Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Fonctions de classe C1

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Fonctions de classe C1 Exercice 1 [ 01747 ] [correction] Etudier la continuité, l’existence et la continuité des dérivées partielles premières de f : 2 2 2 2x y ln(x +y ) si (x,y) = (0,0) a) f(x,y) = .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 33
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Fonctions de classe

C1

Enoncés

Exercice 1[ 01747 ][correction]
Etudier la continuité, l’existence et la continuité des dérivées partielles premières
def:
a)f(x y) =x02y2ln(x2+y2)ssini(oxn y)6= (00).
b)f(x y) =((0x2+y2) sin√x2+1y2nsiis(oxn y)6= (00)

Exercice 2[ 01748 ][correction]
Soitϕ:R→Rcontinue etf:R2→Rdéfinie par
y
=Zxdt
f(x y)ϕ(t)

Montrer quefest de classeC1et calculer ses dérivées partielles premières.

Exercice 3[ 03802 ][correction]
On considère la fonctionf:R2→Rdéfinie p
(

f(x y) =

a)f ?est-elle continue
b)fest-elle de classeC1

?

sin(xy)
|x|+|y|
0

ar

si(x y)6= (00)
sinon

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)fest clairement continue surR2 {(00)}.
Etudions la continuité en(00)
f(x y) = (xy)x2x+yy2(x2+y2) ln(x2+y2)(−x−y−)−→−(−0−0)→
0

fest donc continue en(00).
Etudions l’existence de la dérivée partielle par rapport àx.
Par composition∂∂fxexiste et est continue surR2 {(00)}.
De plus
∂∂fx(x y) = 2xy2ln(x2+y2) +x22x+3yy22

et
1t(f(t0)−f(00)) = 0t→0
−−→0
Donc∂fx∂(00)existe et∂x∂f(00) = 0.
Enfin
∂∂fx(x y)(xy)→(00)
−−−−−−−→0
car

2xy2ln(x2+y2) = 2yx2x+yy2(x2+y2) ln(x2+y2)

Par suite∂fx∂existe et est continue surR2.
Etudions l’existence de la dérivée partielles par rapport ày.
Commef(x y) =f(y x)l’étude de∂y∂fest identique.
b) Soitg:R+→Rla fonction définie par
= in 1√tsit6= 0
g(t)t0ssinon

Corrections

La fonctionget continue surR+et commef(x y) =g(x2+y2),fest continue
surR2.
La fonctiongest de classeC1surR+?doncfadmet des dérivées partielles
continues surR2 {(00)}.
De plus
1 1
cos
∂∂fx(x y) = 2xsinpx2+y2−px2x+y2px2+y2

et

∂f1y
−
∂y(x y) = 2ysinpx2+y2px2+y2cospx21+y2

Etudions l’existence de dérivées partielles en(00).

t1(f(t0)−f(00)) =tsin|t1|=O(t)t−→−0→0

donc∂∂fx(00)existe pas et vaut 0. Il en est de mme pourf∂∂y(00).
∂f10=nsni2n−cosn
∂x n 

diverge quandn→+∞, doncx∂f∂n’est pas continue en(00).
l en est de mme de∂f.
I∂y

Exercice 2 :[énoncé]
Introduisonsϑprimitive deϕsurR.ϑexiste et estC1carϕest continue.
f(x y) =ϑ(y)−ϑ(x)
donc par opérationsfestC1avec

∂f
∂x(x y) =−ϑ0(x) =−ϕ(x)etf∂y∂(x y) =ϑ0(y) =ϕ(y)

Exercice 3 :[énoncé]
a) La fonctionfest évidemment continue surR2 {(00)}.
En passant en coordonnées polaires

car le facteur

f(x y)(xy∼)→0r|rc2socθo|sθ+s|ninisθθ| →0 =f(00)

cosθ×sinθ
|cosθ|+|sinθ|

est bornée en tant que fonction continue et2π-périodique.
La fonctionfest donc continue surR2.
b) On a
∂∂fx(00) = lti→m01t(f(t0)−f(00)) = 0

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Or pourx y >0

et donc

∂ y)
∂fx(x y) =ycos(xy)((xx++yy))2−sin(x

∂∂fx(t t 2) =t2cos

(t2)−sin(t2)
(2t)2

La fonctionfn’est donc pas de classeC1.

1
−−−→
t→0+2

Corrections

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD