Dans la suite, on note N={entiers positifs}={0,1,2, . . .} Z={entiers relatifs}=N∪(−N) Q={nombres rationnels}={pq;p∈Z, q∈N∗} R={nombres réels}
1.2 Relations d’ordre
Définition 1.SoientE, Fdeux ensembles non vides. Une relation binaireRdeEversFest définie par une partieG(appelée graphe de la relation) deE×F. Si(x, y)∈ G, on dit quexest en relation avecyet on notexRy. Définition 2.SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRdeEversEest dite : – réflexive si∀x∈E,xRx, – antisymétrique si pour tousxetydansE: (xRyetyRx)⇒x=y, – transitive si pour tousx, y, zdansE: (xRyetyRz)⇒xRz. Définition 3.Une relation d’ordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive. LorsqueEest munie d’une relation d’ordreR, on dit que(E,R)est un ensemble ordonné.
Exemples : – SiE=N,Z,QouR, la relation≤est une relation d’ordre. – L’ordre lexicographique est une relation d’ordre sur l’ensemble des mots. – SoitEun ensemble non vide. La relation⊂est une relation d’ordre sur les sous-ensembles deE. Exercices : – Montrer que la relation<n’est pas une relation d’ordre surR.
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CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS
– SoitE=N∗. Pourx, y∈Eon notex|ysixdivisey. Montrer que|est une relation d’ordre surE. Définition 4.Soit(E,R)un ensemble ordonné. Si pour tousxetydansE, on axRyouyRx, on dit que(E,R)est totalement ordonné.
Exemples : –E=N,Z,QouRmuni de≤est une totalement ordonné. – L’ensemble des mots muni de l’ordre lexicographique est une ensemble totalement ordonné. Définition 5.Un préordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive et transi-tive. Proposition 1.L’ordre≤surRet la multiplication : pour tousest compatible avec l’addition x1, x2, y1, y2
1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure
Définition 6.Soit(E,≤)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentx∈E est appelé majorant deAsi pour touta∈A, on aa≤x. De même, un élémentx∈Eest appelé minorant deAsi pour touta∈A, on ax≤a. Dans le cas où l’ensembleAadmet un majorant (resp. minorant), on dit queAest majoré (resp. minoré). SiAest majoré et minoré, on dit qu’il est borné.
Exemple : le sous-ensemble]− ∞,1]deRest majoré et non minoré. Définition 7.Soit(E,≤)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentx∈E est appelé plus grand élément deAsix∈Aetxest un majorant deA. De même, un élément x∈Eest appelé plus petit élément deAsix∈Aetxest un minorant deA.
Exercices : – Montrer que]1,2]est borné, admet un pge mais pas de ppe. – Montrer que{1/n;n∈N∗}est borné, admet une pge mais pas de ppe. – SoitAun sous-ensemble deR. Montrer queAmajorée est équivalent à{−a;a∈A}est minoré. Proposition 2.SoitAun sous-ensemble d’un ensemble(E,≤)ordonné. SiAadmet un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique.
Preuve.Soientx, ydeux plus grands éléments. Commey∈Aetxpge on ay≤x. De même, x∈Aetypge donnex≤y. Par antisymétrie de la relation≤, on ax≤yety≤ximplique x=y. Théorème 1.On munitNde la relation d’ordre usuelle. Alors : 1) Tout sous-ensemble non vide deNadmet un plus petit élément. 2) Tout sous-ensemble non vide et majorée deNadmet un plus grand élément.
1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE7
Définition 8.SoitAun sous-ensemble majoré d’un ensemble(E,≤)ordonné. Un élémentx∈ Eest appelé borne supérieure deAsixest le plus petit des majorants deA. Ainsi, la borne supérieure notéesup(A), si elle existe, est unique. De même, soitAun sous-ensemble minoré d’un ensemble(E,≤)ordonné. Un élémentx∈Eest appelé borne inférieure deAsixest le plus grand des minorants deA. La borne inférieure notéeinf(A), si elle existe, est unique. Exercice : on considère l’ensemble ordonné(Q,≤). Montrer que l’ensembleA={x∈Q;x2< 2}mais n’admet pas de borne supérieure.est borné Proposition 3.Soient(E,≤)un ensemble ordonné,Aun sous-ensemble deEetx∈E. Alors : xpge deA⇒x= sup(A)⇒xest majorant deA, xppe deA⇒x= inf(A)⇒xest minorant deA. Preuve.Sixpge deAalorsx∈Aetxmajorant deA. Soityun autre majorant deA.ymajorant etx∈Aimplquex≤y. Doncxest le plus petit des majorants deA, d’oùx= sup(A). De plus x= sup(A)impliquexmajorant deA. Théorème 2.SoitAun sous-ensemble non vide deRmuni de la relation d’ordre usuelle. 1) SiAest majoré alorsAadmet une borne supérieure. 2) SiAest minoré alors la borne inférieure deAexiste. Preuve.Admise pour le moment. Proposition 4.SoitAun sous-ensemble non vide et majoré deRmuni de la relation d’ordre usuelle. On ax= sup(A)ssi : 1) pour touta∈A,a≤x, 2) pour tout >0, il existea∈Atel quex− < a≤x. De même, soitAun sous-ensemble non vide et minoré deRmuni de la relation d’ordre usuelle. On ax= inf(A)ssi : 1) pour touta∈A,x≤a, 2) pour tout >0, il existea∈Atel quex≤a< x+. Preuve.Supposonsx= sup(A).xest un majorant deAd’où 1). Pour 2), on considère >0. Commexest le plus petit des majorants deA,x−n’est pas un majorant car plus petit quex. Donc il existea∈Atel quex− < a≤x. Réciproquement, supposons que 1) et 2) soient vérifiés et montrons quex= sup(A). 1) prouve quexest un majorant deA. Il reste à montrer que c’est le plus petit. Soity < xet posons =x−y >0. Vu 2), il existea∈Atel quex− < a≤x, iey < a≤x. En particulier,yne peut être un majorant. Proposition 5.On considèreRmuni de la relation d’ordre usuelle. 1) SoitAun sous-ensemble deR. On pose−A={−a;a∈A}. Alors : sup(−A) =−inf(A)etinf(−A) =−sup(A). 2) SoitAun sous-ensemble deRetfune application deAdansR. On appelle borne supé-rieure defdansAle nombre (s’il existe)supf(A)(encore notésupa∈Af(a)) où f(A) ={f(a);a∈A}.
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CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS
De même, la borne inférieure defdansAest donnée parinff(A)(encore notéeinfa∈Af(a). On dira quefest majorée (resp. minorée, resp. bornée) sif(A)est majoré (resp. minoré, resp. borné). Preuve.en exercice.
1.4 L’ensemble des réels, axiomatique
Théorème 3."corps" des nombres réels est un ensembleLe Rpour lequel sont définies : – deux applications(x, y)7→x+yet(x, y)7→xydeR×RdansRqui prolongent les opérations d’addition et de multiplication définies dansN,ZetQ, – une relation d’ordre totale≤, qui satisfont aux axiomes suivants : 1.x+ (y+z) = (x+y) +z, 2.x+y=y+x, 3. il existe un élément0∈Rtel que0 +x=xpour toutx∈R, 4. pour toutx∈R, il existe un élément−x∈Rtel quex+ (−x) = 0, 5.x(yz) = (xy)z, 6.xy=yx, 7. il existe un élément16= 0tel que1x=xpour toutx∈R, 8. pour chaque élémentx6= 0deR, il existe un élémentx−1∈Rtel quexx−1= 1, 9.x(y+z) =xy+xz. De plus, la relation d’ordre vérifie les propriétés suivantes : 1.x≤yimpliquex+z≤y+z, 2. (0≤xet0≤y) implique0≤xy. Proposition 6. Propriété d’Archimède.Pour tout couple de réels(x, y)tel quex >0, il existe n∈Ntel quey≤nx.
1.5 Valeur absolue.
Définition 9.Six∈R, on appelle valeur absolue dex, notée|x|, le réel défini par |x|=x−xsisix0≤≤x0,.. Proposition 7. Propriétés de la valeur absolue. 1.∀x∈R,|x| ≥0, 2.∀x∈R,|x|= 0⇔x= 0, 3.∀(x, y, r)∈R3,|x−y| ≤r⇔y−r≤x≤y+r, 4. (1ère inégalité triangulaire)∀(x, y)∈R2,|x+y| ≤ |x|+|y|, 5. (2ème inégalité triangulaire)∀(x, y)∈R2,||x| − |y|| ≤ |x+y|, 6.∀(x, y)∈R2,|xy|=|x||y|.
1.6. LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE 1.6 La fonction partie entière Définition 10.Soitxun nombre réel. Il existe un unique entier relatif, notéE(x), tel que : E(x)≤x < E(x) + 1. On appelleE(x)la partie entière dex.
1.7 Les intervalles
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On définit les intervalles possibles d’extrémitésa,b,+∞ou−∞(oùaetbsont deux réels), chaque crochet pouvant être ouvert ou fermé en une extrémité non infinie, et ouvert en une extré-mité infinie(il y a 9 types possibles d’intervalles au total, dont 5 sont bornés). L’ensemble vide est également un intervalle. Par exemple, sia < bsont 2 réels ]a, b] ={x∈R;a < x≤b},]− ∞, a] ={x∈R;x≤a}. Proposition 8.Une partie deR, notéeI, est un intervalle si et seulement si : ∀(x, y)∈I2, x≤y⇒[x, y]⊂I. Preuve.Supposons queIsoit un intervalle (il y a donc 9 cas possibles). Par exemple, supposons I=]a, b]. Soient(x, y)∈I2tels quex≤y. Montrons que[x, y]⊂I. Soitz∈[x, y], cad x≤z≤y. Commea < x≤beta < y≤b, on aa < x≤z≤y≤bdoncz∈]a, b]. Réciproquement, supposons qu’une partieIdeRsatisfait∀(x, y)∈I2, x≤y⇒[x, y]⊂I. Montrons queIest un intervalle. SiIest l’ensemble vide, la preuve est terminée. SinonIest non vide. Il y a alors plusieurs cas possibles :Iest majoré ou non,Iest minoré ou non. Supposons par exemple queIsoit majoré et non minoré. Notonsa= sup(I). A nouveau 2 cas sont possibles, ou bienaest un plus grand élément deIou bien il ne l’est pas. Traitons par exemple le cas où il l’est, et montrons queI=]− ∞, a](dans l’autre cas, il faut montrerI=]− ∞, a[). Soitx∈I. Commeaest un majorant deI, on ax≤adoncx∈]− ∞, a]. Inversement, soitx∈]− ∞, a]. On ax≤a. CommeIest non minoré,xn’est pas un minorant deI, il existe doncy∈Itel que y < x. Ory, a∈Iety≤adonc[y, a]⊂I. En particulierx∈[y, a]⊂I. Par ailleurs, les intervalles ouverts possèdent la propriété suivante importante : Proposition 9.SoitIun intervalle ouvert. Alors : ∀a∈I,∃ >0,]a−, a+[⊂I. Preuve.en exercice.
1.8 Densité deQet deR\QdansR
Proposition 10.SoitI=]a, b[(a < b) un intervalle non vide deR. AlorsI∩Qest non vide (Q est dense dansR) ainsi queI∩(R\Q)(densité deR\QdansR). e un entiern∈N∗tel ue1≤b2−a. SPorietukvel.equelrtrpgaslusrlppeore’iDtnèerdpnaad’Ariétékch/inmè≤deaar.P,itxitosiéid’enfiltiuqdnonaesk, on aa <nk+1.Dseplqu1nn≤2et b−a k/n≤aimpliquekn+1≤a+ (b−a)/2 = (a+b)/2< b. Ceci prouve la première relation. Pour la deuxième, on poseJ=]a/√2, b/√2[. D’après la densité deQdansJ, il existeq∈J∩Q (qnon nul). Alors√2q∈I. D’autre part,√2q∈R\Q.
Définition 1.Une suite réelle u est une application d’une partieIdeNdansR. Remarque : – On peut généralement se ramener au cas oùI=N, ce que l’on supposera souvent. – Notations :u= (un)n∈Iparfois notée tout simplement(un)n. Proposition 1. Opérations sur les suites.Soientuetvdeux suites réelles etaun réel. On définit les suites : –w=uvpar son terme généralwn=unvn. –x=u+vpar son terme généralxn=un+vn. –y=aupar son terme généralyn=aun. u – De plus, si∀n∈N, vn6= 0, on définitz=vpar par son terme généralzn=uvnn.