Cours de calcul différentiel
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Cours de Calcul Diff´erentiel 2Jean-Claude Sikorav, janvier-mai 2008(version du 4 mai 2008)ContenuA. Sous-vari´et´es1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions.2. Sous-vari´et´es.3. Param´etrages, cartes. Espace tangent.4. Calcul diff´erentiel sur des sous-vari´et´es.´B. Equations diff´erentielles´ ´5. Equations diff´erentielles autonomes de dimension un. Lemme de comparaison, unicit´e. Equa-tions diff´erentielles lin´eaires.6. Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz. Continuit´e et diff´erentiabilit´e en fonction des solutions ini-tiales.7. Compl´etude, orbites p´eriodiques, int´egrales premi`eres, fonctions de Liapounov.´8. Etude des points singuliers en dimension deux.Bibliographie´V.I. Arnold, Equations diff´erentielles ordinairesM. Berger et B. Gostiaux, G´eom´etrie diff´erentielle : vari´et´es, courbes, surfacesM.Chaperon,G´eom´etrie diff´erentielle et singularit´es de syst`emes dynamiques,Ast´erisque138-139, 1986, Soc Math France.M. Demazure, Catastrophes et bifurcations´J. Dieudonn´e, El´ements d’analyse, tomes 1 et 3Do Carmo, Differential geometry of curves and surfacesJ. Lafontaine, Introduction aux vari´et´es diff´erentiablesF. Laudenbach, Calcul diff´erentiel et int´egralJ. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint11. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale.Submersions, immersions.1. Th´eor`eme des fonctions implicites (TFI)Th´eor`eme des fonctions implicites. Soient E ,E ,G trois espaces de Banach, ...

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CoursdeCalculDi´erentiel2 Jean-Claude Sikorav, janvier-mai 2008 (version du 4 mai 2008) Contenu
A.Sous-vari´ete´s 1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions. 2.Sous-vari´et´es. 3.Parame´trages,cartes.Espacetangent. 4.Calculdi´erentielsurdessous-vari´et´es. ´ B.Equationsdie´rentielles ´ ´ 5.Equationsdie´rentiellesautonomesdedimensionun.Lemmedecomparaison,unicite´.Equa-tionsdie´rentielleslin´eaires. 6.The´ore`medeCauchy-Lipschitz.Continuite´etdie´rentiabilit´eenfonctiondessolutionsini-tiales. 7.Compl´etude,orbitesp´eriodiques,int´egralespremie`res,fonctionsdeLiapounov. ´ 8. Etude des points singuliers en dimension deux.
Bibliographie ´ V.I. Arnold,serianidrosellqEauntie´eresdition M. Berger et B. Gostiaux,ruoc,sebte´i,se´rfsuesace´rteiidGe´moelle:var´erenti M. Chaperon,seyd`tmeuqseanimaritngulesys´esditnere´isteelleom´eGdiietr´est,Ari´euesq8-13 139, 1986, Soc Math France. M. Demazure,Catastrophes et bifurcations ´ J.Dieudonn´e,me´eElylesaantnds, tomes 1 et 3 Do Carmo,Differential geometry of curves and surfaces J. Lafontaine,cetsdiion´aeurxvIanrtir´oedtu´sneitbael F. Laudenbach,ralullc´diCanitege´tnereleit J. Milnor,Topology from the differentiable viewpoint
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1. Rappels : Fonctions implicites, inversion locale. Submersions, immersions.
