Sujet : Algèbre générale, Polynômes de Tchebychev

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Polynômes. Fraction rationnelles. Suites numériques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Langue: Français

Extrait

Polynômes de Tchebychev

Partie I

On définit une suite de polynômes ()∈ℕen posant0=1,1=et∀∈ℕ,+2=2+1−.
Ces polynômes sont appelés polynômes de Tchebychev de première espèce.
1.a Expliciter2et3.
1.b Déterminer le degré du polynômeainsi que son coefficient dominant.
2.a Etablir que pour tout∈ℕet toutθ∈ℝ, on a(cosθ)=cosθ.
2.b En déduire les valeurs de(1) et′(1) .
2.c Pour∈ℕ∗, déterminer les racines deappartenant à l’intervalle−1,1 .
Combien y en a-t-il ? Qu’en déduire ?

Partie II

L’objectif de cette partie est de calculer li+m∞où==∑112.
→
1.a Réaliser la décomposition en éléments simples de(1−)1.
En déduire la que pour tout1 et≥1 ,≤2−. 1
valeur de la somme∑2(1)
−
=
1.b Etablir que la suite () converge. On noteℓsa limite.
2. O it1
n introdu′=∑=1(2−1)2.

2.a Former une relation exprimant2en fonction deet′.
2.b En déduire que (′) converge et exprimer sa limiteℓ′en fonction deℓ.
Nous allons maintenant poursuivre l’étude en calculantℓ′à l’aide des polynômes de Tchebychev :
3.

3.a

3.b

4.a

4.b

Soit∈ℕ∗. Pour∈ {1,…,}, on note=cos (22−1)πles racines de.
Etablir l’égalité′=1
 =∑1−.
En déduire∑1=2
,
=11 cos (21)π
−
−
2
puis les valeurs des sommes :∑=1sin2(12−1)πet=∑1tan2(21−1)π.
44
Justifier par un argument de convexité que, pour tout∈0,π2: sin≤

En déduire un encadrement de′puis les valeurs deℓ′etℓ.

≤tan