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Publié par | cours-cpge |
Publié le | 01 janvier 2010 |
Nombre de lectures | 176 |
Licence : |
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Langue | Français |
Extrait
MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel page 1/4
Peut-ˆetre consid´er´e comme solide, tout syst`eme dont les distances mutuelles des
Changements de r´ef´erentiel
´el´ements restent invariables au cours du temps.
Table des mati`eres
Le solide de r´ef´erence est immobile pour l’observateur comme si l’observa-
teur faisait partie du solide.
1 R´ef´erentiel 1
L’origine et les vecteurs de base restent donc immobiles dans la description du
1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
mouvement, ind´ependants du temps.
1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Vecteur rotation 1
2.1 D´eriv´ee d’un vecteur par rapport au temps . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exemple
2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . 2 Pourunobservateur immobilesurle quai, le solideder´ef´erence estle quai, notons
le r´ef´erentiel correspondantR .
2.3 Composition des vecteurs rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
Pour un observateur immobile dans un train, le solide de r´ef´erence est le train,
3 Composition des vitesses et des acc´el´erations 3 notons le r´ef´erentiel correspondantR .
2
Quelle est la vitesse d’un passager (rep´er´e par M) qui se d´eplace dans le train?
3.1 Vitesse d’entraˆınement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
La r´eponse sera diff´erente selon l’observateur.
3.2 Acc´el´erations d’entraˆınement et de Coriolis . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dans un probl`eme ou` interviennent plusieurs r´ef´erentiels, il faudra toujours pr´e-
3.3.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . 4
ciser par rapport `a quel r´ef´erentiel on travaille.
1 R´ef´erentiel
dO M
1
v(M) = est la vitesse du passager par rapport au quai.
1.1 D´efinitions
R
1
dt
R
1
dO M
La description d’un mouvement est relative : elle d´epend de celui qui observe le 2
v(M) = est la vitesse du passager par rapport au train.
R
2
dt
mouvement.
R
2
Quand on d´erive par rapport `a R , O et les vecteurs de la base de R sont
1 1 1
consid´er´es comme ind´ependants du temps puisque immobiles par rapport `a R
Pour d´ecrire un mouvement, il faut donc pr´eciser l’observateur ou encore
1
par d´efinition.
le r´ef´erentiel.
Quand on d´erive par rapport a` R , O et les vecteurs de la base de R sont
2 2 2
consid´er´es comme ind´ependants du temps puisque immobiles par rapport a` R
2
Un r´ef´erentiel est l’ensemble d’un rep`ere (spatial) li´e `a un solide de r´ef´erence et par d´efinition.
d’une chronologie dans ce rep`ere.
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel page 2/4
2 Vecteur rotation Finalement, trois param`etres p, q, r suffisent a` caract´eriser le mouvement
deR par rapport `aR ; ces trois param`etres d´efinissent le vecteur rotation :
2 1
Soit R un r´ef´erentiel de base (e ,e ,e ) et R un r´ef´erentiel de base
1 x y z 2
1 1 1
(e ,e ,e ) en mouvement quelconque par rapport `aR .
ω = pe +qe +re
x y z 1
2 2 2 x y z
R /R 2 2 2
2 1
de
2.1 D´eriv´ee d’un vecteur par rapport au temps
x
2
= re −qe =ω∧e
y z x
2 2 2
dt
R
1
Soit A(t) un vecteur quelconque.
Exprimons A(t) dans la base deR et d´erivons par rapport `aR :
2 1
de
y
2
=−re +pe =ω∧e
x z y
2 2 2
dt
R
1
A(t) = A e +A e +A e
x x y y z z
2 2 2 2 2 2
de
z
2
dA = qe −pe =ω∧e
x y z
2 2 2
˙ ˙ ˙
dt
= A e +A e +A e +A e˙ +A e˙ +A e˙
x x y y z z x x y y z z
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R
1
dt
R
1
Finalement
dA dA
dA dA
= +A e˙ +A e˙ +A e˙
x x y y z z
2 2 2 2 2 2
dt dt = +ω ∧A
R /R
2 1
R R
1 2
dt dt
R R
1 2
Exprimons les vecteurs e˙ , e˙ , e˙ , qui caract´erisent le mouvement deR par
x y z 2
2 2 2
rapport a`R , dans la base deR :
1 2
2.2 Cas particuliers
de
x
2
= a e +a e +a e 2.2.1 Translation
11 x 12 y 13 z
2 2 2
dt
R
1
SiR est en translation par rapport `aR , les axes deR gardent une direction
2 1 2
de
y
2 fixe par rapport `a ceux deR
1
= a e +a e +a e
21 x 22 y 23 z
2 2 2
dt
R
1
de de de
x y z
2 2 2
= = =0 ⇒ p = q = r = 0 ⇒ ω =0
de R /R
2 1
z
2
dt dt dt
= a e +a e +a e
31 x 32 y 33 z R R R
2 2 2 1 1 1
dt
R
1
La base ´etant orthonorm´ee :
dA dA dA
= =
dt dt dt
de R R
1 2
x
2 2 2
e =ke k = 1 ⇒ 2e . = 0 ⇒ a = 0
x x 11
x 2 2
2
dt
2.2.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe
de mˆeme a = a = 0
22 33
Si R est en rotation uniforme `a la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe de
2
de de
x y
2 2
e .e = 0 ⇒ .e +e . = 0 ⇒ a +a = 0 ⇒ a =−a = r
x y y x 12 21 12 21 R par exemple e =e =e
2 2 2 2
1 z z z
1 2
dt dt
de
de mˆeme a =−a = p et a =−a = q
x
23 32 31 13 2
= ωe
y
2
dt
R
1
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel page 3/4
de
y
2
v(M) =v(M) +v
R R e
1 2
=−ωe
x
2
dt
R
1
avec v appel´e vitesse d’entraˆınement :
e
ce qui implique r = ω et p = q = 0
v =v(O ) +ω ∧O M
e 2 R R /R 2
1 2 1
ω = ωe
z
∗
Pour calculer v on peut aussi immobiliser M dans R en notant M la
e 2
position correspondante :
Dans le cas d’une rotation uniforme autour d’un axe fixe, le vecteur rotation est
∗ ∗
v(M ) =v(M ) +v =v
port´e par l’axe et a pour norme la vitesse angulaire. R R e e
1 2
2.3 Composition des vecteurs rotation
Lavitessed’entraˆınementpeutaussisecalculercommelavitesseparrapport
∗
`aR de M appel´e point co¨ıncident.
1
SoientR ,R etR
1 2 3
dA dA dA
3.2 Acc´el´erations d’entraˆınement et de Coriolis
= +ω ∧A = +ω ∧A+ω ∧A
R /R R /R R /R
2 1 3 2 2 1
dt dt dt
R R R
1 2 3
dv(M)
R
1
dA a(M) =
R
1
= +(ω +ω )∧A dt
R /R R /R
3 2 2 1 R
1
dt
R
3
dv(O ) dv(M) d
2 R R
1 2
= + + ω ∧O M
2
R /R
ω =ω +ω 2 1
R
R /R R /R R /R 1
3 1 3 2 2 1
dt dt dt
R R
1 1
Calculons les trois termes s´epar´ement
dA dA
remarque : = −ω ∧A
R /R
2 1
dt dt
R R
2 1
dv(O )
2 R
1
=a(O )
2 R
1
dt
R
ω =−ω 1
R /R R /R
1 2 2 1
dv(M) dv(M)
R R
2 2
= +ω ∧v(M)
R
R /R 2
2 1
dt dt
R R
1 2
3 Composition des vitesses et des acc´el´erations
=a(M) +ω ∧v(M)
R R
R /R
2 2 1 2
3.1 Vitesse d’entraˆınement
dω
d dO M
R /R 2
2 1
ω ∧O M = ∧O M+ω ∧
R /R 2 2 R /R
2 1 2 1
R
1
dt dt dt
R
dO M dO O dO M 1
1 1 2 2
v(M) = = +
R
1
" #
dt dt dt
R R R
1 1 1
dω
dO M
R /R
2 1 2
= ∧O M+ω ∧ +ω ∧O M
2 2
R /R R /R
2 1 2 1
dO O dO M
1 2 2 dt dt
R
2
= + +ω ∧O M
R /R 2
2 1
dt dt
R R
1 2
dω
R /R
2 1
= ∧O M+ω ∧ v(M) +ω ∧O M
=v(O ) +v(M) +ω ∧O M 2 R 2
R /R 2 R /R
2 R R 2 2 1 2 1
1 2 R /R
2 1
dt
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007
MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef