Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Dénombrement: indications et réponses

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices ou problèmes de probabilités, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Dénombrement (2) Probabilités (3) Variables aléatoires discrètes (4) Variables aléatoires à densité. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Dénombrement

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2013
• Nombre de lectures: 107
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Réponses de Probabilités

1 -
-

Réponses et Indications (Dénombrement)

Exercice 1
1) N1=220 .
2) N2=15 . Séparer en trois cas selon les couleurs.
3) N3=136 . Eliminer les tirages sans boule verte.
4) N4=140 . Séparer en deux cas : trois boules impaires ou deux boules impaires.
5) N5=33 . Séparer en deux cas : la boule paire est rouge ou pas.
Exercice 2
1) N1= Il s’agit de 4-listes des jours possibles.625 .
2) N2=120 . Il s’agit de 4-listes sans répétition.
3) N3= Eliminer les listes où toutes les boulangeries sont fermées le même jour.620 .
Exercice 3
1) Tous les chemins minimaux ont la même longueur 12 (6 horizontaux et 6 verticaux).
2) N2= Il s’agit d’ordonner les 6 déplacements horizontaux et les 6 verticaux.924 .
3) N3=225 . Raisonner comme au 2) entreAetO, puis entreOetB.

Exercice 4
N=377 .
Séparer en plusieurs cas selon le nombre de sauts de deux marches : si elle effectueksauts
de 2 marches, compter combien elle fera de sauts d’une marche, et donc quel est le
nombre total de sauts effectués dans ce cas ; il reste à les ordonner.
ercice 5
Ex
n
1) =0kn=2n.
k
2=2−
) k=n0knknn1.
3) nn= −2
k=0k(k−1)kn(n1)2n−.
Exercice 6
k=pnkp=np++11. Transformer la somme en somme télescopique avec la formule de Pascal.
Exercice 7
p1
. Même m
k=0pn−−kk=n+péthode que dans l’exercice 6.
Exercice 8
SoientEetFdeux ensembles finis non vides tels que CardE=pet CardF=n.
.
On noteSnple nombre de surjections deEdansF. On poseS0p=0
1) Snp=0 sin>petSnp=n! sin=p.
2) S1p=1 car siF={a}, il n’y a qu’une application (surjective).
3) S2p=2p− si2 carF={a,b}il n’y a que 2 applications non surjectives.

Réponses de Probabilités - 2 -

n
4) np=k=nkSkp. Toute applicationfdeEdansFest surjective deEdansf(E) , donc
0
effectuer une partition de l’ensemble de ces applications selon le cardinal def(E) .
5) Une applicationfest déterminée par sa restrictionfaàE−{a}et parf(a) .
a) N1=nSpn−1car on choisitf(a une surjection de) etE−{a}dansF.
b) N2=nSnp−−11car on choisitf(a) et une surjection deE−{a}dansF−{f(a)}.
=
c) SpnN1+N2car on a une partition de l’ensemble des surjections selon quef(a)
a un ou plusieurs antécédents.
6) Déclarer une variable « tableau »S de dimension 100× demander à l’utilisateur100 ,
deux entiersnetpentre 1 et 100, lire ces valeurs. InitialiserS(0,0) :=1. Puis dans une
boucle dei:=1 àn, initialiserS(i,0) :=0 , faire une boucle dej:=1 àp avec
S(0,j) :=0 , etS(i,j) :=0 sii>j etS(i,j) :=i* [S(i,j−1)S(i−1,j−1)] sinon.
AfficherS(n,p) .

Exercice 9
1) Γ1p=1 etΓ2p=p+1.
p
2) Γnp=Γkn−1 (. Effectuer une partition en rangeantp−k) boules dansTn.
k=0
3) Γ3p=(p+(1)2p+ t2e )Γ4p=(p+1)(p6+2)(p+3).
4) Dans l’hérédité, supposer que la propriété est vraie pour tout entierpet utiliser la
formule de Pascal pour transformer la somme du 2) en somme télescopique.
5) tableau »Déclarer une variable «Gde dimension 100×100 , demander à l’utilisateur
deux entiersnetpentre 2 et 100 et lire ces valeurs. InitialiserG(0,0) := Puis dans1 .
une boucle dei:=1 àn, initialiserG(i,0) :=1, faire une boucle dej:=1 àp avec
G(0,j) :=0 et, en initialisantG(i,j) :=0 , faire une boucle dek:=1 àjavec
G(i,j) :=G(i,j)+G(i−1,k) . AfficherG(n,p) .

Exercice 10
Soitnun entier naturel non nul.
On possèdenboules numérotées de 1 ànque l’on veut ranger dansncasiers numérotés de
1 àn. On suppose que l’on ne peut mettre qu’une boule par casier.
Une boule est « bien rangée » si elle est mise dans le casier qui porte son numéro. Sinon,
on dit qu’elle est « dérangée ».
1) N=n! car il s’agit d’ordonner lesnboules.
2) sont : 1-2-3 (3 boules BR et 0 boule D), 1-3-2 (1 boule BRLes dispositions possibles
et 2 boules D), 2-1-3 (1 boule BR et 2 boules D), 2-3-1 (0 boule BR et 3 boules D),
3-1-2 (0 boule BR et 3 boules D) et 3-2-1 (1 boule BR et 2 boules D).
3) a)d1=0 ,d2=1 etd3=2 .
b) Nk=ndkcar on choisit leskboules dérangées, puis on range les autres, puis on
k
place leskboules dérangées dans leskcasiers vides.
c) En faisant varierkeffectue une partition de l’ensemble des dispositions., on
=
d) d49 .
4) et vérifier qu’il est égal au premier.Calculer le second membre
5) a) Introduire l’expression avec les factorielles.
b) Utiliser le 5) a) et le 3) c).

Réponses de Probabilités - 3 -

c) (Dans la somme de 0 àn−1) , effectuer le changement de variablej=k1 et
utiliser l’hypothèse du 5).
1n1 1
d) (−1)= 1) 10 donc ( 1) (
kn=+0k+knk=1kn+−k= −n−.
e) (Utiliser le 3) c) pourn+ isoler la somme de 1 à1) etn.
6) Récurrence.
7) d6=265 .
8) On utilisera une variablep stocker les puissances de ( pour−1) . Demander à
l’utilisateur un entiern> lire cette valeur. Initialiser0 ,d:=1 etp:= Puis faire une1 .
boucle dek:=1 ànavecp:= −petd:=k*d+p. Afficherd.
Exercice 11 (d’après ESCP 93 voie S)
Partie A : Etude du nombre d’involutions deE
1) Il y a équivalence entre bijectivité et injectivité carfest une application deEdansE.
2) T1=1 ,T2=2 etT3=4 .
3) cara) Evidentf(1) , ...,f(n− deux à deux distincts, et distincts de1) sontf(n)=n.
b) Le nombre d’involutionsfdeEtelles quef(n)=nestTn−1.
c) Le nombre d’involutionsfdeEtelles quef(n)=kestTn−2carf(k)=n.
d) Effectuer une partition de l’ensemble des involutions selon la valeur def(n) .
4) Comme il s’agit d’une récurrence double, on utilise 3 variables :Tpour stockerTn,U
pour stockerTn−1etVpour stockerTn−2. Demander à l’utilisateur un entiern≥3 , lire
cette valeur. InitialiserU:=1 etT:= puis faire une boucle de2 ,k:=3 àn avec
V:=U,U:=TetT:=U+(k−1) *V. Afficher la valeur deT.
Partie B : Interprétation à l’aide d’une suite de polynômes
Soitula fonction définie par :∀x∈u(x)=ex22.
1) u' (x)=xu(x) etu"(x)=(x2+1)u(x) .
2) uest de classeC∞par composition de fonctionsC∞.
Dériver (n− la relation1) foisu' (x)=xu(x) avec la formule de Leibniz.
3) a)H0(x)=1,H1(x)=xetH2(x)=x2+1.
b) Hn(x)=xHn−1(x)+(n−1)Hn−2(x) .
c) Par récurrence double,Hnest un polynôme de degrén, de même parité quenet
strictement positif sur ]0,+∞[ .
d) Les deux suites ont mêmes premiers termes et même relation de récurrence.
4) de deux manières différentesa) Calculeru(n+1)(x) .
H'+(0)=(p.
b) H2p(0)=2(p2×p)!p !et H'2p(0)=0 . EtH2p+1(0)=0 etp22p×p )!1!
2 1
5) a) Calculer de deux manières différentesu(n+2)(x Utiliser le 3) b).) .
b) ∀x∈]0,+∞[vn(x)>0 etv'n(x)>0 .
v2p(0)=2(p2×p)p ! !tev'2p(0)=0 . Etv2p+1(0)=0 etv'2p+1(0)=2(2pp×1p! .!)
x
2
v" vx n x
c) n( )=+12+4n .( )
2
d) Encadrerx4 s ]ur0[1, te irévreif vn(x)≥0 .

- 4 -

Réponses de Probabilités

Partie C : Recherche d’un équivalent
1) a)λ = µ =2a.
b) ∀x∈[0,1] (x)>0 etϕ"(x)= β2ϕ(x) .
c) w(0)=0 et∀x∈[0,1]w' (x)≥0 , donc∀x∈[0,1]

w(x)≥0 .
∀x∈1=( ) .
d) Etudier les variations de la fonctionhdéfinie par [0, ]h(x)ϕf(xx)
−βx
e) Utiliser l’expression de (x) et majorere.
f) telleIntroduire une fonctionψ(x)= λeαx+ µe−αxavec (0)=aet ' (0)=0 .
On trouveλ = µ =ar que . Montre2∀x∈[0,1] (x)>0 etψ"(x)= α2ψ(x) .
Introduire la fonctionzdéfinie par∀x∈[0,1]z(x)=f(x () 'x)−f' (x) (x) .
Montrer quez(0)=0 et∀x∈[0,1]z' (x)≤ donc0 ,∀x∈[0,1]z(x)≤0 .
En déduire∀x∈[0,1] (x)≤f(x)