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Mod´elisationstochastique Fondamentales
en
Sciences
PierreBERNARD,Universit´eBlaisePascal-Clermont-Ferrand
Tabledesmatie`res
1 Introduction3 De´terminismeethasard. . . . . . .  3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lesmath´ematiquesduhasard:apparitionetd´eveloppement 5. . . . . . . .. Lecoeurducalculdesprobabilit´es:lesthe´ore`meslimites. 7. . . . . . . . .. Lemouvementbrownien:deLouisBacheliera`AlbertEinstein 8. . . . . . . . Information,statistiquesetprobabilit´es. 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Le mouvement brownien11 2.1 Historique 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2.1.1 Robert Brown. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Le mouvement brownien comme limite de marches au hasard. . . . . . 14 2.3Proprie´t´ese´l´ementairesdumouvementbrownienre´el 16. . . . . . . . .. . 2.4 Le mouvement brownien d’Ornstein-Uhlenbeck 22. . . . . . . . . . . .. . 3 Dynamique23 3.1Processusde´volutionde´terministes. . . . . . . . . . . . . . . . . 23. . . . 3.1.1Espacedesphasesa`plusieursdimensions. . . . . . . . . . .. .  25 3.2 Flots 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3.2.1 Champ de vecteurs vitesses de phase. . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.2 Semi-groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Action d’un flot sur les fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4Semi-groupesdop´erateurs. . . . . .  28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1Semi-groupesfortementcontinusdope´rateurs. . . . . . . . .. .  28 3.4.2 Semi-groupes de contractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.3Leth´eor`emedeHille-Yosida 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4Noyaudunge´ne´rateur 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3.4.5 Le cas des espaces fonctionnels. . . . . . . . . . . . . . .. . . .  31 3.4.6 Semi-groupes de Feller-Dynkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Principe du maximum 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . Perturbations. . . . . .  33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Processus de Markov 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Processus de Markov et transitions. . . . . . . . . . . . . . 34. . . 3.5.2Proprie´t´edeMarkovforte 35. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . Un exemple : le processus de Wiener 35. . . . . . . . . . . . .. . . 3.5.3 Processus de Markov et semi-groupe. . .  35. . . . . . . . . . . . . Martingaleassoci´ee. . . . . .  36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
` TABLE DES MATIERES2 4Equationsdie´rentiellesstochastiques38 4.1Lint´egralestochastiqueparrapportaumouvementbrownien. . . . . . 38 EspaceL2F(0, T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 EspaceMF2(0, T). . . . . .  38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1Lint´egralestochastiquefonctiondesabornesup´erieure. . . . . 39 4.1.2 Le cas vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 P ` leurs matrices 39. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . rocessus a va 4.1.3FormuledeItoˆ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.4Propri´et´esdelint´egralestochastique. . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2Equationsdie´rentiellesstochastiques 40. . . . . . . . . . . . . . .. . . . 4.3Repre´sentationsurlespacedestrajectoires.Solutionsfortes. 40. . . . . . 4.3.1 Solutions fortes et faibles d’une EDS 41. . . . . . . . . . . . .. . . 4.4Proprie´te´deMarkovfortedunprocessusdeFeller-Dynkin`atrajectoires continues 42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5Lege´ne´rateurinnit´esimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. . . . . . 4.5.1L´equationdeKolmogorovr´etrograde. . . . . . . . . . . .. . .  43 4.5.2Le´quationdeFokker-Planck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.5.3Probabilite´sinvariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5Repr´esentationprobabilistedesolutionsd´equationsauxde´riv´eespar-tielles. Formule de Feynman-Kac45
Chapitre 1
Introduction
Septansplustˆot,uncasdiciledem´eningites´etaitd´eclare´par hasard`laltapiˆoh delavilleou`habitaitTeresa,etlechefdeserviceou`travaillaitThomasavait´et´ppel´ e a e d’urgence en consultation. mais,par hasard, le chef de service avait une sciatique, il nepouvaitpasbouger,etilavaitThomasa`saplacedanscethˆopitaldeprovince.Ily avaitcinqhoˆtelsdanslaville,maisThomase´taitdescendupar hasardandelsc`oiuu travaillait Tereza.Par hasardnuomemtni,alavtierdrepa`deltnavadurtpa´enaitr etil´etaitalle´sasseoirdanslabrasserie.Tereza´etaitdeservicepar hasardet servait par hasardlatabledeThmosaI.alavtiodcnfalluunes´eriedesix hasardspour pousserThomasjusqu`aTereza,commesi,laiss´e`alui-meˆme,riennelyeˆutconduit. M.KUNDERA,Linsoutenablel´ege´ret´edeleˆtre,Gallimard,1984. Ilfautdoncbienquelehasardsoitautrechosequelenomquenousdonnonsa` notre ignorance... H.POINCARE,CalculdesProbabilite´s,Gauthier-Villars,1912,P.3.
Hasardetale´aLe mot hasard vient de l’arabe :az-zahremot,etlaestal´estilalen, deuxracinessigniant:de´s).
