Exercices de calcul différentiel – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Géométrie différentielle

Mathilde Petit

Description

Ces courts exercices sur le calcul différentiel et les équations différentielles, sans correction mais mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 4 séries : (1) Equations différentielles (2) Calcul différentiel (3) Géométrie différentielle (4) Calcul intégral

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 120
• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Calcul différentiel et EDO (3) :

Géométrie différentielle

1. Soit(Γ)l’arc paramétré(x=t;y=t 2 ;z=t 3 )et(Σ)la surface engendrée par la normale au pointM(t)de(Γ)qui est parallèle au plan(z= 0). Déterminer une représentation paramétrique de(Σ); étudier l’existence du plan tangent en un point de(Σ). 2. SoitSla surface d’équation cartésiennez 2 −x 2 −y 2 = 1. ReconnaîtreS. SoitDla droite d’équations :(2x+y= 0 x+z= 0); déterminer le contour apparent de Sdans la direction deD

3. SoitSune surface d’équationz=f(x y). Prouver queSest de révolution d’axeOzsi et seulement si en tout pointM, la normale enMàSest parallèle ou sécante àOz. 4. Soit(Σ)une surface de classeC 1 et −→ uun vecteur non nul. Un arc(Γ)de(Σ)est une hélice de direction − u → si l’angle de −→ uet de la tangente à(Γ)en ses points réguliers est constant. Déterminer les hélices de directionu −→ z sur le paraboloïde de révolutionx 2 +y 2 = 2pz.

5.

6.

Un pointMdécrit une ellipse. La normale enMrecoupe l’ellipse enP. Quelle est la longueur minimale deM P? Mme question avec une parabole. a b R Tdes constantes réelles strictement positives, on considère la relationétant (1)P(V−b) exp( a TRV ) =RT 

F5-35

f5-59

f5-60

F4-22

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Démontrer que(1)définit au voisinage de 0 une fonctionf:P7→P V. Démontrer quefadmet un développement limité d’ordre 1 en 0 et déterminer ce développement limité. Soit(C)la courbe représentative def. Déterminer sa tangente au point d’abscisse0. Déterminer(V c  P c  T c )tel que, siT=T c , le relation(1)définisse au voisinage deV c une fonctiong:V7→Pde classeC 2 telle queg 0 (V c ) =g”(V c ) = 0. e1-30 1 7. Prouver que la courbe(Γ) :  x= t ;y= t t 2 − − 1 ; 3 z= t− 4 1  est une hyperbole. Déterminer son plan, son centre, 1 + ses asymptotes, ses axes. f4-25 8. SoitSla surface d’équati 2 2 +z 2 = 1; déterminer l’ensemble des points deSoù le plan tangent est parallèle onx−y au plan d’équation2x+y−z= 0.CCP f5-003 it la surface paramétréx=u+ 1 ;y=v+ 1 ;z= u v . Décrire les courbes c + 9. So e(Σ)  u vu v o son contour apparent dans la direction de l’axeO u −→ z . f5-26

ordonnées de(Σ). Déterminer

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011