1.Th´eore`medesfonctionsimplicites(TFI) The´ore`medesfonctionsimplicites.SoientE1, E2, Gtrois espaces de Banach,UE1× E2un ouvert,(x0, y0)un point deUetF:UGune application de classeC1. Onsupposequelad´erive´epartielleD2F(x0, y0) =Fy(x0, y0)est un isomorphisme topologique (endimensionnie,ilsutpourcelaquecesoitunisomorphismealg´ebrique). (i) Il existe un voisinage ouvert produitU1×U2Ude(x, y0)et une application continue f:U1U2telle quef(x0) =y0et (){(x, y)U1×U2|F(x, y) =F(x, y0)}= gr(f) ={(x, f(x))|xU1}. (ii) De plus,fest de classeC1teidaselleest´erenti Df(x) =D2F(x, f(x))1D1F(x, f(x)). (iii) SiFest de classeCkaveck[2,],fest de classeCk. De´monstration.drle´oncne´udRai)elppsdonboa( TheoremedepointxedeBanach,versionparam´etr´ee.SoientXun espace topologi-´ ` que,Ye,tlptem´etpaceecomriqusenug:X×YYune application continue. On suppose que(xX)gx=g(x, .) :YYest une contraction uniforme, soitLip(gx)a <1, avecaenadtepdndne´ix. Alors(xX)gxa un unique point fixef(x), et l’application f:XYest continue. Pourappliquerceth´eor`emeici,on´ecritl´equation(F(x, y) =F(x0, y0)) sous la forme (y= g(x, y) =gx(yu`))o, g(x, y) :=yD2F(x0, y0)1(F(x, y)F(x, y0)). L’applicationgest de classeC1, on ag(x0, y0) = 0 et D2g(x0, y0) = IdD2F(x0, y0)1D2F(x0, y0) = 0. Cestpouravoirlaseconde´egalit´equonamultipli´eparD2F(x0, y0)1nitnocraede´tiu.PD2g, il exister0ets >0 tels queB0(x0, r0)×B0(y0, s) est contenu dansUet||D1g|| ≤r21usB0(x0, r)× B0(y0, s). On peut aussi supposer que||D1F|| sur ´eest bB0(x0, r0), disons||D1F|| ≤M1. orn PourxB0(x0, r0), on a||Dgx||=||D1g|| ≤on,d12(ipcLgx)esact´ed-lrap21ilage´ni croissements finis. Soitrr0, et soitxB(x0, r). SiyB0(y0, s), on a ||gx(y)y0|| ≤ ||gx(y)gx(y0)||+||gx(y0)gx(y0)|| 21||yy0||+||F(x, y0)F(x, y0)||. < s+M1r. 2
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Sir= min(r0,2sM1), ceci ests,`odugx(B0(y0, s))B(y0, s). Commetoutebouleferm´eedunBanachestcompl`ete,leth´eore`medepointxesapplique`a g:B(x0, r)×B0(y0, s) :gxa un unique point fixef(x), etfest continue deB(x0, r) dansB0(y0, s). De plus,fdansse`tuesrvalaB(y0, seirtv´e)ef(x0) =y0cinie.t´urap Si l’on poseU1=B(x0, r) etU2=B(y0, s), (`hcaiuqec,noitcutrnscoarep´ri´e)estvaevel preuve de (i). (ii) L’applicationx7→D2F(x, f(x))L(E2, G) est continue, et sa valeur enx0eitna`paaptr l’ouvert Isom(E2, G)unimreitte`adi.Donc,quU1,D2F(x, f(xtionumnˆ))tces.eislbvnreneit SoientxU1etx´ehEtendant vers 0. PuisqueFest de classeC1etfest continue, on a 0 =F(x+h, f(x+h))F(x, f(x)) =D1F(x, f(x)).h+D2F(x, f(x)).(f(x+h)f(x)) +o(||h||+||f(x+h)f(x))||). En appliquantD2F(x, f(x))1o,dnendu´eit f(x+h)f(x) +o(||f(x+h)f(x))||) =[D2F(x, f(x))1D1F(x, f(x))].h+o(||h||). Le membre de gauche a une norme12||f(x+h)f(x))||pourhassez petit, celui de droite est O(||h||). Doncf(x+h)f(x)) =O(||h||) et le termeo(||f(x+h)f(x))||) est uno(||h||,)d`ou f(x+h)f(x) =[D2F(x, f(x))1D1F(x, f(x))].h+o(||h||). Ceci prouve quefitbaelneid´renestexet queDf(x)alavae´uqoC.eruelidniemmD1F,D2Fet Ftinutconeciies,cuqlepmilituncanode´eitonsDf, doncfest de classeC1. (iii)Cecir´esultede(ii)etdesthe´ore`messurladi´erentiabilite´dunefonctioncomposee. ´ 