Cours sur la mecanique des milieux continus : Elasticité

Fortunie

Description

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSELASTICITECadre généralHistoriqueRésistance des solidesRelation contrainte-déformationL’essai de tractionCourbe force-allongementTenseur des contraintesTenseur des déformationsCourbe contrainte-déformationDomaine d’élasticitéELASTICITELoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généraliséeÉnergie de déformation élastiqueSymétrie cubiqueComportement élastique linéaire isotropeBilanRésuméMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSELASTICITECadre géénnééralDéformations ContraintesHistoriqueHypothèse des petitesHypothèse des petitesRésistance des solidesRelation contrainte-déformation perturbationsperturbationsL’essai de tractionvecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t)Courbe force-allongementTenseur des contraintestenseur des déformations : tenseur des contraintes :Tenseur des déformationsCourbe contrainte-déformation te = ½ (grad(u) + grad(u) )t = s . n avec s = s ( X, t)Domaine d’élasticitéLoi de comportement élastique linéaireéquations de compatibilitééquations d’équilibre :Loi de Hooke généraliséee + e = e + e s + f = rgÉnergie de déformation élastiqueki,jl lj,ik kj,il li;jk ij,j vi iSymétrie cubiqueconditions aux limites : conditions aux limites :Comportement élastique linéaire isotropeBilanu = U sur ¶W s . n = T sur ¶WTuRésuméLoi de comportement du matériauMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSGalilée (1638) : Discorsi e Demonstrazioni matematicheELASTICITECadre ...

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Extrait

ELASTICITE

Cadre général

Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation

Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope

Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

ELASTICITE

ELASTICITE

Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Déformations Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) tenseur des déformations : ε ½ (grad(u) + grad(u) t ) = équations de compatibilité  ε ki,jl + ε lj,ik = ε kj,il + ε li;jk conditions aux limites : u = U sur ∂ Ω u

Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = σ . n avec σ = σ ( X, t) équations déquilibre : σ ij,j + f vi = ργ i conditions aux limites : σ . n = T sur ∂ Ω T

Loi de comportement du matériau

ELASTICITE

Cadre général Historique Résistanc e   d e s   s ol i de s Relation contrainte-déformation

Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité

Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope

Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Galilée (1638) : Discorsi e Demonstrazioni matematiche

traction

flexion

ELASTICITE

Cadre général Historique Résistance des solides R e l a t i o n   c ontr ai n t e-déf o rmation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Hooke (1660) :

Relation entre déformations et contraintes en élasticité

Mariotte (1680) : même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion) Young (1807) : notion de module d élasticité

ELASTICITE

Cadre général

Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation

Lessai de traction C ourbe  force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité

Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope

Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

partie utile

élasticité

ELASTICITE

rmtaoin

Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-défo Lessai de traction Courbe force-allongement Tense ur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

section S

0 0 0 σ  0 0 0 0 0 F/S

Pour passer de F à σ , il faut connaître la section courante S de la partie utile de l éprouvette

ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes T e nse ur de s déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

cinématique :

X 1 (1- β t) - β x 1 /(1- β t) x = X 2 (1- β t) v =  - β x 2 /(1- β t) X 3 (1+ α t) α x 3 /(1+ α t) lagrangien (Green-Lagrange) : - β t + ½ β 2 t 2 0 0 E = 0  - β t + ½ β 2 t 2 0 0 0 α t + ½ α 2 t 2

eulérien (Euler-Almansi) : 1 -  1  0 0 (1- β t) 2   E =  0 1- (1- 1 β t) 2 0 0 0  1 -  1 (1+ α t) 2

En pratique, intégration  ln (1- β t) 0 0 du c d h e a  d m é p f   o d r e m   a vi ti t o e n sses ε = 0  ln (1- β t) 0 0 0  ln (1+ α t)

ELASTICITE

Cadre général

Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation

Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations C ourbe c ontrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope

Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

σ

=



F/S

ε 33 = ln(1+ α t)=ln(l/l 0 )

ELASTICITE

Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation D om aine dé lasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Module d Young

σ 33 = E ε 33

0 0  0 σ = σ 33 0 0  0 0 0  1

E

Coefficient de Poisson

- ν 0 0 ε = ε 33 0 - ν 0 0 0 1

ELASTICITE

Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

σ = C: ε ε = S: σ σ 11 σ 22 σ 33 = σ 23 σ 13 σ 12

Tenseur des rigidités  Ordre 4 81 termes !! Tenseur des complaisances C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1113 C 1112 ε 11 C 2211 C 2222 C 2233 C 2223 C 2213 C 2212 ε 22 C 3311 C 3322 C 3333 C 3323 C 3313 C 3312 ε 33 C 2311 C 2322 C 2333 C 2323 C 2313 C 2312 2 ε 23 C 1311 C 1322 C 1333 C 1323 C 1313 C 1312 2 ε 13 C 1211 C 1222 C 1233 C 1223 C 1213 C 1212 2 ε 12

36 coefficients !!!!

ELASTICITE

Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée É n erg ie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Travail mécanique fourni : σ .d ε Taux de chaleur reçu : Tds

Par unité de volume en cours de transformation : de = δ w + δ q

σ i ∂ w kl C ∂ ∂ ε 2 ij ∂ w ε kl C ijkl = C klij j = ∂ ε ij  C ijkl ε ijkl = Le tenseur des rigidités a 6x7/2 = 21 composantes indépendantes !!!