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• Publié par: Thiwyer
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• Langue: English

Extrait

7 7 CHAPITRE4 LATRANSFORMÉEDEFOURIER 4.1 Fonctionslocalementintégrables Soit I unintervalle deRetsoit f :R→ Runeapplication. Définition4.1.1 Onditque f estlocalementintégrablesurI si f estintégrablesurtoutintervallefermébornécontenu dans I. R b C’estàdire, f estlocalementintégrablesur I,siquelquesoit[a,b]⊂ I,alors f(x)dxexiste. a Remarque4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I,R)={f : I→ R : f localement intégrable}. OnaalorsC(I,R)⊂ Loc(I,R)etl’inclusioneststricte.Commeexemplelafonction f(x)= [x],(partie entière de x) est localement intégrable mais non continue. Proposition4.1.1 L’ensemble Loc(I,R) est un sous-espace vectoriel deF(I,R), (espace de toutes les fonctions définies de I dansR). 4.2 L’intégraledeFourier Pour conclure l’étude de la théorie des séries deFourier, on examinera le cas limite où l’intervalle]−ℓ,ℓ[,danslequelonétudielasériedeFourier,tendvers]−∞,∞[,c’estàdire lorsqueℓ−−→∞. Z ∞ Soit f :R7!RunefonctionlocalementintégrablesurRettellequeI= |f(t)|dtconverge. −∞ On supposeque f satisfait auxconditions deDirichlet etadmetundéveloppementen série deFourierdansl’intervalle[−ℓ,ℓ],ℓ> 0.Doncilexisteunefonction g :R7!Rpériodique, 2π de période T = 2ℓ = , vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en série ω deFourier)tellequelarestriction g = f.|[−ℓ,ℓ] 61LATRANSFORMÉEDEFOURIER Alorspourtout x∈ [−ℓ,ℓ]ona: ∞ ∞     X Xh ia a nπ nπ0 0(a) f(x)= + a cos(nωx)+b sin(nωx) = + a cos x +b sin xn n n n2 2 ℓ ℓ n=1 n=1Z Z  π/ω ℓω 1 nπ (b) a = f(x)cos(nωx)dx= f(x)cos x dxn π ℓ ℓ−π/ω −ℓZ Z  π/ω ℓω 1 nπ (c) b = f(x)sin(nωx)dx= f(x)sin x dxn π ℓ ℓ−π/ω −ℓ Enremplaçantlesquantités(b)et(c)dans(a),ona: Z Z∞         ℓ ℓX 1 1 nπ nπ nπ nπ  f(x)= f(x)dx+  f(t) cos t cos x +sin t sin x dt= 2ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ−ℓ −ℓn=1Z Z∞  ℓ ℓX1 1 nπ f(x)dx+ f(t)cos (t−x) dt (1) 2ℓ ℓ ℓ−ℓ −ℓn=1 Nousallonsétudiercettedernièreintégrale quandℓ→∞. π 2π nπ π Posonsα = , α = ,...,α = etΔα =α −α = .1 2 n n n n−1ℓ ℓ ℓ ℓ Enreportantdansl’expression (1)ci-dessus, onobtient: Z Z∞+ℓ ℓX 1 1   f(x)= f(t)dt+  f(t)cosα (t−x)dtΔαn n 2ℓ π−ℓ −ℓn=1Z +ℓ ( )Posonsϕ(α )= f(t)cos α (t−x) dt.Ilrésultedecelan n −ℓ Z !n−1 n−1 ℓX X ϕ(α )Δα = f(t)cos(α (t−x)dt)Δαk k k k −ℓk=1 k=1 Parconséquent Zn−1 ∞X lim ϕ(α )Δα = ϕ(α)dα(l’intégraledeRiemann.)k k n→∞ π/ℓk=1   !Zn−1 n−1 ℓX X 1 1   Donc lim ϕ(α )Δα = lim f(t)cos(α (t−x))dt) Δα .k k  k k n→∞ n→∞π π −ℓk=1 k=1 !Z Z Z∞ ∞ ℓ1 1 Ainsi ϕ(α)dα= f(t)cos(α(t−x))dt dα. π ππ/ℓ π/ℓ −ℓ Comme Z Z∞ ∞1 1 lim ϕ(α)dα= ϕ(α)dα ℓ→∞π ππ/ℓ 0" # " #Z Z Z Z∞ ℓ ∞ ∞1 1 lim f(t)cos(α(t−x))dt dα= f(t)cos(α(t−x))dt