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Cours d’analyse 1ère annéeRhodes Rémi10 décembre 20082Table des matières1 Propriétés des nombres réels 51.1 Sous-ensembles remarquables deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Densité deQ et deRnQ dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Suites réelles 112.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7 Suites de cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Ajouté le 24 septembre 2011
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Cours
danalyse
1ère
Rhodes Rémi
10
décembre
2008
année
2
Table des matières
1
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3
Propriétés des nombres réels 1.1 Sous-ensembles remarquables deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Densité deQet deR\QdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites réelles 2.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Limites et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Suites de cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions réelles de la variable réelle 3.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Limite et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Limites et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 11 11 13 13 14 15 16 16
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TABLE DES MATIÈRES
Continuité des fonctions réelles de la variable réelle 4.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dérivabilité 5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Variations des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions trigonométriques et hyperboliques 6.1 Fonctions circulaires directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Fonctions hyperboliques directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 23 24 26
29 29 30 31 33 33
37 37 37 39 40
Chapitre 1
Propriétés des nombres réels
1.1 Sous-ensembles remarquables deR
Dans la suite, on note N={entiers positifs}={0,1,2, . . .} Z={entiers relatifs}=N(N) Q={nombres rationnels}={pq;pZ, qN} R={nombres réels}
1.2 Relations d’ordre
Définition 1.SoientE, Fdeux ensembles non vides. Une relation binaireRdeEversFest définie par une partieG(appelée graphe de la relation) deE×F. Si(x, y)∈ G, on dit quexest en relation avecyet on notexRy. Définition 2.SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRdeEversEest dite : – réflexive sixE,xRx, – antisymétrique si pour tousxetydansE: (xRyetyRx)x=y, – transitive si pour tousx, y, zdansE: (xRyetyRz)xRz. Définition 3.Une relation d’ordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive. LorsqueEest munie d’une relation d’ordreR, on dit que(E,R)est un ensemble ordonné.
Exemples : – SiE=N,Z,QouR, la relationest une relation d’ordre. – L’ordre lexicographique est une relation d’ordre sur l’ensemble des mots. – SoitEun ensemble non vide. La relationest une relation d’ordre sur les sous-ensembles deE. Exercices : – Montrer que la relation<n’est pas une relation d’ordre surR.
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CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS
– SoitE=N. Pourx, yEon notex|ysixdivisey. Montrer que|est une relation d’ordre surE. Définition 4.Soit(E,R)un ensemble ordonné. Si pour tousxetydansE, on axRyouyRx, on dit que(E,R)est totalement ordonné.
Exemples : E=N,Z,QouRmuni deest une totalement ordonné. – L’ensemble des mots muni de l’ordre lexicographique est une ensemble totalement ordonné. Définition 5.Un préordre sur un ensemble non videEest une relation binaire réflexive et transi-tive. Proposition 1.L’ordresurRet la multiplication : pour tousest compatible avec l’addition x1, x2, y1, y2
(x1x2ety1y2)x1+y1x2+y2 (x1x2et0y1)x1y1x2y1.
1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure
Définition 6.Soit(E,)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentxE est appelé majorant deAsi pour toutaA, on aax. De même, un élémentxEest appelé minorant deAsi pour toutaA, on axa. Dans le cas où l’ensembleAadmet un majorant (resp. minorant), on dit queAest majoré (resp. minoré). SiAest majoré et minoré, on dit qu’il est borné.
Exemple : le sous-ensemble]− ∞,1]deRest majoré et non minoré. Définition 7.Soit(E,)un ensemble ordonné etAun sous-ensemble deE. Un élémentxE est appelé plus grand élément deAsixAetxest un majorant deA. De même, un élément xEest appelé plus petit élément deAsixAetxest un minorant deA.
Exercices : – Montrer que]1,2]est borné, admet un pge mais pas de ppe. – Montrer que{1/n;nN}est borné, admet une pge mais pas de ppe. – SoitAun sous-ensemble deR. Montrer queAmajorée est équivalent à{−a;aA}est minoré. Proposition 2.SoitAun sous-ensemble d’un ensemble(E,)ordonné. SiAadmet un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique.
Preuve.Soientx, ydeux plus grands éléments. CommeyAetxpge on ayx. De même, xAetypge donnexy. Par antisymétrie de la relation, on axyetyximplique x=y. Théorème 1.On munitNde la relation d’ordre usuelle. Alors : 1) Tout sous-ensemble non vide deNadmet un plus petit élément. 2) Tout sous-ensemble non vide et majorée deNadmet un plus grand élément.
