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Un exemple de mathématiques chinoises non triviales : les formules sommatoires finies de Li Shanlan (1811-1882) - article ; n°1 ; vol.43, pg 81-98

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19 pages
Revue d'histoire des sciences - Année 1990 - Volume 43 - Numéro 1 - Pages 81-98
RÉSUMÉ. — Les œuvres mathématiques de Li Shanlan (1811-1882) contiennent l'énoncé non démontré d'une difficile formule combinatoire connue pour avoir attiré l'attention de plusieurs mathématiciens au cours du XXe siècle. Dans le présent article, nous nous demandons comment il se peut que les mathématiques chinoises traditionnelles contiennent des résultats non triviaux alors même qu'a priori il semblerait que tout distingue ces mathématiques de ce que l'on considère habituellement comme telles.
SUMMARY. — A difficult combinatorial formula known for having attracted the attention of several twentieth-century mathematicians appears without proof in the mathematical works of Li Shanlan (1811-1882). In this article we ask ourselves how traditional Chinese mathematics can contain non-trivial results, even though a priori it would seem that everything distinguishes these mathematics from what it is usually considered to be.
18 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
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M Jean Claude Martzloff
Un exemple de mathématiques chinoises non triviales : les
formules sommatoires finies de Li Shanlan (1811-1882)
In: Revue d'histoire des sciences. 1990, Tome 43 n°1. pp. 81-98.
Résumé
RÉSUMÉ. — Les œuvres mathématiques de Li Shanlan (1811-1882) contiennent l'énoncé non démontré d'une difficile formule
combinatoire connue pour avoir attiré l'attention de plusieurs mathématiciens au cours du XXe siècle. Dans le présent article,
nous nous demandons comment il se peut que les mathématiques chinoises traditionnelles contiennent des résultats non triviaux
alors même qu'a priori il semblerait que tout distingue ces de ce que l'on considère habituellement comme telles.
Abstract
SUMMARY. — A difficult combinatorial formula known for having attracted the attention of several twentieth-century
mathematicians appears without proof in the mathematical works of Li Shanlan (1811-1882). In this article we ask ourselves how
traditional Chinese mathematics can contain non-trivial results, even though a priori it would seem that everything distinguishes
these mathematics from what it is usually considered to be.
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Martzloff Jean Claude. Un exemple de mathématiques chinoises non triviales : les formules sommatoires finies de Li Shanlan
(1811-1882). In: Revue d'histoire des sciences. 1990, Tome 43 n°1. pp. 81-98.
doi : 10.3406/rhs.1990.4157
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1990_num_43_1_4157Un exemple
de mathématiques chinoises non triviales :
les formules sommatoires finies
de IiShanlan (1811-1882)
RÉSUMÉ. — Les œuvres mathématiques de Li Shanlan (1811-1882) contien
nent l'énoncé non démontré d'une difficile formule combinatoire connue pour
avoir attiré l'attention de plusieurs mathématiciens au cours du xxe siècle. Dans
le présent article, nous nous demandons comment il se peut que les mathématiques
chinoises traditionnelles contiennent des résultats non triviaux alors même qu'a
priori il semblerait que tout distingue ces mathématiques de ce que l'on considère
habituellement comme telles.
SUMMAR Y. — A difficult combinatorial formula known for having attracted
the attention of several twentieth-century mathematicians appears without proof
in the mathematical works of Li Shanlan (1811-1882). In this article we ask ourselves
how traditional Chinese mathematics can contain non-trivial results, even though
a priori it would seem that everything distinguishes these mathematics from what it is
usually considered to be.
I. — Remarques générales
SUR LES MATHÉMATIQUES CHINOISES TRADITIONNELLES
On sait depuis longtemps que les mathématiques chinoises
contiennent des résultats non triviaux. Actuellement, bien rares
sont les manuels de théorie des nombres qui omettent de baptiser
du nom suggestif de théorème chinois un ingénieux théorème relatif
aux systèmes de congruences simultanées (*) ; on signale souvent
aussi la valeur de тс égale à 355/113 en en attribuant la découverte
à Zu Chongzhi (vers -f 500), célèbre calculateur, astronome, calen-
(*) Sur ce, voir U. Libbrecht, Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, the
Shu-shu chiu-chang of ChHn Chiushao (Cambridge, Mass. : mit Press, 1973), 555 p.
