Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Applications linéaires

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 82
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Applications linéaires

1

APPLICATIONS LINEAIRES

ECS 1

    I – Applications linéaires 1) Définitions et premières propriétés L’enjeu est de déterminer des applications qui transportent la structure d’espace vectoriel. La notion « clé » des espaces vectoriels est la notion de combinaison linéaire. Ce sont donc les applications qui conservent cette notion. Définition : SoientEetFdeux espaces vectoriels surK. Une application deE dansF est une application linéaire (ou homomorphisme) si : (u,v)E 2 f(uv)f(u)f(v ) et KuE f(u) f(u) . Ceci équivaut à :  K(u,v)E 2 f(uv) f(u)f(v ). Exemple 1: L’applicationfqui à tout vecteuru(x,y) de 2 associe le vecteur f(u) (xy,xy, 2x3y) de 3  linéaire. En effet, pour tous réels est et tous vecteursu(x,y) etv(x',y') , on a : - D’une partf(u) (xy,xy, 2x3y) etf(v) (x'y',x'y', 2x'3y') , donc :f(u)f(v) (xy,xy, 2x3y)(x'y',x'y', 2x'3y'), donc :  f(u)f(v)(x yx'y',x yx'y', 2x3y2x'3y') - D’autre partuv (x,y)(x',y')(xx',yy')(X,Y), donc : f(uv)(XY,XY, 2X3Y) f(uv)(xx' yy',xx' yy', 2x2x'3y3y' Donc  (u,v)E 2 f(uv) f(u)f(v ). Doncfest une application linéaire de 2 dans 3 . Exemple 2: L’applicationfqui à tout polynômePdeE[X le polynôme] associe f(P)P' deF[X effet, pour tous réels , et tous polynômes] est linéaire. EnP  etQ:f(PQ)(PQ) ' P'Q' f(P)f(Q). Théorème : Sifest une application linéaire deEdansF, alorsf(0 )0 F . Démonstration : Il suffit par exemple de prendre0 ,uétant quelconque. f(0 E )f(0u)0f(u)0 F . Théorème : Sifest une application linéaire deEdansF, alors : n n ( 1 ,..., n )K n (u 1 ,...,u n )E n f  k u k  k f(u k )   k  1    k  1 . Démonstration : Récurrence évidente. Définitions : On appelle :   endomorphisme deEtoute application linéaire deEdansE.   isomorphisme deEdansFtoute application linéaire bijective deEdansF.   automorphisme deEtoute application linéaire bijective deEdansE. Par exemple, la dérivation est un endomorphisme deE[X] . 2) Matrice d’une application linéaire en dimension finie Supposons queEetFsoient deux espaces vectoriels de dimension finie : - Eest de dimensionpet de base(e 1 ,...,e p ) . - Fest de dimensionnet de base'(e' 1 ,...,e' n ) .