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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 37 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Résolution par changement de variable
Exercice 1[ 00415 ][correction]
Résoudre surRl’équation
(1 +x2)2y00+ 2(x−1)(1 +x2)y0+y= 0
en procédant au changement de variablet= arctanx.
Exercice 2[ 01564 ][correction]
Résoudre surR
(x2+ 1)2y00+ 2x(x2+ 1)y0+y= 0
viat= arctanx.
Exercice 3[ 00416 ][correction]
Résoudre sur]−11[l’équation
(1−x2)y00−xy0+ 4y= arccosx
en procédant au changement de variablex= cos(t).
Exercice 4[ 00414 ][correction]
Résoudre surR+?l’équation
en posantx= et.
x2y00+xy0+y= 0
Enoncés
Exercice 5[ 01566 ][correction]
Résoudre surR+?les équations suivantes via le changement de variablet= lnx.
Exercice 6
Résoudre
a)x2y00+xy0−y=x2
[ 01567 ][correction]
en posantx=sht.
(1 +x2)y00+xy
b)x2y00−2y=x
0−4y= 0
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Soityune fonction deux fois dérivable définie surR.
Posonszla fonction définie sur]−π2 π2[parz(t) =y(x) =y(tant).
zest deux fois dérivable.
Après calculs :
yest solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si,zest solution
de l’équationz00−2z0+z= 0i.e.z(t) = (λt+µ)etavecλ µ∈R.
On en déduity(x) = (λarctanx+µ)earctanxavecλ µ∈R.
Exercice 2 :[énoncé]
Soityune fonction deux fois dérivable surRetz:I= ]−π2 π2[→Rdéfinie
parz(t) =y(tant).
zest deux fois dérivable et
∀x∈R y(x) =z(arctanx)
y0(x) =z0crta(1+xan2x)ety00(x) =−(2+1xx2)2z0(arctanx1+)+1(x2)2z00(arctanx)
yest solution si, et seulement si,zest solution surIde l’équationz00+z= 0.
On obtient
z(t) =λcost+µsint
et
λ+µx
y(x) =√1 +x2
Exercice 3 :[énoncé]
x= cost t= arccosx x∈]−11[,t∈]0 π[.
Soityune fonction deux fois dérivable définie sur]−11[.
Posonszla fonction définie sur]0 π[parz(t) =y(x) =y(cost).
zest deux fois dérivable.
Après calculs :
yest solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si,zest solution
de l’équation différentiellez00+ 4z=ti.e.
z(t) =λcos 2t+µsin 2t+14tavecλ µ∈R
On en déduit
p
y(x) =λ(2x2−1) + 2µx1−x2soccra4+1xavecλ µ∈R
Exercice 4 :[énoncé]
Soity:R+?→Rune fonction deux fois dérivable.
Posonsz:R→Rdéfinie parz(t) =y(et).zest deux fois dérivable.
y(x) =z(lnx),y0(x) =x1z0(lnx)ety00(x) =x12z00(lnx)−x12z0(lnx).
Par suitex2y00+xy0+y= 0⇔z00+z= 0.
Solution générale :y(x) =λcos(lnx) +µsin(lnx).
Exercice 5 :[énoncé]
a) Les solutions surR+?sont :
x) =C1+C x2
y(x2x3+
b) Les solutions surR+?sont :
x
y(x) =C1+C2x2−
x2
Exercice 6 :[énoncé]
Soityune fonction deux fois dérivable définie surR.
Posonszla fonction définie surRparz(t) =y(sht).zest deux fois dérivable.
Après calculs :yest solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement
si,zest solution de l’équationz00−4z= 0
.
On obtient
z(t) =C1e2t+C2e−2t
puis
C2
y(x) =C1e2argshx+C2e−2argshx=C1(x+p1 +x2)2(++√1 +x2)2
x
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD