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Extrait

Chapitre 7
Géométrie analytique dans l’espace.
~~ ~Dans tout le chapitre, l’espace est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j;k), sauf mention du contraire.
I Outils pour la géométrie dans l’espace.
1 Points et vecteurs de l’espace.
♠ Propriété 1 Si A(x ;y ;z ) et B(x ;y ;z ) sont des points de l’espace donnés par leurs coordonnées, alors :A A A B B B
x +x y +y z +zA B A B A B• I ; ; est le milieu du segment [AB];
2 2 2  
x −xB A  −→ −→ • AB(x −x ;y −y ;z −z ) ou bien AB .B A B A B A y −y B A 
z −zB A
2 Le produit scalaire.
Remarque 1 Si A, B et C sont trois points de l’espace, alors :
X Si A, B et C ne sont pas alignés, il existe un unique plan qui contient ces trois points.
A
B
CP
X Si A, B et C sont alignés, il existe une infinité de plans qui contiennent ces trois points.
1016
6
6
6
102 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.
P
1 P
2
A
B
C
P4 P
3
−→−→ −→−→
SiP est un des plans qui contient A, B et C, alors AB.AC =AB×AC ou bien AB.AC =−AB×AC suivant
que les vecteurs sont de même sens ou non. Dans tous les cas, cette valeur ne dépend pas du planP utilisé mais
seulement des points A, B et C. En effet, dans le planP, le produit scalaire est défini par la relation :
−→−→ 1
2 2 2AB.AC = AB +AC −BC
2
On se sert de cette remarque pour définir le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace.
Définition 1 ~u et ~v sont des vecteurs de l’espace. A, B et C sont des points de l’espace tels que :
−→ −→
~u =AB ; ~v =AC
SoitP un plan qui contient A, B et C. Le produit scalaire dans l’espace des vecteurs ~u et~v est le produit scalaire de
ces vecteurs dans le planP. On le note, comme dans le plan, ~u.~v.
◦Exercice 1. Faire l’exercice n 3 page 343 (dans le plan).
◦Exercice 2. Faire l’exercice n 34 page 346 (dans l’espace).
a. Propriétés algébriques.
• Le produit scalaire est symétrique : ~u.~v =~v.~u.
• ~u.(~v +w~) =~v.~u+~v.w~. On peut faire de même avec le premier des deux vecteurs grâce à la symétrie.
• Pour tout réel k, (k~u).~v = k(~u.~v). Ce qui fait que l’on peut omettre l’un ou l’autre de ces deux couples de
parenthèses.
b. Propriétés géométriques.
−→−→
\• Pour A =B et A =C, comme dans le plan, AB.AC =AB×AC×cosBAC.
~• Pour tout vecteur ~u, 0.~u = 0.
• Ainsi deux vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Cette propriété
découle des deux précédentes. −→−→ −→−→• Pour A =B et A =C, si le point H est la projection du point C sur la droite (AB), alors AB.AC =AB.AH.
Preuve: de la dernière propriété :I. OUTILS POUR LAGÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE. 103
C
−→−→ −→ −→ −→
AB.AC = AB.(AH +HC)
−→−→ −→−→
= AB.AH +AB.HC| {z }
=0 B
−→−→
= AB.AH
H
A
◦Exercice 3. Faire l’exercice n 5 page 343.
◦Exercice 4. Faire l’exercice n 40 page 346 (dans l’espace).
◦Exercice 5. Faire l’exercice n 34 page 346 (octaèdre).
◦Faire le T.D. n 2 page 336.
3 Les distances, les normes.
√ √
2 Définition 2 La norme du vecteur ~u est le nombre ~u.~u noté aussi ~u .√
Notation: On note ~u le nombre ~u.~u.
4 Expression analytique dans une repère orthonormal.
′ ′ ′ ′ ′ ′♠ Propriété 2 Si ~u(x :y :z) et ~v(x :y :z ), alors ~u.~v =xx +yy +zz
Preuve:
′ ′ ′~ ~~ ~ ~ ~~u.~v = (xi +yj +zk).(x i+y j +z k)
′ ′ ′~~ ~~ ~~= xx i.j +yy i.j +zz i.j|{z} |{z} |{z}
=1 =1 =1
′ ′ ′= xx +yy +zz
2Remarque 2 On note ~u.~u =~u , c’est le carré scalaire.
−→♠ Propriété 3 ~u = 0 si et seulement si ~u = 0.
♠ Propriété 4 Expression analytique du produit scalaire, de la norme, de la distance dans un repère orthonormé.p
2 2 2• Si ~u(x :y :z), alors ~u = x +y +z .
• Si A(x ;y ;z ) et B(x ;y ;z ) sont des points de l’espace, alors :A A A B B B
p−→
2 2 2AB = AB = (x −x ) + (y −y ) +(z −z )B A B A B A
◦Exercice 6. Faire l’exercice n 32 page 345.
◦Reprendre l’exercice n 32, et proposer un calcul dans un repère bien choisi.
◦Exercice 7. Faire l’exercice n 35 page 346 (dans un repère).104 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.
II Équations cartésiennes de plans de l’espace.
1 Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul.
Définition 3P est un plan de l’espace. Un vecteur non nul~n orthogonal au planP est appelé vecteur normal àP.
Remarque 3 ~n est un vecteur non nul. A est un point de l’espace. Il existe un unique plan passant par le point A et
orthogonal au vecteur ~n.
n
P
A
2 Équation cartésienne d’un plan de l’espace.
Définition 4P estunplandel’espace.OnappelleéquationcartésienneduplanP touterelationliantlescoordonnées
vérifiée par les points deP et par ces points seulement.
a. Utilisation d’un vecteur normal.
Remarque 4 ~n(a;b;c) est un vecteur non nul. A(x ;y ;z ) est un point fixé de l’espace. Soit M(x;y;z) un point deA A A
l’espace.
n
M
A6
II. ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DEPLANS DEL’ESPACE. 105
−−→
M ∈P ⇐⇒ AM ⊥~n−−→⇐⇒ AM.~n = 0
⇐⇒ (x−x )a+(y−y )b+(z−z )c = 0A A A
⇐⇒ ax+by +cz−(ax +by +cz ) = 0A A A| {z }
=d
⇐⇒ ax+by +cz +d = 0
On a ainsi obtenu une équation cartésienne du planP.
Remarque 5 On constate que les coordonnées du vecteur ~n sont les coefficients des variables x, y et z.
Réciproquement : soit une équation du type ax+by +cz +d où les nombres a, b et c ne sont pas tous nuls en
même temps.
dX Il existe au moins un point qui vérifie cette équation. En effet, supposons que a = 0. Alors le point A(− ;0;0)
a
convient.
X Soit ~n(a;b;c). Ce vecteur n’est pas nul. De plus, si M(x;y;z) est un point qui vérifie l’équation, alors :
ax + by + cz + d = 0
ax + by + cz + d = 0A A A
(x−x )a + (y−y )b + (z−z )c = 0A A A
−−→
Ainsi AM ⊥~n et M est un point du plan qui est orthogonal à ~n et qui passe par A.
Remarque 6 L’équation d’un plan peut aussi être donnée sous la forme ax+by +cz =d.
Exercice 8. Faire des exercices de la page 347. Par exemple :
◦ ◦ ◦• les n 43, n 44 et n 45 (équation toutes bêtes, penser à mettre en évidence le fait qu’il n’y a pas unicité de
l’équation);
◦ ◦• les n 46 (plan perpendiculaire à une droite), n 47 (plans perpendiculaires).
b. Le cas des plans parallèles.
′ ′ ′ ′ ′X Si les plansP etP sont parallèles, d’équations respectives ax+by +cz =d et ax+by +cz =d , alors les
′ ′ ′~′vecteurs ~n(a;b;c) et n (a ;b ;c ) sont colinéaires. Leurs coordonnées sont donc proportionnelles.
′X Inversement siP a pour équation ax +by +cz = d, siP est un plan parallèle au planP, une équation de
′ ′ ′
P sera du type ax+by +cz =d , puisque ~n(a;b;c) sera un vecteur normal à la fois àP et àP .
◦Exercice 9. Faire le n 48 page 347.
◦ ◦Exercice 10. Faire le n 58 et le n 59 page 349 (les plans médiateurs).
◦Exercice 11. Faire le n 60 page 349 (les plans perpendiculaires) sauf la queqstion (e).
3 Application : distance d’un point à un plan.
♠ Propriété 5 Si H est la projection orthogonale de A surP, alors AH est la plus petite distance entre un point de
P et A6
106 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.
A
H
M
Preuve: En effet, pour tout point M ∈P (M = H), le triangle AMH est rectangle en H. On en déduit que la
longueur de l’hypoténuse AM est supérieure à la longueur du côté AH. AH est donc le minimum des distance entre
A et un point du plan.
Définition 5 A est un point de l’espace etP est un plan de l’espace. La distance entre A etP, notée d(A;P), est
le minimum des distances entre un point deP et A. La propriété précédente indique que d(A;P) =AH, où H est le
projeté orthogonal de A surP.
♠ Propriété 6 SoitP un plan de l’espace d’équation cartésienne ax +by +cz +d = 0. A(x ;y ;z ) un point deA A A
l’espace. La distance entre A etP est donné par la formule :
|ax +by +cz +d|A A A
d(A;P) = √
2 2 2a +b +c
−→
Preuve: Soit H la projection orthogonale de A surP. Soit ~n(a;b;c;). Les vecteurs HA et ~n sont donc colinéaires.
A
n
H
−→ −→ −→
X Alors AH.~n =AH× ~n ou bien AH.~n =−AH× ~n . Ainsi :|AH.~n| =AH× ~n .−→|AH.~n|
X Ainsi d(A;P) =AH = .
~n
X Il reste à calculer ces deux quantités :
⋆ Comme H est un point deP, ax +by +cz +d = 0 et d =−ax −by −cz . Ainsi :H H H H H H
−−→
AH.~n = a(x −x )+b(y −y )+c(z −z )A H A H A H
= ax +by +cz −ax −by −czA A A H H H
= ax +by +cz +dA A A6
6
6
II. ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DEPLANS DEL’ESPACE. 107
√
2 2 2⋆ ~n = a +b +c .
|ax +by +cz +d|A A A
X On obtient donc d(A;P) = √ .
2 2 2a +b +c
◦Exercice 12. Faire l’exercice n 50 page 347.
◦Exercice 13. Faire l’exercice n 66 page 350 (volume d’un tétraèdre).
4 Demi-espaces
SoitP un plan de l’espace a pour équation ax +by +cz +d = 0. Supposons que c = 0. On peut même prendre
c> 0 qui