Cours sur la mecanique des milieux continus : Elasticité
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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSELASTICITECadre généralHistoriqueRésistance des solidesRelation contrainte-déformationL’essai de tractionCourbe force-allongementTenseur des contraintesTenseur des déformationsCourbe contrainte-déformationDomaine d’élasticitéELASTICITELoi de comportement élastique linéaireLoi de Hooke généraliséeÉnergie de déformation élastiqueSymétrie cubiqueComportement élastique linéaire isotropeBilanRésuméMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSELASTICITECadre géénnééralDéformations ContraintesHistoriqueHypothèse des petitesHypothèse des petitesRésistance des solidesRelation contrainte-déformation perturbationsperturbationsL’essai de tractionvecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t)Courbe force-allongementTenseur des contraintestenseur des déformations : tenseur des contraintes :Tenseur des déformationsCourbe contrainte-déformation te = ½ (grad(u) + grad(u) )t = s . n avec s = s ( X, t)Domaine d’élasticitéLoi de comportement élastique linéaireéquations de compatibilitééquations d’équilibre :Loi de Hooke généraliséee + e = e + e s + f = rgÉnergie de déformation élastiqueki,jl lj,ik kj,il li;jk ij,j vi iSymétrie cubiqueconditions aux limites : conditions aux limites :Comportement élastique linéaire isotropeBilanu = U sur ¶W s . n = T sur ¶WTuRésuméLoi de comportement du matériauMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUSGalilée (1638) : Discorsi e Demonstrazioni matematicheELASTICITECadre ...
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ELASTICITE
Cadre général
Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation
Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope
Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
ELASTICITE
ELASTICITE
Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Déformations Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) tenseur des déformations : ε ½ (grad(u) + grad(u) t ) = équations de compatibilité ε ki,jl + ε lj,ik = ε kj,il + ε li;jk conditions aux limites : u = U sur ∂ Ω u
Contraintes Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = σ . n avec σ = σ ( X, t) équations déquilibre : σ ij,j + f vi = ργ i conditions aux limites : σ . n = T sur ∂ Ω T
Loi de comportement du matériau
ELASTICITE
Cadre général Historique Résistanc e d e s s ol i de s Relation contrainte-déformation
Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité
Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope
Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Galilée (1638) : Discorsi e Demonstrazioni matematiche
traction
flexion
ELASTICITE
Cadre général Historique Résistance des solides R e l a t i o n c ontr ai n t e-déf o rmation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Hooke (1660) :
Relation entre déformations et contraintes en élasticité
Mariotte (1680) : même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion) Young (1807) : notion de module d élasticité
ELASTICITE
Cadre général
Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation
Lessai de traction C ourbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité
Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope
Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
partie utile
élasticité
ELASTICITE
rmtaoin
Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-défo Lessai de traction Courbe force-allongement Tense ur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
section S
0 0 0 σ 0 0 0 0 0 F/S
Pour passer de F à σ , il faut connaître la section courante S de la partie utile de l éprouvette
ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes T e nse ur de s déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
cinématique :
X 1 (1-β t) -β x 1 /(1-β t) x = X 2 (1-β t) v = -β x 2 /(1-β t) X 3 (1+ α t) α x 3 /(1+ α t) lagrangien (Green-Lagrange) : -β t + ½ β 2 t 2 0 0 E = 0 -β t + ½ β 2 t 2 0 0 0 α t + ½ α 2 t 2
eulérien (Euler-Almansi) : 1 - 1 0 0 (1-β t) 2 E = 01-(1-1 β t) 2 0 0 0 1 - 1 (1+ α t) 2
En pratique, intégration ln (1-β t) 0 0 du cdhea dmépf odrem avititoensses ε = 0 ln (1-β t)0 0 0 ln (1+ α t)
ELASTICITE
Cadre général
Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation
Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations C ourbe c ontrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope
Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
σ
=
F/S
ε 33 = ln(1+ α t)=ln(l/l 0 )
ELASTICITE
Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation D om aine dé lasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Module d Young
σ 33 = E ε 33
0 0 0 σ = σ 33 0 0 0 0 0 1
E
Coefficient de Poisson
-ν 0 0 ε = ε 33 0 -ν 0 0 0 1
ELASTICITE
Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
σ = C: ε ε = S: σ σ 11 σ 22 σ 33 = σ 23 σ 13 σ 12
Tenseur des rigidités Ordre 4 81 termes !! Tenseur des complaisances C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1113 C 1112 ε 11 C 2211 C 2222 C 2233 C 2223 C 2213 C 2212 ε 22 C 3311 C 3322 C 3333 C 3323 C 3313 C 3312 ε 33 C 2311 C 2322 C 2333 C 2323 C 2313 C 2312 2 ε 23 C 1311 C 1322 C 1333 C 1323 C 1313 C 1312 2 ε 13 C 1211 C 1222 C 1233 C 1223 C 1213 C 1212 2 ε 12
36 coefficients !!!!
ELASTICITE
Cadre général Historique Résistance des solides Relation contrainte-déformation Lessai de traction Courbe force-allongement Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Courbe contrainte-déformation Domaine délasticité Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée É n erg ie de déformation élastique Symétrie cubique Comportement élastique linéaire isotrope Bilan Résumé
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Travail mécanique fourni : σ .d ε Taux de chaleur reçu : Tds
Par unité de volume en cours de transformation : de = δ w + δ q
σ i ∂ w kl C ∂ ∂ ε 2ij ∂ w ε kl C ijkl = C klij j = ∂ ε ij C ijkl ε ijkl = Le tenseur des rigidités a 6x7/2 = 21 composantes indépendantes !!!
