Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Sous-espace vectoriel de dimension finie

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 45
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Sous-espace

vectoriel

de

dimension

finie

Enoncés

Exercice 1[ 01641 ][correction]
SoientF Gdeux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielEde dimension
finien∈N.
Montrer que sidimF+ dimG > nalorsF∩Gcontient un vecteur non nul.

Exercice 2[ 01642 ][correction]
DansR4on considère les vecteurs
u= (1010)~v= (01−10)w~= (1111)x~= (0010)ety~= (110−1).
~
SoitF=Vect(w~v~u~)etG=Vect(y~~x).
Quelles sont les dimensions deF G F+GetF∩G?

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On sait
dimF+G= dimF+ dimG−dimF∩G

donc

dimF∩G= dimF+ dimG−dimF+G

ordimF+G6dimE=ndoncdimF∩G >0.
Par suiteF∩Gpossède un vecteur non nul.

Exercice 2 :[énoncé]
(v~w~u~)famille libre donc une base deforme une F. AinsidimF= 3.
(y~x)forme une famille libre donc une base deG. AinsidimG= 2.
~
(~~vuw~~x)famille libre donc une base deforme une R4. AinsiF+G=Eet
dimF+G= 4.
EnfindimF∩G= dimF+ dimG−dimF+G= 1.

Corrections

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD