Cours de calcul différentiel

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Cours de Calcul Diff´erentiel 2Jean-Claude Sikorav, janvier-mai 2008(version du 4 mai 2008)ContenuA. Sous-vari´et´es1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions.2. Sous-vari´et´es.3. Param´etrages, cartes. Espace tangent.4. Calcul diff´erentiel sur des sous-vari´et´es.´B. Equations diff´erentielles´ ´5. Equations diff´erentielles autonomes de dimension un. Lemme de comparaison, unicit´e. Equa-tions diff´erentielles lin´eaires.6. Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz. Continuit´e et diff´erentiabilit´e en fonction des solutions ini-tiales.7. Compl´etude, orbites p´eriodiques, int´egrales premi`eres, fonctions de Liapounov.´8. Etude des points singuliers en dimension deux.Bibliographie´V.I. Arnold, Equations diff´erentielles ordinairesM. Berger et B. Gostiaux, G´eom´etrie diff´erentielle : vari´et´es, courbes, surfacesM.Chaperon,G´eom´etrie diff´erentielle et singularit´es de syst`emes dynamiques,Ast´erisque138-139, 1986, Soc Math France.M. Demazure, Catastrophes et bifurcations´J. Dieudonn´e, El´ements d’analyse, tomes 1 et 3Do Carmo, Differential geometry of curves and surfacesJ. Lafontaine, Introduction aux vari´et´es diff´erentiablesF. Laudenbach, Calcul diff´erentiel et int´egralJ. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint11. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale.Submersions, immersions.1. Th´eor`eme des fonctions implicites (TFI)Th´eor`eme des fonctions implicites. Soient E ,E ,G trois espaces de Banach, ...

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CoursdeCalculDiff´erentiel2 Jean-Claude Sikorav, janvier-mai 2008 (version du 4 mai 2008) Contenu

A.Sous-vari´ete´s 1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions. 2.Sous-vari´et´es. 3.Parame´trages,cartes.Espacetangent. 4.Calculdiff´erentielsurdessous-vari´et´es. ´ B.Equationsdiffe´rentielles ´ ´ 5.Equationsdiffe´rentiellesautonomesdedimensionun.Lemmedecomparaison,unicite´.Equa- tionsdiffe´rentielleslin´eaires. 6.The´ore`medeCauchy-Lipschitz.Continuite´etdiffe´rentiabilit´eenfonctiondessolutionsini- tiales. 7.Compl´etude,orbitesp´eriodiques,int´egralespremie`res,fonctionsdeLiapounov. ´ 8. Etude des points singuliers en dimension deux.

Bibliographie ´ V.I. Arnold,serianidrosellqEauntie´eresdifftion M. Berger et B. Gostiaux,ruoc,sebte´i,se´rfsuesace´rteiidGe´moelle:varff´erenti M. Chaperon,seyd`tmeuqseanimaritngulesys´esditnere´ffisteelleom´eGdiietr´est,Ari´euesq8-13 139, 1986, Soc Math France. M. Demazure,Catastrophes et bifurcations ´ J.Dieudonn´e,me´eElylesa’antnds, tomes 1 et 3 Do Carmo,Differential geometry of curves and surfaces J. Lafontaine,cetsdiioffn´aeurxvIanrtir´oedtu´sneitbael F. Laudenbach,ralullcff´diCanitege´tnereleit J. Milnor,Topology from the differentiable viewpoint

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1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions.