2.The´ore`medinversionlocale De´nition.SoitkN∪ {∞}. SoientUEetVGdeux ouverts d’espaces vectoriels norm´es.Uneapplicationf:UVest unCkid-hpromoe´ismesifest bijective, de classeCk ainsi quef1. Th´eor`diversionlocale.SoientEetGdeux espaces de Banach,f:UEG eme n une application de classeCk,kN∪ {∞}, etxun point deU. On suppose queDf(x)est un isomorphisme. Alors il existeU1Uouvert contenantxtel quefinduise unCkomprihms-id´oeeedU1sur f(U1). De´monstration.dnOit´enF:G×UE,F(y, x) =f(x)y.Par construction, (F(y, x) = 0)e´quivauta`(f(x) =y). L’applicationFest de classeCket l’on aF(f(x), x) = 0. De plusD2F(f(x), x) =Df(x) est un isomorphisme, donc par le TFI il existe un voisinage ouvertV1×V2G×Ude (f(x), x) et une applicationg:V1V2de classeCktels que {(y, x)V1×V2|f(x) =y}={(y, g(y))|yV1}. AlorsU1=f1(V1) est un voisinage ouvert dexetfinduit une bijection deU1surV1, avec f1=g|U1de classeCk, doncf:U1V1est unCk-di´eomorphemsi. 3
` Convention.Apartirdemaintenant,touslesespacesvectorielssontsuppos´esde dimensionnie.Donc(lecorpsdebase´etantleplussouventR, parfoisC), ils seront e´quip´esdunetopologiecanoniqueassoci´ee`aluniqueclassede´quivalencedenormes.
3.Rangduneapplicationdie´rentiable.Submersions,immersions. Rappeldalg`ebrelin´eaire.SoientEetGespaces vectoriels de dimensions finiesnetmsur un corpsk(commutatif) quelconque. SoitA:EGn´lionticalippeaetonno,eriaenur= rg(A) sonrang.Alorseste´quivalentea`A0:knkmrpae´deinA0(x1,∙ ∙ ∙, xn) = (x1,∙ ∙ ∙, xr,0,∙ ∙ ∙,0). Ceci veut dire qu’il existe des isomorphismesϕ:Eknetψ:Gkmtels que le diagramme suivant commute :A E−−−→G ϕ≈ ≈yψ y kn−−−→km A0 Sir=m,A0est la projection deknsurkm× {0}. Sir=n,A0est l’injectionknkn× {0} →km. Proposition.On supposek=RouC. La fonctionhhrangii, deL(E, G)dansNR, est semi-continueinfe´rieurement.Autrementdit,lensembledesuL(E, G)de rangkest ouvert (noter que (rg(u)krg(u)> k1)). D´emonstration.Via des choix de bases, on peut identifier L(E, Gatricesspacedem`)ela M(m, n). Alors rg(u)rsi et seulement si il existe un mineur d’ordrerdeuqui est6= 0. Notant Mi(u),iI, les mineurs d’ordrerdeu, on a donc {u|rg(u)r}=[{x|Mi(u)6= 0}, iI qui est ouvert car lesMi(u) sont continus en les coefficients deud-a`-tsec,nusenirecontiupour la topologie de M(m, n). Remarque.nioaticare´disnlppaltni-deuvecencossussne`tnirpaeruqleperdisuluepnnertO Λr: ΛrEΛrG(grareext´erieure.Onidniuetnela`gbeu)rsi et seulement si Λru6= 0, condition clairement ouverte. De´nitions.SoientEetGeinnoistioste,el´esrelenimedsdseseapecvsceotirdf:UEGune application de classeC1. Soitxun point deU. (i) Le rang defenx,ntoe´grx(f), est le rang deDF(x). (ii) L’applicationfest unesubmersionenxsifest de classeC1au voisinage dexetDf(x) est surjective. (iii) C’est uneimmersionenxsifest de classeC1au voisinage dexetDf(x) est injective. (iv) Sifest une submersion en tout point deAUon dit que c’est une submersion sur, A. SiA=U, on dit simplement quefoi.nemsrsebutsnuneimouruemepDemˆ.noisreme Remarque.On a inclus la condition de classeC1au voisinage pour rendre les notions de submersion et d’immersion utilisables en pratique. 4
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