1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE7
Définition 8.SoitAun sous-ensemble majoré d’un ensemble(E,)ordonné. Un élémentxEest appelé borne supérieure deAsixest le plus petit des majorants deA. Ainsi, la borne supérieure notéesup(A), si elle existe, est unique. De même, soitAun sous-ensemble minoré d’un ensemble(E,)ordonné. Un élémentxEest appelé borne inférieure deAsixest le plus grand des minorants deA. La borne inférieure notéeinf(A), si elle existe, est unique. Exercice : on considère l’ensemble ordonné(Q,). Montrer que l’ensembleA={xQ;x2< 2}mais n’admet pas de borne supérieure.est borné Proposition 3.Soient(E,)un ensemble ordonné,Aun sous-ensemble deEetxE. Alors : xpge deAx= sup(A)xest majorant deA, xppe deAx= inf(A)xest minorant deA. Preuve.Sixpge deAalorsxAetxmajorant deA. Soityun autre majorant deA.ymajorant etxAimplquexy. Doncxest le plus petit des majorants deA, d’oùx= sup(A). De plus x= sup(A)impliquexmajorant deA. Théorème 2.SoitAun sous-ensemble non vide deRmuni de la relation d’ordre usuelle. 1) SiAest majoré alorsAadmet une borne supérieure. 2) SiAest minoré alors la borne inférieure deAexiste. Preuve.Admise pour le moment. Proposition 4.SoitAun sous-ensemble non vide et majoré deRmuni de la relation d’ordre usuelle. On ax= sup(A)ssi : 1) pour toutaA,ax, 2) pour tout >0, il existeaAtel quex < ax. De même, soitAun sous-ensemble non vide et minoré deRmuni de la relation d’ordre usuelle. On ax= inf(A)ssi : 1) pour toutaA,xa, 2) pour tout >0, il existeaAtel quexa< x+. Preuve.Supposonsx= sup(A).xest un majorant deAd’où 1). Pour 2), on considère >0. Commexest le plus petit des majorants deA,xn’est pas un majorant car plus petit quex. Donc il existeaAtel quex < ax. Réciproquement, supposons que 1) et 2) soient vérifiés et montrons quex= sup(A). 1) prouve quexest un majorant deA. Il reste à montrer que c’est le plus petit. Soity < xet posons =xy >0. Vu 2), il existeaAtel quex < ax, iey < ax. En particulier,yne peut être un majorant. Proposition 5.On considèreRmuni de la relation d’ordre usuelle. 1) SoitAun sous-ensemble deR. On poseA={−a;aA}. Alors : sup(A) =inf(A)etinf(A) =sup(A). 2) SoitAun sous-ensemble deRetfune application deAdansR. On appelle borne supé-rieure defdansAle nombre (s’il existe)supf(A)(encore notésupaAf(a)) où f(A) ={f(a);aA}.
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CHAPITRE 1. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES RÉELS
De même, la borne inférieure defdansAest donnée parinff(A)(encore notéeinfaAf(a). On dira quefest majorée (resp. minorée, resp. bornée) sif(A)est majoré (resp. minoré, resp. borné). Preuve.en exercice.
1.4 L’ensemble des réels, axiomatique
Théorème 3."corps" des nombres réels est un ensembleLe Rpour lequel sont définies : – deux applications(x, y)7→x+yet(x, y)7→xydeR×RdansRqui prolongent les opérations d’addition et de multiplication définies dansN,ZetQ, – une relation d’ordre totale, qui satisfont aux axiomes suivants : 1.x+ (y+z) = (x+y) +z, 2.x+y=y+x, 3. il existe un élément0Rtel que0 +x=xpour toutxR, 4. pour toutxR, il existe un élémentxRtel quex+ (x) = 0, 5.x(yz) = (xy)z, 6.xy=yx, 7. il existe un élément16= 0tel que1x=xpour toutxR, 8. pour chaque élémentx6= 0deR, il existe un élémentx1Rtel quexx1= 1, 9.x(y+z) =xy+xz. De plus, la relation d’ordre vérifie les propriétés suivantes : 1.xyimpliquex+zy+z, 2. (0xet0y) implique0xy. Proposition 6. Propriété d’Archimède.Pour tout couple de réels(x, y)tel quex >0, il existe nNtel queynx.
1.5 Valeur absolue.
Définition 9.SixR, on appelle valeur absolue dex, notée|x|, le réel défini par |x|=xxsisix0x0,.. Proposition 7. Propriétés de la valeur absolue. 1.xR,|x| ≥0, 2.xR,|x|= 0x= 0, 3.(x, y, r)R3,|xy| ≤ryrxy+r, 4. (1ère inégalité triangulaire)(x, y)R2,|x+y| ≤ |x|+|y|, 5. (2ème inégalité triangulaire)(x, y)R2,||x| − |y|| ≤ |x+y|, 6.(x, y)R2,|xy|=|x||y|.
