Fonctions logarithmiques cours

Berns André

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• Publié par: Inyio
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Extrait

\ \ \ \ \ \ \ \ \ LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes fiche professeur 5) Définition des fonctions logarithmes +Soit a un nombre réel strictement positif et différent de 1, c.-à-d. a ∈ \1{ } , condition 0 valable tout au long de ce chapitre. +Nous savons que les fonctions exp sont des fonctions bijectives de sur . a 0 Il s'ensuit qu'il existe donc une bijection réciproque. Définition: La bijection réciproque de la fonction exponentielle de base a, exp , est a (1) appelée fonction logarithme de base a et est notée log . a Il en découle immédiatement les résultats suivants: ++a) ∀∈a\\\1{}:log: →\ 00a x   → log ()x a +b) En particulier: dom log = et im log = ; () ( )a 0 a +c) Comme la fonction exp est continue sur , la fonction log est continue sur . a a 0 +d) ∀∈x\\: log exp ()xx= et ∀x∈ : exp log ()x =x ( ) ( )aa 0 aa expa x∀∈x :logax=et( )ax log yx= ya= c.-à-d. a log x+ ()a∀∈xa: =x0 log a 10 En particulier: logaa= log==1 et log 1 loga=0 () ()( ) ( ) a (1) Tu comprendras plus tard (§7) pourquoi il n’y a pas de touche spéciale sur ta V200 pour la fonction log . a _______________________________________________________________________________________ MathéTIC - Eysjo - Beran Fonctions logarithmiques Cours - 1 - \ \ \ \ LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ e) La fonction exp étant la bijection réciproque de la fonction log , on dispose du schéma: a a loga y + y x = a log x = y donc. ∀∈x\\,:∀yy∈ =logx⇔x=a a 0 a exp a f) C et C sont symétriques p.r. à la 1ère bissectrice: log expa a C et C C et C exp logexp log 1 12 2 2 2 +g) Comme log est une bijection de sur , on a: a 0 + ∀∈x\\,:∀yx∈log=logy⇔x=y 0 aa +h) Si a >1 alors log est strictement croissante sur . a 0 + D'où: ∀∈x\\,:∀∈logy 0 aa i) Si a >1 alors lim log x = +∞ et lim log x = −∞ . a a+x →+ ∞ x →0 Si 01< 1: Comme exp admet une AH ≡ y = 0 pour x →−∞ et a exp admet une BP de direction Oy pour x →+ ∞ ( )a ⇒ log admet une AV ≡ x = 0 et a log admet une BP de direction Ox pour x →+ ∞ ( )a k) Comme comme la fonction exp est dérivable sur et comme exp '()x ≠ 0 sur , la a a +fonction log est dérivable sur et on va démontrer plus tard que: a 0 1++ ′ ∀∈ax\\\ 1 : ∀∈ : logx=c⋅ * oùcest une constante non nulle {} ( ) ()00aa ax 6) Règles de calcul a) Propriété fondamentale des logarithmes: Propriété fondamentale II ∀>x 0,∀yx> 0 : log ⋅y= logx+ logyL Propriété admise () ()aaa 0 x b) ∀>x 0,∀> 0 : log = log − logyL () a 1y 1c) ∀>x 0: log =− logxL ()aa 2x yd) ∀>xy0,∀∈ : log x = y⋅log ( ) () 3 _______________________________________________________________________________________ MathéTIC - Eysjo - Beran Fonctions logarithmiques Cours - 3 - \ \ \ LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ Démonstration (L ): 1 +∀∈xy,:logx=logx⋅1( )0 aa y =⋅log xay xlog yay x =+log log y (propriété fondamentale II)aay x+ Conclusion: ∀∈x,yx: log =log −logyq.e.d. 0 aaay 1Cas particulier (L ): Posons x =1etyx= : ∀>x 0: log =− log x 2 aax Démonstration (L ): 3 +∀∈xt, soit = logx0 a tAlors : a = exp est la bijection réciproque de log()a a yty⇒=ax yt⋅ y propriété fondamentale des exponentielles y⇒⋅yt=log x log est la bijection réciproque de expaaa yyxloglogx y⇒=logxy⋅logxq .e.d.a a 7) La fonction logarithme naturel Définition: La bijection réciproque de la fonction exponentielle de base e est la fonction logarithme de base e, appelée encore fonction logarithme naturel ou fonction logarithme népérien, et notée ln. Autre définition possible, celle du livre: 1 Définition: La fonction logarithme dont la dérivée est [c =1 dans la propriété * ] est ( )ax nommée fonction logarithme naturel ou logarithme népérien, et notée ln. 1′ Ainsi: ∀>xx0: ln = () x _______________________________________________________________________________________ MathéTIC - Eysjo - Beran Fonctions logarithmiques Cours - 4 - \ \ \ / \ \ LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ C et C exp ln Toutes les propriétés et règles de calcul vues précédemment s’appliquent bien sûr à la fonction (2)ln. Etude de la fonction ln +1. Dom ln = 0 2. ln est continue et dérivable sur 3. ln n'est ni paire, ni impaire 4. lim ln(xA) =− ∞ ⇒V≡x=0 +x →0 lim ln(x) =+ ∞ ⇒ pas d ' AH pour x →+ ∞ x →+∞ Hln(x) 1 lim ==lim 0 ⇒BP de direction Ox pour x→+∞ xx→+∞ →+∞xx ⋅1 1+ ′5. ∀∈:l()n = >0 pas d'extremum 0 x ′11−+ ′′6. ∀∈xx:ln = = <0 pas de point d'inflexion, courbure négative ()0  2xx x −∞+ ∞ exp ′(x) + 7. tableau de variation: exp′′(x) − exp(x) − ∞ Tangentes à C 8. ln 1+ ′a. En général: Comme ∀xx∈=:ln ()0 x 1 ty≡= lnx+⋅x−x () ()x 000 x0 (2) Voir manuel page 46 pour la fonction logarithme de base 10, notée log. _______________________________________________________________________________________ MathéTIC - Eysjo - Beran Fonctions logarithmiques Cours - 5 - LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ b. Cas particuliers: i. x=≡1:ty=0+1⋅x−1 t≡y=x−1 ( )01 1 11 1 ii. xet:ly=n()e+⋅()x−e=1+⋅x−1t≡y=⋅x 0ee e 9. Représentation: C exp xye= yx= ln 1 ty≡=⋅xe e ty≡=x−11 _______________________________________________________________________________________ MathéTIC - Eysjo - Beran Fonctions logarithmiques Cours - 6 - \ LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ 8) Lien entre les fonctions logarithmes de bases différentes Soient a > 0 , a ≠ 1 et b > 0 , b ≠ 1. log xb∀>x 0: logxL= . ()a 4log ab En particulier, pour be= : logxxln ∀>x 0: log= = ()a 5logaaln Démonstration (L ): 4 +∀∈xy, soit = logx0 a yAlors : a = exp est la bijection réciproque de log()a a y log a ++ log ab b⇒=bx∀b∈\\\1,∀a∈:a=b(){}00 ya⋅logb propriété fondmentale I ⇒⋅yalog=logx log est la bijection réciproque de expbb b blog x loglaxoga log xblogxq .e.d.a log ab 1 En particulier: Pour :xb==logb a log ab Démonstration (L ): 5 log x ln x Pour b==10: log x Pour b==ex: log q.e.d. a alog a ln a 9) Lien entre les fonctions exponentielles de bases différentes Les formules suivantes sont utiles, mais leurs démonstrations ne sont pas à savoir pour l'examen. x ⋅log a+ x b∀∈ab,\\\{}1:∀x∈: a=b 0 xlog ab ( )+ x x ⋅log ab En effet: ∀∈ab,\1:∀x∈: a=b =b {}0 +⋅x xalnEn particulier, pour be= : ∀∈ax\\\1{}:∀∈ :a=e 0 _______________________________________________________________________________________ MathéTIC - Eysjo - Beran Fonctions logarithmiques Cours - 7 - \ \ \ LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ 10) Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes 'x xNous savons, par la définition de la fonction exponentielle à base e, que: ∀∈x : ee= . () 'x xEn général: ∀∈x:laa=n⋅a. () Démonstration (L ): 5 x ′xa′ ln∀∈xa: =e() () ) ′ln=() xaln=⋅ealn xln aln() x=⋅aaln q.e.d. ln xEn partant de l’égalité ∀>x 0: ex= , que tu dériveras membre par membre ln x∀>xe0 : =x en dérivant membre à membre d'après x( ) ln x ′ex⋅=ln 1() 1 ′ln x = les fonctions e et ln sont des bijections réciproques()()ln xe 1′lnxq= .e.d.() x ' 1 ∀xx>=0: ln . x _______________________________________________________________________________________ MathéTIC - Eysjo - Beran Fonctions logarithmiques Cours - 8 - \ ` ` ` ` \ LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ ′ln x+ ′∀∈xx:l()og =0 a ln a ′1 =⋅ ln xln a 1 ′=⋅ ln x () ln a 11 =⋅ par définition de la fonction ln() lnax 1 = qe..d. xa⋅ln ♦ Démontre ensuite: ' 11 ∀xx>=0: log ⋅ a lnax ________________________________________________________________ 11) Quelques limites remarquables (uniquement section B) xe Démontre: ∀∈n :lim =+∞ 0 nx →+ ∞ x nx∀∈nxime=0()0 x →− ∞ ln x ∀∈n :lim=00 nx →+ ∞ x n∀∈imlnx=0()0 +x →0 ________________________________________________________________ 12) Le nombre d’Euler Monsieur X place 1 euro à un taux d’intérêt annuel de 3%. a) Calcule le montant de son avoir après un an si les intérêts sont capitalisés (c.-à-d. calculés et ajoutés au capital) ♦ 1 fois par an ♦ 2 fois par an (c.-à-d. tous les 6 mois) ♦ chaque trimestre ♦ tous les mois ♦ tous les jours (on admet que l’année a 365 jours) ♦ toutes les heures ♦ toutes les minutes ♦ “continuellement”. nx xb) Démontre: ∀∈x :li