Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Matrice jacobienne

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• Classe préparatoire aux grandes écoles
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• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Matrice

jacobienne

Exercice 1[ 00052 ][correction]
a) Calculer le jacobien de l’application(r θ)7→(rcosθ rsinθ)
b) Mme question avec(r θ ϕ)7→(rsinθcosϕ rsinθsinϕ rcosθ).

Enoncés

Exercice 2X MP[ 01323 ][correction]
Soitf∈ C2(RnRn)dont la matrice jacobienne est, en tout point, antisymétrique.
Montrer qu’il existeb∈RnetA∈ Mn(R)antisymétrique tels que :

∀x∈Rn f(x) =Ax+b

1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Les deux applications sont de classeC1
a) On obtientr.
b) On obtientr2sinθ.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Notonsf1     fnles fonctions composantes defetD1    Dnles opérateurs de
dérivées partielles.
L’antisymétrie de la matrice jacobienne defdonne

∀i j∈ {1     n}Di(fj) =−Dj(fi)

Exploitons cette propriété pour établir que les dérivées partielles defsont
constantes
Soienti j k∈ {1     n}. Par antisymétrie

Dk(Djfi) =−Dk(Difj)

Par le théorème de Schwarz, puis par antisymétrie

Dk(Djfi) =−Di(Dkfj) = Di(Djfk)

A nouveau par le théorème de Schwarz et par antisymétrie

Dk(Djfi) = Dj(Difk) =−Dj(Dkfi)

Enfin, en vertu du théorème de Schwarz, on obtient

Dk(Djfi) = 0

Ainsi toutes les dérivées partielles deDjfisont nulles et doncDjfiest constante.
En posantaijla valeur de cette constante, on obtient

Jac(f) = (aij)16i6n16j6n=A∈ Mn(K)antisymétrique

Enfin en intégrant, on obtient

f(x) =Ax+bavecb=f(0)

2

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