Rev. Hist. Sri., 1990, XLIII/1 82 Jean-Claude Martzloff
dériste et constructeur de mécanismes ingénieux (2). Cependant,
le plus souvent, ces résultats et d'autres du même ordre fort propres
à susciter l'émerveillement sont présentés de telle sorte qu'il
semble presque toujours s'agir de faits miraculeux. Or, étant donné
que les rares textes chinois qui sont parvenus jusqu'à nous ne
contiennent, pour la plupart, que des recettes brutes, bien des
historiens des mathématiques chinoises (Van Hée (3), Van der
Waerden (4)), ont souvent eu tendance à considérer a priori qu'en
matière de chinoises, tout devait s'expliquer uni
quement en termes d'emprunts ou d'influences extérieures. Cette
attitude vis-à-vis des phénomènes chinois a toujours reçu d'autant
plus de crédit que, comme on l'a souvent remarqué, les résultats
que contiennent ces mathématiques sont massivement attestés, à
époque comparable, dans d'autres cultures.
Sans nier l'importance peut-être cruciale des difficiles questions
d'influence, il devient donc de plus en plus clair qu'il serait fru
ctueux d'aborder aussi l'histoire des mathématiques chinoises sous
d'autres angles, celui des modes de raisonnement notamment.
C'est ainsi que des recherches récentes, centrées essentiellement
sur des commentaires méconnus du Jiuzhang suanshu [Neuf cha
pitres sur l'art du calcul — dynastie des Han, très approximati
vement] ont montré que les mathématiques chinoises antiques
contiennent aussi des raisonnements et des justifications logiques,
et pas seulement des règles toutes faites. Ces raisonnements,
qui s'appliquent parfois à des problèmes ardus (volume de la
sphère ou de la pyramide, détermination des décimales successives
du nombre тс, par exemple), utilisent des procédés qui, visiblement,
ne sont pas dans leur ensemble, du même ordre que ceux de la
tradition grecque (5).
Mais bien sûr, pour tout ce qui concerne soit l'Antiquité, soit
(2) Cf. Yan Dunjie, Zhongguo suanjia Zu Chongzhi jigi yuanzhoulu zhi yanjiu
(Le mathématicien Zu Chongzhi et ses recherches sur тс), Xue Yi (1936), vol. 4, n° 1,
37-50. (Noue citons cet article de préférence à d'autres plus récents car, sur ce sujet
précis, il s'agit toujours de l'un des meilleurs qui existent.)
(*) Cf. Jean-Claude Martzloff, Histoire des Mathématiques chinoises (Paris : Masson,
1987), p. 4. C.r. : N. Sivin, China Quarterly (1989), 117, 173-174.
(*) Cf. Van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (Berlin :
Springer, 1983). Cet auteur с diffusionniste » explique que toutes les mathématiques
ont leur origine dans d'hypothétiques mathématiques prébabyloniennee.
(5) Sur ce, voir J.-C. Martzloff, op. cit., chapitre sur les modes de raisonnement,
p. 66 sq. Des mathématiques non triviales 83
le Moyen Age, il s'agit toujours de mathématiques qui ne présentent
maintenant pratiquement plus qu'un intérêt purement historique.
Pour les périodes plus tardives, on insiste souvent à la fois sur le
déclin des mathématiques chinoises et sur leur immersion supposée
dans la tradition grecque à partir des premiers contacts avec les
sciences européennes, à partir du début du xvne siècle (e). En
fait, cette présentation contient des éléments de vérité, mais il
s'en faut de beaucoup pour qu'elle rende compte de manière satis
faisante d'une situation autrement complexe. Même au xixe siècle,
on rencontre, dans le corpus des mathématiques chinoises, des
secteurs originaux qui ne doivent certainement pas grand-chose
aux sciences de l'Europe. Pour illustrer notre propos, on peut
citer, notamment, l'œuvre mathématique de Li Shanlan. Certains
résultats contenus dans cette œuvre ont en effet, au xxe siècle,
retenu l'attention de mathématiciens professionnels, non pas pour
leur aspect historique, mais au contraire, à cause de leur intérêt
mathématique intrinsèque.
II. — Le cas de li shanlan
En 1867, Li Shanlan, qui est surtout connu en tant que traduc
teur d'ouvrages scientifiques d'origine européenne (7), faisait
paraître à Nankin la collection de ses propres œuvres mathémat
iques, en treize volumes, intitulée Zeguxi zhai suanxue [Les
mathématiques du studio Zeguxi] (8). Dans cette collection, il traitait
à la fois de sujets mathématiques inspirés par la tradition occi
dentale (logarithmes, sections coniques, séries infinies, etc.) et par
la tradition chinoise (algèbre médiévale de « l'unité primordiale
(•) Cf. J.-C. Martzlofl, op. cit., p. 23 sq.
