona: Z Z∞ ℓ ℓX 1 1 nπ nπ nπ nπ f(x)= f(x)dx+ f(t) cos t cos x +sin t sin x dt= 2ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ−ℓ −ℓn=1Z Z∞ ℓ ℓX1 1 nπ
f(x)dx+ f(t)cos (t−x) dt (1)
2ℓ ℓ ℓ−ℓ −ℓn=1
Nousallonsétudiercettedernièreintégrale quandℓ→∞.
π 2π nπ π
Posonsα = , α = ,...,α = etΔα =α −α = .1 2 n n n n−1ℓ ℓ ℓ ℓ
Enreportantdansl’expression (1)ci-dessus, onobtient: Z Z∞+ℓ ℓX 1 1 f(x)= f(t)dt+ f(t)cosα (t−x)dtΔαn n 2ℓ π−ℓ −ℓn=1Z
+ℓ
( )Posonsϕ(α )= f(t)cos α (t−x) dt.Ilrésultedecelan n
−ℓ Z !n−1 n−1 ℓX X
ϕ(α )Δα = f(t)cos(α (t−x)dt)Δαk k k k
−ℓk=1 k=1
Parconséquent Zn−1 ∞X
lim ϕ(α )Δα = ϕ(α)dα(l’intégraledeRiemann.)k k
n→∞ π/ℓk=1 !Zn−1 n−1 ℓX X 1 1 Donc lim ϕ(α )Δα = lim f(t)cos(α (t−x))dt) Δα .k k k k n→∞ n→∞π π −ℓk=1 k=1 !Z Z Z∞ ∞ ℓ1 1
Ainsi ϕ(α)dα= f(t)cos(α(t−x))dt dα.
π ππ/ℓ π/ℓ −ℓ
Comme Z Z∞ ∞1 1
lim ϕ(α)dα= ϕ(α)dα
ℓ→∞π ππ/ℓ 0" # " #Z Z Z Z∞ ℓ ∞ ∞1 1
lim f(t)cos(α(t−x))dt dα= f(t)cos(α(t−x))dt dα.
ℓ→∞π ππ/ℓ −ℓ 0 −∞
Onafinalementlarelation pour f continue :" #Z Z∞ ∞1
f(x)= f(t)cos(α(t−x))dt dα
π 0 −∞
er
M A N -E 624.2L’intégraledeFourier
CettedernièreexpressionestappeléeintégraledeFourier.Cetteégalitéalieuentoutpoint
xoù f estcontinue.
Si f possèdedesdiscontinuités, onalaformulevalablepourtout x:" #Z Z∞ ∞ f(x+0)+ f(x−0)1
f(t)cos(α(t−x))dt dα=
π 20 −∞Z ∞
Posons maintenantφ(α)= f(t)cos(α(t− x))dt.Il estclairqueφ(−α)=φ(α)etdoncφest
−∞Z Z∞ ∞1
paireetparsuite φ(α)dα= φ(α)dα.
20 −∞
Onafinalement:
L’intégraledeFourier." #Z Z∞ ∞1
f(x)= f(t)cos(α(t−x)dt dα
2π −∞ −∞
4.2.1 formecomplexedel’intégraledeFOURIERZ ∞
Posonsψ(α)= f(t)sin(α(t−x))dt.
−∞ " #Z Z Za a ∞
ψestunefonctionimpaireetdoncpourtouta> 0, ψ(α)dα= 0= f(t)sin(α(t−x))dt dα.
−a −a −∞
Donc " #Z Z Za ∞ ∞
lim ψ(α)dα= f(t)sin(α(t−x))dt dα= 0.
a→∞ −a −∞ −∞
On dit dans ce cas que l’intégrale converge en valeur principale de Cauchy vers 0. Ceci" #Z Z∞ ∞−i
impliquequ’onaaussi f(t)sin(α(t−x))dt dα= 0etdonc;
2π −∞ −∞
Forme complexedel’intégraledeFourier.Z "Z #∞ ∞1 −iα(t−x)f(x)= f(t)e dt dα.
2π −∞ −∞
Posons: Z ∞1 −iαtbF(f)(α)= f(α)= f(t)e dt;√
2π −∞
alors Z Z "Z #∞ ∞ ∞ √2πf(x)1iαx −iα(t−x)bf(α)e dα= f(t)e dt dα= = 2πf(x).√ √
−∞ 2π −∞ −∞ 2π
Onpeutécrire généralementsi f possèdedesdiscontinuités :Z ∞ f(x+0)+ f(x−0)1 iαxbf(α)e dα=√ 22π −∞
Maintenantonpeutdéfinirlanotion detransformée deFourier.
er63 M A N -ELATRANSFORMÉEDEFOURIER
4.3 TransforméedeFourier
Définition4.3.1
Soit f :R7!Runefonction localementintégrableetabsolumentintégrablesurR.bOn définit la transformée deFourier de f, la fonction notée f ouF(f) deR 7! C; et sa
transformée inversedeC7!Rpar:
Transformée deFourier. Z ∞1 −iαxbF(f)(α)= f(α)= √ f(x)e dx
2π −∞
Transformée inversedeFourier.Z ∞ f(x+0)+ f(x−0)1 iαxbf(x)= f(α)e dα=√ 22π −∞
Exemple4.3.1
−|x|Soit f(x)= e . " #Z Z Z∞ 0 ∞1 1−|x| −iαx x −iαx −x −iαxbf(α)= e e dx= e e dx+ e e dx√ √
2π −∞ 2π −∞ 0" #Z Z 0 ∞1 1 1 1 1 2(1−iα)x −(1+iα)x
= e dx+ e dx = + = .√ √ √ 21+iα 1−iα 1+α2π −∞ 0 2π 2π
Puisque f estcontinue surR,Latransformaée inversedonne:Z Z∞ ∞1 1 1iαx iαx−|x| bf(x)= e = f(α)e dα= e dα√ 2π 1+α2π −∞ −∞Z Z Z∞ ∞ ∞1 cosαx i sinαx 2 cosαx
= dα+ dα= dα+i.0;
2 2 2π 1+α π 1+α π 1+α−∞ −∞ 0
d’où: Z ∞ cosαx π −|x|edα= .
21+α 20Z ∞ cosx π
Enparticulierona; dx=
21+x 2e0
4.4 Propriétés
Lemme4.4.1(Riemann)
On pose IK=R ouC. Soit f : [a,b] 7! IK une fonction intégrable sur [a,b].
Alorslesfonctions f(t)cosαtet f(t)sinαtsontintégrablesdans[a,b]pourtoutα
dansRetona: Z Zb b
lim f(t)cosαt dt= lim f(t)sinαt dt= 0
α→±∞ α→±∞a a
er
M A N -E 644.4Propriétés
Preuve.
f intégrablesur[a,b]impliquequepourtoutε> 0,
ilexisteunesubdivision de[a,b] a= x < x < x <...< x = b0 1 2 n
etunefonction enescalier,
ε
g : [a,b]7!Rtellesque|f(t)− g(t)|< .
2(b−a) Z Z Z b b b