dα. ℓ→∞π ππ/ℓ −ℓ 0 −∞ Onafinalementlarelation pour f continue :" #Z Z∞ ∞1 f(x)= f(t)cos(α(t−x))dt dα π 0 −∞ er M A N -E 624.2L’intégraledeFourier CettedernièreexpressionestappeléeintégraledeFourier.Cetteégalitéalieuentoutpoint xoù f estcontinue. Si f possèdedesdiscontinuités, onalaformulevalablepourtout x:" #Z Z∞ ∞ f(x+0)+ f(x−0)1 f(t)cos(α(t−x))dt dα= π 20 −∞Z ∞ Posons maintenantφ(α)= f(t)cos(α(t− x))dt.Il estclairqueφ(−α)=φ(α)etdoncφest −∞Z Z∞ ∞1 paireetparsuite φ(α)dα= φ(α)dα. 20 −∞ Onafinalement: L’intégraledeFourier." #Z Z∞ ∞1 f(x)= f(t)cos(α(t−x)dt dα 2π −∞ −∞ 4.2.1 formecomplexedel’intégraledeFOURIERZ ∞ Posonsψ(α)= f(t)sin(α(t−x))dt. −∞ " #Z Z Za a ∞ ψestunefonctionimpaireetdoncpourtouta> 0, ψ(α)dα= 0= f(t)sin(α(t−x))dt dα. −a −a −∞ Donc " #Z Z Za ∞ ∞ lim ψ(α)dα= f(t)sin(α(t−x))dt dα= 0. a→∞ −a −∞ −∞ On dit dans ce cas que l’intégrale converge en valeur principale de Cauchy vers 0. Ceci" #Z Z∞ ∞−i impliquequ’onaaussi f(t)sin(α(t−x))dt dα= 0etdonc; 2π −∞ −∞ Forme complexedel’intégraledeFourier.Z "Z #∞ ∞1 −iα(t−x)f(x)= f(t)e dt dα. 2π −∞ −∞ Posons: Z ∞1 −iαtbF(f)(α)= f(α)= f(t)e dt;√ 2π −∞ alors Z Z "Z #∞ ∞ ∞ √2πf(x)1iαx −iα(t−x)bf(α)e dα= f(t)e dt dα= = 2πf(x).√ √ −∞ 2π −∞ −∞ 2π Onpeutécrire généralementsi f possèdedesdiscontinuités :Z ∞ f(x+0)+ f(x−0)1 iαxbf(α)e dα=√ 22π −∞ Maintenantonpeutdéfinirlanotion detransformée deFourier. er63 M A N -ELATRANSFORMÉEDEFOURIER 4.3 TransforméedeFourier Définition4.3.1 Soit f :R7!Runefonction localementintégrableetabsolumentintégrablesurR.bOn définit la transformée deFourier de f, la fonction notée f ouF(f) deR 7! C; et sa transformée inversedeC7!Rpar: Transformée deFourier. Z ∞1 −iαxbF(f)(α)= f(α)= √ f(x)e dx 2π −∞ Transformée inversedeFourier.Z ∞ f(x+0)+ f(x−0)1 iαxbf(x)= f(α)e dα=√ 22π −∞ Exemple4.3.1 −|x|Soit f(x)= e . " #Z Z Z∞ 0 ∞1 1−|x| −iαx x −iαx −x −iαxbf(α)= e e dx= e e dx+ e e dx√ √ 2π −∞ 2π −∞ 0" #Z Z  0 ∞1 1 1 1 1 2(1−iα)x −(1+iα)x = e dx+ e dx = + = .√ √ √ 21+iα 1−iα 1+α2π −∞ 0 2π 2π Puisque f estcontinue surR,Latransformaée inversedonne:Z Z∞ ∞1 1 1iαx iαx−|x| bf(x)= e = f(α)e dα= e dα√ 2π 1+α2π −∞ −∞Z Z Z∞ ∞ ∞1 cosαx i sinαx 2 cosαx = dα+ dα= dα+i.0; 2 2 2π 1+α π 1+α π 1+α−∞ −∞ 0 d’où: Z ∞ cosαx π −|x|edα= . 21+α 20Z ∞ cosx π Enparticulierona; dx=
21+x 2e0 4.4 Propriétés Lemme4.4.1(Riemann) On pose IK=R ouC. Soit f : [a,b] 7! IK une fonction intégrable sur [a,b]. Alorslesfonctions f(t)cosαtet f(t)sinαtsontintégrablesdans[a,b]pourtoutα dansRetona: Z Zb b lim f(t)cosαt dt= lim f(t)sinαt dt= 0 α→±∞ α→±∞a a er M A N -E 644.4Propriétés Preuve. f intégrablesur[a,b]impliquequepourtoutε> 0, ilexisteunesubdivision de[a,b] a= x < x < x <...< x = b0 1 2 n etunefonction enescalier, ε g : [a,b]7!Rtellesque|f(t)− g(t)|< . 2(b−a) Z Z Z b  b b