1.6. LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE 1.6 La fonction partie entière Définition 10.Soitxun nombre réel. Il existe un unique entier relatif, notéE(x), tel que : E(x)x < E(x) + 1. On appelleE(x)la partie entière dex.
1.7 Les intervalles
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On définit les intervalles possibles d’extrémitésa,b,+ou−∞(oùaetbsont deux réels), chaque crochet pouvant être ouvert ou fermé en une extrémité non infinie, et ouvert en une extré-mité infinie(il y a 9 types possibles d’intervalles au total, dont 5 sont bornés). L’ensemble vide est également un intervalle. Par exemple, sia < bsont 2 réels ]a, b] ={xR;a < xb},]− ∞, a] ={xR;xa}. Proposition 8.Une partie deR, notéeI, est un intervalle si et seulement si : (x, y)I2, xy[x, y]I. Preuve.Supposons queIsoit un intervalle (il y a donc 9 cas possibles). Par exemple, supposons I=]a, b]. Soient(x, y)I2tels quexy. Montrons que[x, y]I. Soitz[x, y], cad xzy. Commea < xbeta < yb, on aa < xzybdoncz]a, b]. Réciproquement, supposons qu’une partieIdeRsatisfait(x, y)I2, xy[x, y]I. Montrons queIest un intervalle. SiIest l’ensemble vide, la preuve est terminée. SinonIest non vide. Il y a alors plusieurs cas possibles :Iest majoré ou non,Iest minoré ou non. Supposons par exemple queIsoit majoré et non minoré. Notonsa= sup(I). A nouveau 2 cas sont possibles, ou bienaest un plus grand élément deIou bien il ne l’est pas. Traitons par exemple le cas où il l’est, et montrons queI=]− ∞, a](dans l’autre cas, il faut montrerI=]− ∞, a[). SoitxI. Commeaest un majorant deI, on axadoncx]− ∞, a]. Inversement, soitx]− ∞, a]. On axa. CommeIest non minoré,xn’est pas un minorant deI, il existe doncyItel que y < x. Ory, aIetyadonc[y, a]I. En particulierx[y, a]I. Par ailleurs, les intervalles ouverts possèdent la propriété suivante importante : Proposition 9.SoitIun intervalle ouvert. Alors : aI, >0,]a, a+[I. Preuve.en exercice.
1.8 Densité deQet deR\QdansR
Proposition 10.SoitI=]a, b[(a < b) un intervalle non vide deR. AlorsIQest non vide (Q est dense dansR) ainsi queI(R\Q)(densité deR\QdansR). e un entiernNtel ue1b2a. SPorietukvel.equelrtrpgaslusrlppeoreiDtnèerdpnaadAriétékch/indeaar.P,itxitosiéidenltiuqdnonaesk, on aa <nk+1.Dseplqu1nn2et ba k/naimpliquekn+1a+ (ba)/2 = (a+b)/2< b. Ceci prouve la première relation. Pour la deuxième, on poseJ=]a/2, b/2[. D’après la densité deQdansJ, il existeqJQ (qnon nul). Alors2qI. D’autre part,2qR\Q.
10
CHAPITRE
1.
PROPRIÉTÉS
DES
NOMBRES
RÉELS
devireegtndepeermièreespèce.Sinono,nqtidu(euse)nnetuitsuivedgeer)netiu(sr+dnevun)t.Si(ers+endvsrevuoqtidno,esn)(uueitsunetu,nN,nA>0,NNdntiuquNnuAO.erivntgesuneeditrevdssnu(enet)niti.DéentevergnuseqtunOidno.3(uteenrgvediteui:is+srevdnet)n
Chapitre 2
Suites réelles
Définition 1.Une suite réelle u est une application d’une partieIdeNdansR. Remarque : – On peut généralement se ramener au cas oùI=N, ce que l’on supposera souvent. – Notations :u= (un)nIparfois notée tout simplement(un)n. Proposition 1. Opérations sur les suites.Soientuetvdeux suites réelles etaun réel. On définit les suites : w=uvpar son terme généralwn=unvn. x=u+vpar son terme généralxn=un+vn. y=aupar son terme généralyn=aun. u – De plus, sinN, vn6= 0, on définitz=vpar par son terme généralzn=uvnn.
2.1 Définition, premières propriétés
2.2 Suites convergentes
11.ecèspeeèmxieuededntqtidnO.2noitinéesn)(uteuiesunuDsl,onnotvergever(inuc)nogrneetS.tedivedill,esteegrevetneaptsnocsstdiiteenesuquuideropruitnoéinadelircr:écecierxE.l=nu+nmil:esr)lis:>,0NNgeversl,outendveérel(lleocuorevnontcrgveteenrsveetS.saiun)e(inuélalppeledelimitmoneL.atselerbnN,n,l|n|uN