(7) Li Shanlan a traduit, notamment : Les Elements of Analytical Geometry and
of the Differential Calculus d'E. Loomis (New York : Harper & Brothers. 1" éd., 1851 ;
cet ouvrage a connu par la suite plus d'une vingtaine de rééditions) ; les Elements of
Algebra d'A. de Morgan (Londres : J. Taylor, 1835) ; la partie non encore traduite en
chinois à son époque des Eléments ďEuclide (livres 7 et suivante).
(8) L'expression Zeguxi [prendre les Anciens pour modèles] est extraite du cha
pitre 1 du Liji [le rituel]. Cf. S. Couvreur, Mémoires sur les bienséances et les Cérémonies
(Leyde : E. J. Brill, et Paris : Les Belles-Lettres, 1950, cCathasia >), 1. 1, première partie,
25 : « Vous devez prendre et proposer pour modèles les anciens et citer les anciens
souverains. » 84 Jean-Claude Martzloff
céleste » (lianyuan shu) (e), techniques d'interpolation du calen
drier de Guo Shoujing) (10). Dans son œuvre intitulée Duoji bilei (u)
[Tas empilés (12) sommés analogiquement (13)], la quatrième de la
collection, il expliquait comment trouver des sommes de séries
ayant un nombre fini de termes et redécouvrait au passage les
nombres combinatoires bien connus en mathématiques, depuis le
xixe siècle, sous les noms de nombres de Stirling de première
espèce (14) et de nombres eulériens (15), ainsi que d'autres nombres
généralisant ceux-ci mais qui n'ont pas reçu de nom particulier.
Il présentait aussi des dizaines de formules sommatoires toutes
plus remarquables les unes que les autres, au nombre desquelles
figurait la formule dite de Worpitzki (ie) (découverte par Worpitzky
en... 1883, soit seize ans après la publication du Duoji bilei), sans
oublier une autre formule particulièrement originale qui n'est
attestée nulle part ailleurs que dans son œuvre à la même époque,
(•) Sur cette technique, voir J. Hoe, Les systèmes ďéqualions polynômes dans le
Siyuan Yujian (1303) (Paris : Collège de France, Institut des Hautes Etudes chinoises,
1977), 341 p.
(10) Guo Shoujing, célèbre astronome ayant vécu de 1231 à 1316. Cf. J.C-. Martzloff,
op. cit., 311.
(u) Abrégé en DJBL dans la suite de cet article.
(12) En mathématiques chinoises traditionnelles, le terme duoji [tas empilés] désigne
en même temps la somme d'une série numérique finie et un terme quelconque d'une telle
série, conçue concrètement comme un assemblage de petits objets de la vie courante
(fruits, plantes, bouteilles de vin, etc.).
(u) Le terme bilei se rencontre pour la première fois dans le chapitre 4 du Liji
(déjà cité) ; il signifie « comparer et classer (des animaux) en fonction de la couleur de
leur poil, de leur grosseur, etc. ». En mathématique, on le rencontre pour la première
dans des manuels de la fin du xiii» siècle comme le Yang Hui Suanfa [L'Arithmétique
de Yang Hui]. Dans ce nouveau contexte, il qualifie soit des problèmes arithmétiques,
soit des méthodes de solution analogues sous certains rapports. Dans le DJBL, Li
Shanlan utilise ce terme dans ce dernier sens.
(14) Cf. DJBL, chap. 1. Sur ces nombres voir par exemple : Louis Comtet, Analyse
combinatoire (Paris : puf, 1970), t. I, 63 et 146. Historiquement, ils apparaissent
d'abord dans le Methodus Differentialis, 1730, p. 10, de James Stirling (1690-1770).
Cf. Herman, H. Goldstine, A History of Numerical Analysis from the 16th throughout
the 19th Century (Berlin : Srpinger Verlag, 1977) 100-101.
(«) DJBL, chap. 2. Cf. L. Comtet, op. cit., t. И, 99. Voir aussi, L. Euler, Institu-
tiones Calculi Differentialis, Opera Omnia, vol. X (1913), chap. 7, p. 373.
(ie) DJBL, chap. 2. La formule de Worpitzki permet de décomposer les puissances
sur une base formée de coefficients binomiaux et par conséquent, offre un moyen simple
pour déterminer la somme des puissances n-ièmes des к premiers entiers, sans passer
par les nombres de Bernoulli. Cf. J. D. Worpitzki, Studien uber die Bernoullischen
und Eulerschen Zahlen, Journal fur die Reine und Angewandte Malhematik, vol. 94
(1883), p. 203-232. Des mathématiques non triviales 85
à savoir, la formule suivante, que l'on peut transcrire comme suit
dans nos notations (17) :
h\i) \ 2k )-[ к ) (i)
dans laquelle les [ i désignent les coefficients binomiaux ordinaires
et que l'on qualifie couramment de « formule de Ы Renshu » (ou
Zsen-shu, Jen Shoo (18), etc.) dans les ouvrages actuels d'analyse
combinatoire (w).
L'histoire de l'arrivée de la formule « de Li Renshu » dans les
manuels mathématiques actuels n'est pas dénuée d'intérêt (20) :
En 1937, cherchant à échapper à la montée du nazisme, le
mathématicien hongrois G. Szekeres se réfugia à Shanghai. Le
hasard voulut qu'il entrât en contact avec Zhang Yong (1911-
1939) (21), jeune mathématicien chinois né à Aberdeen, en Ecosse,
et qui avait fait ses études en Allemagne, à Gôttingen. Passionné
d'histoire des mathématiques, ce Zhang Yong révéla au Hongrois
l'existence du Duoji bilei et lui expliqua aussi qu'entre autres
merveilles, l'ouvrage contenait la « formule de Li Shanlan » (22).
G. Szekeres n'avait jamais rencontré un aussi étrange assem
blage de sommes faisant intervenir des carrés de coefficients
(17) Le texte du DJBL (chap. 3, p. 3 sq.) présente cette formule sous forme pure
ment verbale, sans faire appel à quelque type de notation algébrique que ce soit. Le
lecteur qui souhaiterait se faire une idée du véritable aspect de l'original pourra se
rapporter à la traduction littérale de la formule de Li Shanlan que nous donnons en
annexe en fin d'article.
(18) Renshu est le prénom ď adulte (zi) de Li Shanlan — c'est-à-dire, celui qui lui
fut conféré à sa majorité — tandis que Shanlan est son prénom « de naissance » (ming).
Les différences orthographiques que nous signalons ici s'expliquent par le manque
d'unité des diverses transcriptions phonétiques du chinois relativement aux langues
européennes.
(ie) Cf. L. Comtet, op. cit., t. 1, 179 ; J. Riordan, Combinatorial Identities (New
York : Wiley, 1968), 16.
(") D'après Turán Pal, A kinaí matematika tôrténetének egy problémájáról
[A propos d'un problème en histoire des mathématiques chinoises], Matematikai
Lapok, vol. 5 (1954), 1.
(21) Sur Zhang Yong, voir Li Yan, Zhongguo suanxue shi luncong [Recueil d'articles
(de Li Yan) sur l'histoire des mathématiques chinoises] (Taipei : Zhengzhong Shuju,
1975) 135-147.
(aa) En 1939, Zhang Yong publia d'ailleurs une analyse modernisante du contenu
du DJBL. Cf. Yong, Duoji Bilei shuzheng [Démonstration des formules du
DJBL], Kexue, vol. 23, n« 11 (1939), 647-663. 86 Jean-Claude Martzloff
binomiaux, aussi, il se piqua au jeu et tenta à tout prix de démont
rer la formule. Cependant, ses efforts demeurèrent vains. En
désespoir de cause, il écrivit à son collègue Turán Pál qui, resté
en Hongrie, lui renvoya peu après une démonstration incroyable
ment complexe — car fondée sur les polynômes de Legendre — de
la récalcitrante formule. Bien plus tard, en 1954, P. Turán fit
paraître sa démonstration dans une revue mathématique hongroise
d'audience internationale, le Malemaiikai Lapok (м). Cet article
suscita, dans un premier temps, l'intérêt de mathématiciens
d'Europe de l'Est puis, plus tard celui de du
monde entier qui en publièrent tour à tour des démonstrations
simplifiées, mais néanmoins fondées sur l'algèbre et sur l'analyse
combinatoire « actuelles » (24).
Vis-à-vis de ces démonstrations modernes, la question histo
rique qui se pose est alors la suivante : y aurait-il un rapport étroit
entre les conceptions originelles de Li Shanlan et celles de ces
mathématiciens ?
