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Statistique multivariate - M1 Miage

16 pages
Statistique multivariate - M1 Miage
Matthieu Barrandon, Marco Dozzi
Septembre 2008
Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre 2008 1 / 16 4. RØgression et corrØlation multiple
4.1. La loi normale multidimensionnelle
4.2. RØgression linØaire multiple : estimation des paramŁtres
4.3. RØgression multiple : tests des paramŁtres et analyse de
variance
Annexe. CorrØlation et rØgression simple, loi normale bidimensionnelle
Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre 2008 2 / 16 4.1. La loi normale multidimensionnelle
Exemple : taille du pŁre et taille du ls ainØ suivant Pearson et Lee
N (μ,Σ) loi normale m-dimensionnelle de moyenne μ et de matrice dem
covarianceΣ
2μ σ σ1211pour m = 2 : μ = , Σ = .2μ σ σ122 2
Fonction de densitØ de N (μ,Σ) :m
m 1/2 1 t 1 mf(x) = ((2π) DetΣ) exp( (x μ) Σ (x μ)), x 2R
2
oø DetΣ (supposØ di⁄Ørent de zØro) est le dØterminant deΣ.
2 2 2Pour m = 2, DetΣ = σ σ σ .1 2 12
Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre 2008 3 / 16 4.2. RØgression linØaire multiple : estimation des
paramŁtres
Exemple. Chemin d arrŒt d une voiture en fonction de sa vitesse
(x ,y ), i = 1,2, ...50 observations de la vitesse x et du chemin d arrŒt Yi i
modŁle de rØgression
2y = β x +β x +e , i = 1,2...,50.i i ii1 2
oø e sont les rØsidus : des variables alØatoires indØpendantes et de loii
normale N(0,σ), oø σ (inconnu en gØnØral) est supposØ indØpendant de x.
Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Septembre 2008 4 / 16 4.2. RØgression linØaire multiple : estimation des
paramŁtres ...
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MatthieuBarrandon,MaStatistiquemultivariate-M1MiagercoDozziMatthieuBarrandon,MarcoDozzi()Septembre2008Septembre20081/16
4.Régressionetcorrélationmultiple4.1.Laloinormalemultidimensionnelle4.2.Régressionlinéairemultiple:estimationdesparamètres4.3.Régressionlinéairemultiple:testsdesparamètresetanalysedevarianceAnnexe.Corrélationetrégressionsimple,loinormalebidimensionnelleMatthieuBarrandon,MarcoDozzi()Septembre20082/16
4.1.LaloinormalemultidimensionnelleExemple:tailledupèreettailledu…lsainésuivantPearsonetLeeNm(µ,Σ)loinormalem-dimensionnelledemoyenneµetdematricedecovarianceΣ2pourm=2:µ=µ1,Σ=σ1σ122.µ2σ12σ2FonctiondedensitédeNm(µ,Σ):1(xµ)),xf(x)=((2π)mDetΣ)1/2exp(21(xµ)tΣ�2DetΣ(supposédi¤érentdezéro)estledéterminantdeΣ.Pourm=2,DetΣ=σ12σ22σ122.MatthieuBarrandon,MarcoDozzi()SepteRmbrme20083/16
4.2.Régressionlinéairemultiple:estimationdesparamètresExemple.Chemind’arrêtd’unevoitureenfonctiondesavitesse(xi,yi),i=,1,2..5.0modèlederégressionboesvrtaoisnedalivetssexteudyi=β1xi+β2xi2+ei,i=1,2...,50.hcmeni’draêrtYeisontlesrésidus:desvariablesaléatoiresindépendantesetdeloinormaleN(0,σ),σ(inconnuengénéral)estsupposéindépendantdex.MatthieuBarrandon,MarcoDozzi()Septembre20084/16
