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Description

I. Outils probabilistesCette approche des probas est due `a Kolmogorov(1903-1987).1. Espaces probabilis´es, variables al´eatoiresD´efinition.Soit Ω un ensemble et F une tribu (on dit aussiune σ-alg`ebre) sur Ω. Si P est une mesure sur Ftelle que P(Ω) = 1, on dit que P est une proba-bilit´e (ou mesure de probabilit´e). On dit aussi que(Ω,F,P) est unespace probabilis´e. (ou espace deprobabilit´e)Un ensemble A∈F est appel´e un ´ev´enement. Un´ev´enement A a lieu presque sˆurement (p.s.) siP(A)=1. On dit aussi P-presque surˆ ement.Dans toute la suite du cours, (Ω,F,P) d´esigne unespace probabilis´e.1Notation.Si A est un ensemble fini, #A est le cardinal de A,c’est-`a-dire le nombre d’´el´ements dans A.On note aussi CardA.Notation.Soit Ω un espace et x∈Ω. La masse de Dirac enx, not´ee δ , est la mesure d´efinie par :x(1 si x∈A∀A⊂Ω, δ (A)=x0 si x6∈AExemple.Si Ω est fini, la probabilit´e uniforme sur Ω est#Adonn´ee par P(A) = pour tout A ⊂ Ω, ce qui#ΩX1peut s’´ecrire P = δ .ω#Ωω∈Ω2D´efinition.Une variable al´eatoire r´eelle est une fonctionX:Ω →R mesurable pour F et B(R), o`u B(R) estla tribu des bor´eliens sur R.Si X est une fonction mesurable `a valeurs dans Cdou R , on parle de variable al´eatoire complexe ouvectorielle.Notation.P(X ∈B)=P({ω∈Ω|X(ω)∈B}).De mˆeme : P(X ≤1), P(X =0)...2. Loi d’une variable al´eatoireD´efinition.Soit X une v.a. r´eelle. La loi de X est la mesureimage de P par X. C’est la mesure de probabilit´eP sur R ...

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Extrait

I. Outils probabilistes

Cetteapprochedesprobasestduea`Kolmogorov (1903-1987).

1.Espacesprobabilis´es,variablesal´eatoires

e D´finition. Soit Ω un ensemble etFune tribu (on dit aussi uneσla-be`gSi)sreΩ.urPest une mesure surF telle queP on dit que(Ω) = 1,Pest uneproba- bilit´etidnssuaeuqiroepbibat´li.Oe)eduresum(o (Ω,F, P) est unbobalisie´espacepr.(ou espace de probabilite´)

Un ensembleA∈ Fppelesta´eunnetneme´ev´. Un evenementAa lieutensˆueemurpqser(p.s.) si ´ ´ P(A i) = 1. On dit aP-pr ˆrement. uss esque su

Dans toute la suite du cours, (Ω,F, Pennusegi)´d espace probabilise. ´

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Notation. SiAest un ensemble fini, #Aest lecardinalde A, c’est-`a-direlenombred’e´l´ementsdansA. On note aussiCardA.

Notation. Soit Ω un espace etx∈Ω. Lamasse de Dirac en xee,not´δ x e,tsalemuser:rapeinfie´d six∈A ∀A⊂Ω, δ x (A) = ( si0 1 x6∈A

Exemple . SiΩestfini,laprobabilite´uniformesurΩest donne´eparP(A) = # # A Ω pour toutA⊂Ω, ce qui euts’´ecrireP Ω = 1 X δ ω . p # ω∈Ω

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De´finition. Uneeerelltae´erioabriallevaest une fonction ´ X: Ω→ R mesurable pourFetB( R `u,o)B( R ) est la tribu des boreliens sur R . ´ SiXselbaava`ruelnadsseruoimnnotcnufeest C ou R d ,oarnpdelerecomplexeouavirbaellae´taio vectorielle.

Notation. P(X∈B) =P({ω∈Ω|X(ω)∈B}). Demeˆme:P(X≤1),P(X= 0)...

2.Loid’unevariableale´atoire

D´efinition. SoitXevunaL.ellee´r.a.loi deXest la mesure image dePparXprdeabobmelaresutilie´C.e’ts P X sur R raifinep´ed ∀B∈ B( R ), P X (B) d = ef P(X∈B). (Il existe d’autres notations :L(X),P X ...)

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Ω.´ealdesrionsisat:esneelbmX: ce qu’on observe. Exemple .Roue de la fortune Rouedivise´een5zones´egales.Onfaittournerlarouepour obtenir une valeur. On peut prendreΩ ={1,10,20,50,10 1 0}, ,e P tX la (ω p ) ro = ba ω e´t . ilib uniforme surΩ(P(1) =∙ ∙ ∙=P(100) = 5 ) (notation Dirac /#) On aP X = 1 5 (δ 1 +δ 10 +δ 20 +δ 50 +δ 100 ) = #Ω 1 P ω∈Ω δ ω . Autrepossibilite´:onprendΩ = [0,2π[(ωuattne´lgae’lna momentdel’arreˆt),Pabobitilprlaemusre´nufiroΩ:P= 2 λ π (o`uλ= mesure de Lebesgue), et  1si0≤ω < 2π X(ω) =   1 . 0si 2 5 π ≤ω < 4 5 5 π   100si 8 5 π ≤ω <2π OntrouvelamˆemeloipourX. On peut aussi prendreΩ =tedelbmeapselsuonseram`etres physques de la roue au moment du lancer,P=... Ωrioesavntedontensecarolnee´ne´ger,”utseb“entıˆoione queΩsahae“rlsuuerqmaeR.etsixe.mrnisietdrd”e´et Quand on parle de plusieurs v.a., on sous-entend toujours qu’ellessontsurlemeˆmeespaceΩ.

