Cours sur les polynomes et extensions séparables

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Chapitre 7S´eparabilit´e7.1 Polynˆomes et extensions s´eparablesD´efinition7.1.1. a) SoitK un corps commutatif. Un polynˆome irr´eductibleP 2K[X] est s´eparable sur K si et seulement s’il n’a pas de racine multipledans son corps de d´ecomposition.b) Un polynˆome P 2 K[X] est s´eparable sur K si et seulement si ses fac-teurs irr´eductibles sont s´eparables. Dans le cas contraire, on dit que P estins´eparable.Proposition 7.1.2. a) Si K est de caract´eristique nulle, un polynˆ omeirr´eductible de K[X] est toujours s´eparable.b) Si K est de caract´eristique p > 0, un polynˆ ome irr´eductible de K[X] estpins´eparable si et seulement s’il appartient `a K[X ].D´efinition 7.1.3. Soit f : K ! L une extension alg´ebrique (tout ´el´ementde L est alg´ebrique sur K).a) Un ´el´ement 2L est s´eparable si et seulement si son polynˆome minimalest s´eparable.b) L’extension est s´eparable si et seulement si tous les ´el´ements de L sonts´eparables.Proposition 7.1.4. Soit k ! K ! L une tour d’extension. Si k ! L ests´eparable, alors k!K et K!L sont s´eparables.D´efinition 7.1.5. Un corps K est parfait si et seulement si toute extensionalg´ebrique est s´eparable.Remarque 7.1.6. Tout corps de caract´eristique z´ero est parfait.467.2 Corps parfaits de caract´eristique nonnulleOn rappelle que sur un corps K de caract´eristique p> 0, l’application :K ! Kpx 7! xest un homomorphisme, appel´e homomorphisme de Frobenius. Comme ho-momorphisme de corps, il est toujours ...

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Extrait

Chapitre 7

S´eparabilite´

7.1Polynˆomesetextensionsse´parables De´finition7.1.1.a) SoitKcnroummtuspocnp.Uifatmeˆoynolcude´rrielbit P∈K[Xperabaele]ts´ssurKsi et seulement s’il n’a pas de racine multiple danssoncorpsdede´composition. b)UnpolynoˆmeP∈K[X´stse]rsuleabarepKsi et seulement si ses fac teursirre´ductiblessonts´eparables.Danslecascontraire,onditquePest ins´eparable. Proposition 7.1.2.a) SiKomnˆeune,lypoeuqillune´tctsireacartsed irre´ductibledeK[X]urss´epaesttoujo.elbar b) SiKueiqstri´ectracaedtsep >0deibleductrr´emoieylˆnnuop,K[X]est p ins´eparablesietseulements’ilappartient`aK[X]. De´finition7.1.3.Soitf:K→Lueiqou(telt´me´etnunexeetsnoiangle´rb deLruuqsetse´glairbeK). a)Un´el´ementα∈Lmeluesteiselbaraomnˆlypoonistsenmenimilas´epest estse´parable. b)L’extensionestse´parablesietseulementsitousles´ele´mentsdeLsont se´parables. Proposition 7.1.4.Soitk→K→Lune tour d’extension. Sik→Lest se´parable,alorsk→KetK→Lostn´sperabael.s De´finition7.1.5.Un corpsKest parfait si et seulement si toute extension alge´briqueestse´parable. Remarque7.1.6.teprairsftaiiqtueezc´aerraocets´tuocprds.oT

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7.2Corpsparfaitsdecaracte´ristiquenon nulle On rappelle que sur un corpsKecdeuqitsire´tcarap >0, l’application : K→K p x7→x estunhomomorphisme,appele´homomorphismedeFrobenius.Commeho momorphisme de corps, il est toujours injectif. Pour un corps fini, cet homo morphisme est surjectif. The´or`eme7.2.1.ttUsnierrfpacioaptseellunnoneuqtiisert´acarecsd seulement si son homomorphisme de Frobenius est surjectif. Exercice7.2.2.SoitKacartce´cnrospedeuqitsiruellunnonp. p 1. Montrer que sibn’a pas de racinepmedai`ensK, alorsX−best irr´eductiblesurK. 2. Montrerque sibn’a pas de racinepnsi`emedaK, alors pour toutk >0 k p X−betsri´rucedbltiuresK.

7.3Se´parabilite´etmorphismes Etantdonne´deuxextensionsk→Ketk→Lere´tni’racuaessindsa,nodle l’ensembleHom k−alg (K, L) deskmorphismes (morphismes dekg`ald)ebeer KdansL. Proposition 7.3.1.SoientKetLdeux extensions dek. SiKest une ex tension simple :K=k(α), alors l’ensembleHom k−alg (K, L)est en bijection aveclesracinesdupolynoˆmeminimalP α dansL. En particulier :♯Hom k−alg (K, L)≤[K:k]. Th´eore`me7.3.2.Soitk→Knueetxnegr´efini.siondede a) Pour tout extensionk→L,♯Hom k−alg (K, L)≤[K:k]. b) Si l’extensionk→Kpareasts´etsibleeLest une extension dek alge´briquementclose,alors♯Hom k (K, L) = [K:k]. c) S’il existe une extensionLdektelle que :♯Hom k−alg (K, L) = [K:k], alorsk→K.eableeparsts´ Lemme 7.3.3itisnarT(e)t´vi.Si les extensionsk→KetK→Lsont s´eparables,alorsk→Le´starape.blse Th´eor`eme7.3.4.eeUnonsienxte´rgededinfik→Kparats´eietblesse seulementsielleestengendr´eepardese´le´mentsse´parables.

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7.4Ele´mentprimitif The´ore`me7.4.1.Toute extensionk→Kfiniegr´ededeablerape´stseiuqts simple(i.e.admetun´ele´mentprimitif). Exercice7.4.2.Montrer que si le corps de basekest infini, unkespace vectorielE´rueptsanfieiinnousedesoesprspacerpo.sesn’

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Chapitre 8

Th´eoriedeGalois

Notation : On note (F:K) l’extensionK⊂F.

8.1 Extensionsnormales D´efinition8.1.1.Une extensionf:K→Lest normale si et seulement si toutpolynˆomeirr´eductibledeK[X] qui admet une racine dansLe´dnicstse dansL. The´ore`me8.1.2.Soitf:K→Livalenceentre:etsnoi.nlIaye´uquexne a)l’extensionestnormaleetdedegre´fini; b)Lompod´econd’sitisespedctroderieeuomtanipounnˆlyK[X]. D´efinition8.1.3.amel’dnutoruneroUneclˆ:infie´grdedeonsienxtee ′ f:K→Lest une extensiong:L→Ltelle que ′ a) l’extensiong◦f:K→Lest normale, et ′ b) l’extensiong:L→Lpoire´´tae.)tselemanimiprlaurpo Proposition 8.1.4.e`aniqule,uTouxeetsnetanoitemdecunotlˆenurmaor isomorphismepr`es.

8.2 Automorphismesde corps De´finition8.2.1.a) Un automorphisme du corpsKest un homomorphisme bijectif deKedmeˆlmsniau. b) Un automorphisme d’une extension (F:K) est un automorphisme deF quifixeles´ele´mentsdeKon(dartlsertciitnoa`Kl’identit´e).ets

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