Exercice N°107: Équations différentielles linéaires
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Exercice N°107: Équations différentielles linéaires

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Description

⋆⋆ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′⋆′′′⋆′′′′′′′′′⋆′′⋆⋆′′′′′′′′⋆′⋆′′′′′′′′′′′′′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 ´ Equations diff´erentielles lin´eaires EDL d’ordre 1 EDL d’ordre 2 `a coefficients constants Exercice 1 : R´esolvez sur R les ´equations diff´erentielles suivantes : Exercice 8 : R´esolvez sur R les

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Langue Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

´
Equations

EDL d’ordre 1
Exercice 1 :veolesR´urzsRssiuavtnneitleeles:esloitauqe´re´ffidsn
1.y′+ 2y=t2. 3.y′+y= 2 sint.
2.y′−y= (t+ 1)et. 4.y′+y=t−et+ cost.

Exercice 2 :ezsusolvR´erRanivs:tedsnoitauqe´selsuesllientre´eiff
1. (t2+ 1)y′+ 2ty+ 1 = 0. ( 4.t2+ 1)2y′+ 2t(t2+ 1)y= 1.
2.y′+ 2t y= 2te−t2 + cos (2. 5.t)y′+ sint y= (2 + cost) sint.
3.√1 +t2y′−y ( 6.= 1t2+ 1)y′−t y= (t2+ 1)32.

diffe´rentiellesline´aires

Exercice 3 :zsveleurR´oless´equaticifi´eslellsepse´istnreavs:teanivsueslleitnere´ffidsno
1.ty′+αy= 0I=R+⋆(α∈R). 5. sht y′−cht y= 1,I=R+⋆.
2.y′sint−ycost+ 1 = 0,I=]0 π[. 6.√t2−1y′+y= 1,I=]1+∞[.
3.√1−t2y′+y= 1,I=]−11[. 7. sin3t y′= 2 cost y,I=]0 π[.
4.y′+ytant= sin 2t,I=]−2π2π[. 8.y′−1 +ty2=e−Arctan (1t),I=R+⋆.

edseme`lborPhyucCa
Exercice 4 :lzse´RseloevrpboCauchyl`emesdesuivants
y′+y2(t0y=)=t2e−t2(t2+ 1)y′+ 2ty=tlnt
y(1) = 0

Exercice 5 :Soita∈R⋆etfinpe´dfieralationfonc
8<:0 sit≤0
pour toutt∈R f(t) =tsi 0≤t≤1
1 sit≥1

R´esolvezlelbe`emedaCcuyhprosuivant :
y′+ay=f(t)
(S)y(0) = 0

Exercice 6 :lzeloev´RseuchydeCa`emeroblpsuivant :xy′′==yx−+tt, avec les conditions ini-
tialesx(0) = 1 ety(0) = 0.
Nb :xetysont deux fonctions inconnues.

Exercice7:Proble`medeCauchyd’ordre2
Soientω0 ωdcietssrte´leuerxdietfstisipontmeevlose´R.stcnitslz´’qeauitnoid´fferentielle
y” +ω2y= cos(ω0t)
avec les conditions initialesy(0) = 1 ety′(0) = 1.

1

Semainedu12aoˆut2011

EDLdre2`’ordeicffieocatsnocstntsan
Exercice 8 :uroRl´eszsveR´ffidneretauqsnoil´ees:uivantestielless
1.y” + 2y′+ 2y= 2t−sint4.y” +y=tsint.
2.y”−3y′+ 2y=tcht5.y”−2y′+y=tet
3.y”−2y′+y= 2cht6.y′′−4y′+ 4y= sin(t)

Exercice 9 :vlzeusrRso´eRviussell:setnationsdiff´erentieel´sqeau
1.y′′−2y′+ 2y=excosx
2.y′′+ 4y′+ 4y= ch (2x) cosx.
3.y′′+ 2y′+y= 2xch (x) cos(x).

tionscntiefficoeacsuner`2o’drDEdL
Exercice 10 : Changement de fonction inconnue
R´esolvezsurReesatqulnereleitsnoi´ffidiuavelss:tnse
´
1. (1 +t2)y” + 2t y′= 0.
2. (1 +et)y” +y′−ety= 0, en introduisant la fonctionz(t) =y′(t) +y(t).

Exercice 11 : Changement de variable
1. En utilisant le changement de variables= Arctant, pourt∈Ruqta’le´vlzee´os,rnio
(1 +t2)2y” + 2(t−1)(1 +t2)y′+y= 0

2. En utilisant le changement de variables= Arccost, pourt∈]−11[lvso´e,re´uqze’lntaoi
(1−t2)y”−ty′+ 4y= Arccost
3. En utilisant le changement de variables= lnt, pourt∈R+⋆r´esolvezl’´equation
t2y” +ty′−y=t2

iMcslenelasou
Exercice 12 :unsenoitesfoteslonscncti´Dreteenimuotzf:R+→Rt:anifier´v
(⋆ tout) pourt∈R+⋆2t f(t) = 3Z0tf(u)du

Exercice 13 :etermineD´esnuscontionofseitcnuotzlsetf:R→Rtn:irafive´
t
Z0
(⋆⋆ tout) pourt∈R f(t)−uf(u)du= 1

Exercice 14 :Soitg:R→Rune fonction de classeC1.
1.De´montrezqu’ilexisteuneuniquefonctioncontinuef:R→Rtelle que
pour toutx∈R f(x) =g(x) +Z0xt f(t)dt
2. Calculezflorsqueg´dtsinfieeuresRparg(x) =x2.

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