Pour ceux qui pensent qu'en mathématiques, le fond est ind
épendant de la forme, la question ne se pose pas. Pour obtenir ses
résultats, Li Shanlan n'aurait rien fait d'autre que de recourir
de manière astucieuse à certains modes de raisonnement présents
à l'esprit — par hypothèse — de tous les mathématiciens de toutes
les époques, fussent-ils babyloniens, indiens, chinois ou européens.
Le fait que Li Shanlan s'exprime en chinois et n'utilise pas une
once de symbolisme algébrique ne serait qu'un élément d'impor
tance mineure, et il serait non seulement souhaitable, mais aussi
utile de traduire les raisonnements de l'illustre mathématicien du
xixe siècle en symbolisme « moderne » pour saisir la logique interne
du texte du Duoji bilei.
En réalité, une telle façon de procéder pourrait se justifier si
l'ouvrage de Li Shanlan n'était qu'un recueil de formules toutes
faites. Il s'agirait alors seulement de rendre compte synthétique-
(M) Vol. 5 (1954), p. 1.
(M) Voir, notamment : Takács Lajos, Megjegyzés Turán Pál < A kínai matematika
tôrténetének egy problémájáról » címíi dolgozatához, Maiematikai Lapok, vol. 6
(1955), 27-29 ; Surányi Jánoš, Megjegyzések a kínai matematika tôrténetének egy
problémájához, Matemalikai Lapok, vol. 6 (1955), 30-35 ; Huszár Gésa, A kínai
matematika tôrténetének egy problémájáról, Matemalikai Lapok, vol. 6 (1955), 36-38;
Josef Kaucky, O Jednom Problému Z Dějin Čínské Matematiky, Matematieko-Fyzi-
kálng Časopis SAV, vol. 13 (1963), 32-40 ; Hua Luokeng, Shuxue guinafa [L'induction
mathématique] (Shanghai : Jiaoyu Chubanshe, 1963), 40 ; J. Riordan, op. cit., 16. mathématiques non triviales 87 Des
ment et de manière compréhensible pour un lecteur moderne, d'une
longue liste de résultats.
A priori, il semblerait qu'on ne puisse pas procéder autrement.
L'ouvrage de Li Shanlan semble bien n'être qu'un simple « livre
de recettes mathématiques » puisqu'il se compose essentiellement
de suites d'algorithmes posés les uns à la suite des autres, sans que
des liens causaux composés de définitions d'axiomes et de théorèmes
ne les relient. Pourtant, dire que le Duoji bilei n'est qu'un formul
aire ne rend absolument pas compte de ce qu'a voulu réaliser son
auteur : dans sa préface, Li Shanlan explique en substance qu'il
a rangé ses matériaux avec ordre et méthode, qu'il a été soucieux de
la clarté de son exposé et surtout, qu'il a eu le souci de transmettre
son art sous une forme apte à rendre ses lecteurs créatifs.
Tel qu'il se présente, dans l'édition de 1867, le Duoji bilei se
compose de quatre chapitres, tous structurés de la même manière
et qui se laissent décomposer en une succession de séquences
comprenant invariablement :
— une table de valeurs numériques (biao) à double entrée ayant
la forme d'un triangle isocèle se composant de petites alvéoles
en de losange renfermant des nombres (26) ;
— des figures (tu) ;
— et enfin, des algorithmes (fa).
Les 15 tables numériques du Duoji bilei ne sont pas toutes de
même nature :
Huit de ces tables sont analogues au triangle dit « de Pas
cal » (2e) en ce sens qu'elles se construisent en appliquant la formule
de récurrence usuelle caractéristique d'un tel « triangle » (*7) (Li
(*•} Voir ci-après, en fin d'article, un exemple de telle < table » avec sa traduction
(M) II est important de noter ici que les travaux de Li Shanlan ne s'inscrivent
aucunement dans la lignée de ceux de Pascal. En effet, môme s'il est vrai que Li Shanlan
a pu prendre connaissance de données élémentaires relatives aux coefficients bino-
miaux, grâce notamment aux traductions tardives d'ouvrages algébriques d'origine
occidentale réalisées dans la seconde moitié du xixe siècle, tels que ceux d'E. Loomis,
notamment, il n'en reste pas moins que ce célèbre « triangle » était connu en Chine
dès le début du xive siècle (on le trouve : dans le Siyuan yujian [Miroir de jade des
с quatre primordialités >] de Zhu Shijie édité en 1303 ; dans l'encyclopédie de l'empereur
Yongle (YongU dadian) de 1407, etc. Cf. J.-C. Martzloff, op. cit., 219). En outre, Li
Shanlan se réfère explicitement à cette ancienne tradition en en reprenant les problèmes,
les méthodes et la terminologie.