1.Th´eore`medesfonctionsimplicites(TFI) The´ore`medesfonctionsimplicites.SoientE 1 , E 2 , Gtrois espaces de Banach,U⊂E 1 × E 2 un ouvert,(x 0 , y 0 )un point deUetF:U→Gune application de classeC 1 . Onsupposequelad´erive´epartielleD 2 F(x 0 , y 0 ) = F∂ ∂y (x 0 , y 0 )est un isomorphisme topologique (endimensionfinie,ilsuffitpourcelaquecesoitunisomorphismealg´ebrique). (i) Il existe un voisinage ouvert produitU 1 ×U 2 ⊂Ude(x, y 0 )et une application continue f:U 1 →U 2 telle quef(x 0 ) =y 0 et (∗){(x, y)∈U 1 ×U 2 |F(x, y) =F(x, y 0 )}= gr(f) ={(x, f(x))|x∈U 1 }. (ii) De plus,fest de classeC 1 teidaselleestff´erenti Df(x) =−D 2 F(x, f(x)) −1 ◦D 1 F(x, f(x)). (iii) SiFest de classeC k aveck∈[2,∞],fest de classeC k . De´monstration.dr’le´oncne´udRai)elppsdonbo’a( TheoremedepointfixedeBanach,versionparam´etr´ee.SoientXun espace topologi-´ ` que,Ye,tlptem´etpaceecomriqusenug:X×Y→Yune application continue. On suppose que(∀x∈X)g x =g(x, .) :Y→Yest une contraction uniforme, soitLip(g x )≤ a <1, avecaenadtepdndne´ix. Alors(∀x∈X)g x a un unique point fixef(x), et l’application f:X→Yest continue. Pourappliquerceth´eor`emeici,on´ecritl’´equation(F(x, y) =F(x 0 , y 0 )) sous la forme (y= g(x, y) =g x (yu`))o, g(x, y) :=y−D 2 F(x 0 , y 0 ) −1 (F(x, y)−F(x, y 0 )). L’applicationgest de classeC 1 , on ag(x 0 , y 0 ) = 0 et D 2 g(x 0 , y 0 ) = Id−D 2 F(x 0 , y 0 ) −1 D 2 F(x 0 , y 0 ) = 0. C’estpouravoirlaseconde´egalit´equ’onamultipli´eparD 2 F(x 0 , y 0 ) −1 nitnocraede´tiu.PD 2 g, il exister 0 ets >0 tels queB 0 (x 0 , r 0 )×B 0 (y 0 , s) est contenu dansUet||D 1 g|| ≤r 2 1 usB 0 (x 0 , r)× B 0 (y 0 , s). On peut aussi supposer que||D 1 F|| sur ´eest bB 0 (x 0 , r 0 ), disons||D 1 F|| ≤M 1 . orn Pourx∈B 0 (x 0 , r 0 ), on a||Dg x ||=||D 1 g|| ≤on,d 1 2 (ipcLg x )≤esact´ed-’lrap 2 1 ilage´ni croissements finis. Soitr≤r 0 , et soitx∈B(x 0 , r). Siy∈B 0 (y 0 , s), on a ||g x (y)−y 0 || ≤ ||g x (y)−g x (y 0 )||+||g x (y 0 )−g x (y 0 )|| ≤ 2 1 ||y−y 0 ||+||F(x, y 0 )−F(x, y 0 )||. < s +M 1 r. 2

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Sir= min(r 0 , 2 s M 1 ), ceci est≤s,`o’dug x (B 0 (y 0 , s))⊂B(y 0 , s). Commetoutebouleferm´eed’unBanachestcompl`ete,leth´eore`medepointfixes’applique`a g:B(x 0 , r)×B 0 (y 0 , s) :g x a un unique point fixef(x), etfest continue deB(x 0 , r) dansB 0 (y 0 , s). De plus,fdansse`tuesrvalaB(y 0 , sefiirtv´e)ef(x 0 ) =y 0 cinie.t´urap Si l’on poseU 1 =B(x 0 , r) etU 2 =B(y 0 , s), (∗`hcaiuqec,noitcutrnscoarepfi´ri´e)estvaevel preuve de (i). (ii) L’applicationx7→D 2 F(x, f(x))∈L(E 2 , G) est continue, et sa valeur enx 0 eitna`paaptr l’ouvert Isom(E 2 , G)unimreitte`adi.Donc,quU 1 ,D 2 F(x, f(xtionumnˆ))tces.eislbvnreneit Soientx∈U 1 etfix´eh∈Etendant vers 0. PuisqueFest de classeC 1 etfest continue, on a 0 =F(x+h, f(x+h))−F(x, f(x)) =D 1 F(x, f(x)).h+D 2 F(x, f(x)).(f(x+h)−f(x)) +o(||h||+||f(x+h)−f(x))||). En appliquantD 2 F(x, f(x)) −1 o,dnendu´eit f(x+h)−f(x) +o(||f(x+h)−f(x))||) =−[D 2 F(x, f(x)) −1 ◦D 1 F(x, f(x))].h+o(||h||). Le membre de gauche a une norme≥ 1 2 ||f(x+h)−f(x))||pourhassez petit, celui de droite est O(||h||). Doncf(x+h)−f(x)) =O(||h||) et le termeo(||f(x+h)−f(x))||) est uno(||h||,)’d`ou f(x+h)−f(x) =−[D 2 F(x, f(x)) −1 ◦D 1 F(x, f(x))].h+o(||h||). Ceci prouve quefitbaelneid´ffrenestexet queDf(x)alavae´uqoC.eruelidniemmD 1 F,D 2 Fet Ftinutconeciies,cuqlepmilituncanode´eitonsDf, doncfest de classeC 1 . (iii)Cecir´esultede(ii)etdesthe´ore`messurladiff´erentiabilite´d’unefonctioncomposee. ´ 2.The´ore`med’inversionlocale De´finition.Soitk∈N ∗ ∪ {∞}. SoientU⊂EetV⊂Gdeux ouverts d’espaces vectoriels norm´es.Uneapplicationf:U→Vest unC k ffid-hpromoe´ismesifest bijective, de classeC k ainsi quef −1 . Th´eor`d’iversionlocale.SoientEetGdeux espaces de Banach,f:U⊂E→G eme n une application de classeC k ,k∈N ∗ ∪ {∞}, etxun point deU. On suppose queDf(x)est un isomorphisme. Alors il existeU 1 ⊂Uouvert contenantxtel quefinduise unC k omprihms-id´ffoeeedU 1 sur f(U 1 ). De´monstration.dnOit´efinF:G×U→E,F(y, x) =f(x)−y.Par construction, (F(y, x) = 0)e´quivauta`(f(x) =y). L’applicationFest de classeC k et l’on aF(f(x), x) = 0. De plusD 2 F(f(x), x) =Df(x) est un isomorphisme, donc par le TFI il existe un voisinage ouvertV 1 ×V 2 ⊂G×Ude (f(x), x) et une applicationg:V 1 →V 2 de classeC k tels que {(y, x)∈V 1 ×V 2 |f(x) =y}={(y, g(y))|y∈V 1 }. AlorsU 1 =f −1 (V 1 ) est un voisinage ouvert dexetfinduit une bijection deU 1 surV 1 , avec f −1 =g|U 1 de classeC k , doncf:U 1 →V 1 est unC k -diff´eomorphemsi. 3