Remarque surF(=P(Ω)snelade´onacdsrambe,blrerantme pre´cis´eenpratique).

Exemple . Onlance2foisunepie`cee´quilibre´e. Ω ={p, f} 2 : ensemble des tirages possibles.

Probabilite´uniforme:siA⊂Ω,P(A) = # # A Ω .

O d´finit la v.a.X: Ω→ R c´etaommenombrnetle n e de “pile” obtenu au cours des 2 lancers.

Xprend ses valeurs dans les entiers entre 0 et 2. P(X= 0) =P((p, p)) = 1 4 . P(X= 1) =P((p, f),(f,p)) = 2 1 . P(X= 2) =P((ff,)) = 1 4 .

Ceci nous donne la loi deX:P X = 4 1 δ 0 + 2 1 δ 1 + 4 1 δ 2 .

SoitYle nombre de “face”. ˆ P X =P Y mais ce ne sont pas les memes v.a.

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D´efinition. SoitPpenubarolibiest´(Ωur,F). On dit quePest discr`etectirce´’bmocemmonlsoaiinreai´einllessie finieoude´nombrabledemassesdeDirac: P= X p i δ x i . i∈I P(x i ) =p i etP donc(Ω) = 1p i ≥0 et X p i = 1. i∈I

Onditqu’unev.a.estdiscr`etesisaloiestdiscre`te.

unefonctionemsruablea`avelusrpo-

De´finition. Soitf: R → R sitives telle que Z R f(x)dx= 1. Pour toutB∈ B( R ) on poseP(B) = Z B f(x)dx. AlorsPest une mesure deprobabilit´esur R . On dit quePest continue (ou absolumentcontinueparrapport`alamesurede Lebesgue). On dit quePtie´densstdeef(oufest ladensite´deP). On notedP=f(x)dx.

Remarque.∀x, P({x}) = 0. Donc, par exemple, P(X≤a) =P(X < a).

Une v.a. est continue si sa loi est continue.

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3. Principales lois

3.1.Loisdiscre`tes

a) Loi de Bernoulli b(p) =B(1, p)

La v.a.XlluonreBediolenuetr`eamarepidsuitp, 0< p <1,not´eeb(p) ouB(1, p), siP(X= 1) =p etP(X= 0) = 1−p.

b(p) = (1−p)δ 0 +pδ 1 .

Ex : jeu de pile ou face. Lapi`eceeste´quilibreesip= 1/2. ´

b) Loi binomiale B(n, p)

La v.a.Xsuit une loi binomiale de taillen≥1 et deparam`etrep∈]0,1[ee´ton,B(n, p), si P(X=k) =C k n p k (1−p) n−k pour 0≤k≤n. n B(n, p) = X C n k p k (1−p) n−k δ k . k=0

Ex : loi du nombre de 1 obtenus si on faitnlancers successifsd’unepie`cedeloib(p). 6

c) Loi de Poisson P(λ)

Xutius`mteapareridePneloondeoissλ >0 si P(X=k) =e −λ ∙ λ k k ! pour tout entierk∈ N .

δ. P(λ) = k∈ X N e −λ ∙ λ k! k k

Ex:nombred’ampouleschange´espendantun tempsdonne´sionchangeuneampoule`achaque fois qu’elle tombe en panne.

3.2. Lois continues

a) Loi uniforme U([a, b])

Xest de loi uniforme sur [a, b] (a < b), notee ´ U([a, bsnede´tieioledts),]sasi b− 1 a 1l [a,b] (x).

Probabilit´eproportionnelle`alamesuredeLe- besgue.

b) Loi exponentielle E(λ)

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Xleeledapar`mteerielodesttienonxpeλ >0,not´ee λx E(λ) ou exp(λeet´1lsts,)dasiisne R + (x)λe − .

Ex

:

du ´ ree

de

vie

d’un

atome

radioactif.

c) Loi de Gauss, loi normale N(m, σ 2 )

Loinormaler´eduiteN(0,d:)1isnee´t √ 2 1 π exp(− x 2 2 ).

Loi normaleN(m, σ 2 ),σ 2 >0:densit´e √ 1 2πσ 2 exp
(x−m) 2 ! . − 2σ 2 SiXest une v.a. de loiN(0,1) alorsσX+ma pour loiN(m, σ 2 ). SiY=σX+m,P(Y∈B) =P  X∈ σ B−m  = R ∙ ∙ ∙et par chanegement de variabley=σx+mon trouveP Y =N(m, σ).

La loi normale est la “loi des erreurs . ”

d) Loi de Cauchy

1 Densite´: π 1+ 1 x 2 .

(particuleanime´ed’unmouvementbrownien, quandelles’´ecrasesurunedroitedonn´ee:loide Cauchy.)

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3.3.

Mode`le

Unev.a.r´eelledeloiLpeutˆetre (Ω,F, P) = ( R ,B( R ),L) etX: Ω

realis´eeenprenant ´ → R ,X(ω) =ω.