(«) Le. /n\ /n — l\ /n 88 Jean-Claude Marizloff
Shanlan écrit que pour trouver le nombre qu'il convient de mettre
dans une certaine alvéole, il faut « ajouter les deux nombres
qui se trouvent juste au-dessus, à droite et à gauche de l'alvéole
en question ». Cependant, l'originalité de Li Shanlan vient de ce
qu'il ne limite pas ses investigations au triangle « de Pascal »
usuel : il construit ses tableaux en partant de valeurs initiales
quelconques.
Les sept tables restantes contiennent respectivement :
(1) les nombres « de Stirling » avec leur récurrence ;
(2) les « eulériens » leur ;
(3) les puissances nv disposées dans un tableau à double-entrée;
/n\2
(4) les carrés des coefficients binomiaux usuels | I ;
(5), (6), (7) les produits des coefficients binomiaux par des puis
sances (jusqu'au cube) : (n — p + l)*j I (m = 1, 2, 3).
Li Shanlan n'associe à aucun des trois tableaux à double entrée
relatifs à (5), (6), (7) quelque récurrence que ce soit qui permettrait
de les construire mais, pour les triangles qui obéissent à une rela
tion de récurrence, il indique toujours quelles sont leurs valeurs
initiales [biaogen : les « racines de la table »).
Les figures (ou plutôt les dessins) sont donnés presque sans
paroles et représentent très concrètement des objets tels que des
billes, des petits cubes, des jetons, etc., disposés à la façon de
nombres figurés plans ou spatiaux de façon à rendre immé
diatement lisibles des relations de récurrence analogues à la
suivante (28) :
k -f- 1
I
(**) Cette récurrence se visualise d'emblée sur un triangle « de Pascal ». Elle corre
spond au fait que, la somme des n premiers coefficients d'un tel triangle situés dans une
même « diagonale » (et effectuée en partant du < sommet » de cette « diagonale ») est
égale au nombre situé un rang plus bas, immédiatement à droite de la dernière alvéole
de la colonne considérée. Par exemple, sur le « triangle » placé à la fin du présent
article on constate que : 1 + 15 + 84 + 300 + 825 = 1 225 ; 1 + 11+30 + 50
+ 70 = 162, etc. Voir aussi Comtet, op. cit., t. I, 22. mathématiques non triviales 89 Des
Les formules enfin (il en existe plusieurs centaines dans tout
l'ouvrage) permettent de résoudre deux types de problèmes inverses
l'un de l'autre :
(a) Trouver la somme des n premiers termes d'une suite, donnée
en tant que diagonale descendante de nombres extraite de
l'un des triangles dont il a été question plus haut ;
(P) Trouver le nombre de termes d'une suite donnée (tou
jours extraite de l'un des triangles précédents) et de somme
connue.
Dans tout l'ouvrage, les formules sont exprimées en langage
courant faisant appel à une large gamme de termes techniques,
créés par l'auteur pour les besoins de la cause. Aucun symbole de
quelque type que ce soit n'intervient à aucun moment.
Dans le cas de problèmes du type ((3) — triviaux ďun point
de vue moderne, mais qui, signifîcativement, occupent la moitié
du texte du DJBL — Li Shanlan explique en détail la façon
d'effectuer des calculs algébriques du type « développement de
(x -\- 1) (x + 2) (x + 3) » en se servant des formules qu'il a d'abord
trouvées en cherchant à résoudre des problèmes de type (a), et
en mettant en œuvre l'algèbre médiévale à la manière de Zhu
Shijie, l'auteur du célèbre Siyuan yujian [Miroir des quatre primor-
dialités (publié pour la première fois en 1303)](29).
Dans le cas de problèmes de type (a), il est beaucoup plus
difficile d'expliquer ce que Li Shanlan a effectivement fait. Le
souvent, on observe que pour lui, l'accès à des formulations géné
rales (c'est-à-dire, valables pour une infinité de valeurs de la (ou
des) variables) provient de l'accumulation de 4 ou 5 cas particuliers
permettant d'observer l'émergence d'une structure immédiatement
généralisable — un peu comme dans ces tests muets dits « d'intell
igence » et dans lesquels on doit compléter des séries graphiques,
alphabétiques ou numériques de façon à faire apparaître des régul
arités — l'auteur concluant par la formule yi xia ke lei lui, qui
signifie : « On peut trouver les formules suivantes en procédant de
manière analogue. »
(«•) Cf J. Hoe, op. eit.

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