4.2.Régressionlinéairemultiple:estimationdesparamètres(2)Modèlegénéraldelarégressionlinéairemultipleobservations(xi1,xi2,..,xim,yi)i=1,2,...,nmodèlederégressionyi=β0+β1xi1+β2xi2+...+βmxim+ei,oùlesrésiduseisontdesvariablesaléatoiresindépendantesetdeloinormaleN(0,σ).µY(x1,x2,...,xm)=β0+β1x1+β2x2+...βmxmMatthieuBarrandon,MarcoDozzi()Septembre20085/16
61/68002erbmetpeS)(izzoDocraM,nodnarraBueihttaM,.0β=β,..m1x11x.1=X,.1y=Yùo,E01@BβmAC1CAxmnx1n0B@1X=Y+βFormematricielledumodèlegénéraldelarégressionlinéairemultiple10CBA@yne110E=@B.AC.en4.2.Régressionlinéairemultiple:estimationdesparamètres(3)
4.2.Régressionlinéairemultiple:estimationdesparamètres(4)EstimationsdesparamètresausensdesmoindrescarréshToérmèe.41.uSppsonosuqeelsérisudse,ii=1,2,...,nsontdesvariablesaléatoiresindépendantesdeloiN(0,σ).Lesestimateursausensdesmoindrescarrésdesparamètresβetσ2sontdonnéesparMatthieuB1mnβb=(XtX)1XtY,σc2=1(YXβb)t(YXβb).arrandon,MarcoDozzi()Septembre20087/16
4.2.Régressionlinéairemultiple:estimationdesparamètres(5)Nm+1(β,σ2(XtX)1),eusntialmolin1)roσm2/laσe2(smiut+al1l)-ioidmhke-indseoiunxnaevlleecThéorème4.1(suite).βb(tc(nm1)degrésdeliberté.LemodèleestimédelaregressionlinéairemultipledeYsurx1,x2,...,xmestdonnéparMatthieuBarrandoµbn,YM(arxco1,Doxzz2i,(.)..,xm)=βb0+βb1x1+βb2x2+...+βbmxm.Septembre20088/16
4.3.Régressionlinéairemultiple:testdesparamètresetanalysedesvariancesDé…nition.Unerestrictionlinéairedeβestuneéquationdelaformectβ=d,ct=(c0,c1,...,cm)etd2Rsontsupposésdonnés.Théorème4.2.SupposonsquelesrésidussatisfontauxconditionsduThéorème4.1.Sousl’hypothèseH0:ctβ=dlavariableσd1ctbt=pcβbct(XtX)suitlaloideStudentt(nm1)avecnmestlenombredevariablesexplicativesx1,x2,...,xmetnestlenombred’observations(xi1,xi2,..,xim,yi).MatthieuBarrandon,MarcoDozzi()1edrgséedSepltiebmebrret2é0,08ùom9/16
4.3.Régressionlinéairemultiple:testdesparamètresetanalysedesvariances(2)Exempleduchemind’arrêt(suite):µbY(x)=0.2353x+0.0108x2nouveaumodèle:yi=β1xi+β2xi2+xiei0,ei0indépendantesetdeloiN(0,σ),i=1,2,...,50transformation:yi0=yi/xi,yi0=β1+β2xi+ei0nouveaumodèleestimé:βµbY0(x)=0.2381+0.0105x,µbY(x)=0.2381x+0.0105x2H0:β2=0,(0,1)β1=02variabledeqtest:pt=βc2/[σb(XtX)221]=0.0105/[0.18435491]=3.4>t(48)0.975RejeterH0.MatthieuBarrandon,MarcoDozzi()Septembre200810/16
4.3.Régressionlinéairemultiple:testdesparamètresetanalysedesvariances(3)Exempledesventes.Ils’agitd’analyserlesventessemestriellesenfonctiondedi¤érentesvariablesquisontsusceptiblesdelesin‡uencer:marchétotaldusecteur(x1),remisesauxgrossistes(x2),prixduproduit(x3),budgetderecherche(x4),investissements(x5),fraisdepublicité(x6),fraisdeventes(x7),totaldubudgetdepublicitédusecteur(x8).yi=β0+β1xi1+β2xi2+...+β1xi8+ei,i=1,2,...,38µY(x1,x2,...,x8)=β0+β1x1+β2x2+...+βmx8modèleestiméµbY(x1,x2,...,x8)=3130.01+4.39x1+1.70x213.58x33.81x4+1.91x5+8.55x6+1.59x70.03x8σb2=3819(YXβb)t(YXβb)=65867.MatthieuBarrandon,MarcoDozzi()Septembre200811/16