Hasard et DestinCe qui est fortuit, lehasardpptoesuae´sodestin(du latin fatum, qui signifiece qui st ´ it. e ecr DIDEROT, Jacques le Fataliste :Leuordnargtu`ouael´estteouitcr Le destin tragique d’Oedipe (SOPHOCLE) : le hasard n’a aucune place dans une ´ mecaniqueou`ledestinestimplacable. LeHasard,sourcedulibrearbitre.Carsitoutestd´ej`ade´termine´,ou`estlaplace pour le libre arbitre ? Danslamythologiegrecque,lesdieuxeux-meˆmessontsoumisaudestin.Dansles religionsmonode´istes,leDieuuniquedomineledestin.
D´eterminismeethasard Led´eterminismeselonPierreSimondeLAPLACE(1814): Uneintelligencequi,pouruninstantdonne´,connaˆıtraittouteslesforcesdontlana-tureestanime´e,etlasituationrespectivedeseˆtresquilacomposent,sidailleurselle ´etaitassezvastepoursoumettrecesdonne´esa`lanalyse,embrasseraitdansunemˆeme formulelesmouvementsdesplusgrandscorpsdeluniversetceuxduplusl´egerdes atomes:rienneseraitincertainpourelle,etlavenircommelepasse´seraitpr´esent`a
CHAPITRE 1. INTRODUCTION4 sesyeux.Lesprithumainore,danslaperfectionquilasudonnera`lastronomie,une faible esquisse de cette intelligence. L´etudeduprobl`emedestroiscorps,etlad´ecouverteparH.POINCAREduphe´nom`ene degrandesensibilite´auxconditionsinitiales,vontmettr`amalcetteconception. e Lehasardestsouventassocie´a`limpr´edictibilite´(caract`eredecequelonnepeut paspre´dire). Lessourcesdelimpr´edictibilite´:lacomplexit´e,notrepropreignorance. Lacaracte´ristiquedesph´enom`enesquenousappelonsfortuits,oudusauhasard, cestdede´pendredecausestropcomplexespourquenouspuissionslesconnaˆıtretoutes etlese´tudier. E.BOREL,Lehasard,F´elixAlcan,1938. Unesourcedehasardestlafortede´pendancedesconditionsinitiales(chaos,eet papillon). Rejoint le chaos pimitif de PLATON. Henri POINCAREed1,09)8:ci(SceenM´ethoet Unecausetr`espetite,quinouse´chappe,de´termineuneetconside´rable,quenousne pouvonspasnepasvoir,etnousdisonsalorsqueceteetestduˆauhasard.Sinous connaissionsexactementlesloisdelanatureetlasituationdeluniversa`linstant initial,nouspourrionspr´edireexactementlasituationdecemeˆmeuniversa`uninstant ult´erieur.Mais,lorsmeˆmequelesloisnaturellesnauraientplusdesecretpournous, nousnepourrionsconnaıˆtrelasituationquapproximativement.Sicelanouspermet depr´evoirlasituationulte´rieureaveclamemeapproximation,cesttoutcequilnous ˆ faut,nousdisonsqueleph´enome`neae´t´epr´evu,quilestre´gipardeslois;maisil nenestpastoujoursainsi,ilpeutarriverquedepetitesdi´erencesdanslesconditions initialesenengendrentdetr`esgrandesdanslesphe´nom`enesnaux;unepetiteerreur surlespremi`eresproduiraituneerreur´enormesurlesderniers.Lapr´edictiondevient impossibleetnousavonslephe´nom`enefortuit. Au-dela`delacomplexite´etdelignorance,quisontdesphe´nom`enesrelatifsetqui e´voluentdansletemps,ilyalehasard essentiel, (les moteur ?)hasards essentiels fondamentaldesphe´nom`enesnaturels:e´volutiondessyst`emesvivants(g´en´etique), physique quantique. Lesprogr`esdelag´enomiquemontrentlaplacecentraleduhasarddanslapparitionde laviedanslUniversetsone´volution. Dialectique:lehasardcontreditlede´terminismem´ecanistedeLAPLACE,pour donnerlejour`aunenouvelleconstruction,lesmath´ematiquesduhasard:lecalculdes probabilit´es.Led´eterminismeportealorsnonplussurlesgrandeurselles-meˆmes,mais surleursloisdeprobabilit´e.Maisilyatoujoursdesloismath´ematiques. Hasard et DieuLe Hasard est le nom sous lequel Dieu voyage incognito(fe´Ra` de´terminer,A.Einstein).Ilnenestrien:ilyaunedi´erencefondamentaleentreles deux concepts : derri‘ere Dieu, il y a une notion d’intention, de projet. Le hasard est un me´canismeaveugle,sansintention,sansprojet,etsurtoutpasceluidepunirlhomme dunpr´etendup´ech´eoriginel. Jereprendrai`amoncomptelare´ponsedePierreSimondeLaplace`aNapole´on
Un pour Un
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