` Convention.Apartirdemaintenant,touslesespacesvectorielssontsuppos´esde dimensionfinie.Donc(lecorpsdebase´etantleplussouventR, parfoisC), ils seront e´quip´esd’unetopologiecanoniqueassoci´ee`al’uniqueclassed’e´quivalencedenormes.

3.Rangd’uneapplicationdiffe´rentiable.Submersions,immersions. Rappeld’alg`ebrelin´eaire.SoientEetGespaces vectoriels de dimensions finiesnetmsur un corpsk(commutatif) quelconque. SoitA:E→Gn´lionticalippeaetonno,eriaenur= rg(A) sonrang.Alorseste´quivalentea`A 0 :k n →k m rpae´deinfi A 0 (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n ) = (x 1 ,∙ ∙ ∙, x r ,0,∙ ∙ ∙,0). Ceci veut dire qu’il existe des isomorphismesϕ:E→k n etψ:G→k m tels que le diagramme suivant commute : A E−−−−→G ϕ  ≈ ≈  y ψ y k n −−−−→k m A 0 Sir=m,A 0 est la projection dek n surk m × {0}. Sir=n,A 0 est l’injectionk n →k n × {0} →k m . Proposition.On supposek=RouC. La fonction hh rang ii , deL(E, G)dansN⊂R, est semi-continueinfe´rieurement.Autrementdit,l’ensembledesu∈L(E, G)de rang≥kest ouvert (noter que (rg(u)≥k⇔rg(u)> k−1)). D´emonstration.Via des choix de bases, on peut identifier L(E, Gatricesspacedem`)e’la M(m, n). Alors rg(u)≥rsi et seulement si il existe un mineur d’ordrerdeuqui est6= 0. Notant M i (u),i∈I, les mineurs d’ordrerdeu, on a donc {u|rg(u)≥r}= [ {x|M i (u)6= 0}, i∈I qui est ouvert car lesM i (u) sont continus en les coefficients deud-a`-tse’c,nusenirecontiupour la topologie de M(m, n). Remarque.nioaticare´disnlppa’ltni-deuvecencossussne`tnirpaeruqleperdisuluepnnertO Λ r : Λ r E→Λ r G(grareext´erieure.Onidniuetnela`gbeu)≥rsi et seulement si Λ r u6= 0, condition clairement ouverte. De´finitions.SoientEetGeinfinoistioste,el´esrelenimedsdseseapecvsceotirdf:U⊂ E→Gune application de classeC 1 . Soitxun point deU. (i) Le rang defenx,ntoe´gr x (f), est le rang deDF(x). (ii) L’applicationfest unesubmersionenxsifest de classeC 1 au voisinage dexetDf(x) est surjective. (iii) C’est uneimmersionenxsifest de classeC 1 au voisinage dexetDf(x) est injective. (iv) Sifest une submersion en tout point deA⊂Uon dit que c’est une submersion sur, A. SiA=U, on dit simplement quefoi.nemsrsebutsnuneimouruemepDemˆ.noisreme Remarque.On a inclus la condition de classeC 1 au voisinage pour rendre les notions de submersion et d’immersion utilisables en pratique. 4