Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Développement trigonométrique

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Développement trigonométrique Exercice 6 [ 03424 ] [correction] Soient f,g :R→C continues par morceaux et 2π-périodiques. a) Montrer la convergence de la somme Exercice 1 [ 00962 ] [correction] Soit t∈ ]−1, 1[. Former le développement en série de Fourier de la fonction +∞X |c (f)c (g)|n n sinx n=−∞x7→ 21− 2t cosx +t b) Soit ϕ :R→C définie par +∞X inxExercice 2 [ 00964 ] [correction] ϕ(x) = c (f)c (g)en n Former le développement en série de Fourier de n=−∞ cosx Calculer les coefficients de Fourier de ϕ.x7→ e cos(sinx) Exercice 7 [ 03667 ] [correction] Exercice 3 [ 00966 ] [correction] Soit a> 0.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Développement trigonométrique

Exercice 1[ 00962 ][correction]
Soitt∈]−11[. Former le développement en série de Fourier de la fonction

sinx
x7→1−2tcosx+t2

Exercice 2[ 00964 ][correction]
Former le développement en série de Fourier de

x7→ecosxcos(sinx)

Exercice 3[ 00966 ][correction]
Pour|z|<1, calculer
π
Z011−zcostz2cos(nt) dt
−2zcost+

Exercice 4[ 00968 ][correction]
Calculer
+X∞(−1)pcos(2p)+1)1!x
p=0(2p+

Exercice 5[ 03326 ][correction]
Soit la fonctionf:R→C2π-périodique donnée par

f(t)eit
= e

a) Déterminer les coefficients de Fourier exponentiels def.
b) Etablir
Z2πe2 costdt= 2πn+X∞0(n1!)2
0=

Enoncés

Exercice 6[ 03424 ][correction]
Soientf g:R→Ccontinues par morceaux et2π-périodiques.
a) Montrer la convergence de la somme

b) Soitϕ:R→Cdéfinie par

+∞
X|cn(f)cn(g)|
n=−∞

+∞
ϕ(x) =Xcn(f)cn(g)einx
n=−∞

Calculer les coefficients de Fourier deϕ.

Exercice 7[ 03667 ][correction]
Soita >0.
a) Développer en série entière
1
x7→
x+ ea
b) En déduire le développement en série de Fourier de

1
t7→
cost+cha

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples

avec

donc

inx¯a
sa
1−2tcosx+t2=t−eix+t−e−ix

sinx1
=
a=eix−e−ix2i
1−2tcossinxx+t2=Rei1t−e1ixReie−ix1−t1e−ix
=

Corrections

puis
+∞
1−2tinsoscxx+t2=Xtnsin(n+ 1)x
n=0
La fonction étudiée étant impairean= 0.
Par convergence normale obtenue via|t|<1, on abn+1=tn
Ainsi l’écriture précédente est le développement en série de Fourier de la fonction
étudiée.

Exercice 2 :[énoncé]
∞x+∞1
ecosxcos(sinx) =Reecosx+isinx=Re+Peinn!=Pn!cos(nx).
n=0n=0
Il reste à justifier que ce développement correspond au développement en série de
Fourier de la fonction.
Puisque la fonction est paire,bn= 0.
On a
1
πZ−ππn+X=∞0nc!so(1nx) dx
a0=
Par convergence normale de la série de fonctions engagée,

On a

a0= 1π(nx) dx= 2
n=+X∞0Z−πnc!so1
π

1 1
an=Zππm+X∞! cos(mx) cos(nx) dx
π m
−=0

Par convergence normale de la série de fonctions engagée,
1
an= 1πm+X=∞0Z−πm! cos(mx) cos(nx) dx
π
OrR−ππcos(mx) cos(nx) dx= 0sim6=netR−ππcos(mx) cos(nx) dx=πsi
m=n6= 0.
Ainsian=n1!.
Finalement, l’écriture

∞
ecosxcos(sinx) =+Xn!1(socnx)
n=0

est bien le développement en série de Fourier de la fonction considérée.

Exercice 3 :[énoncé]
1−12z−czoscot+szt221=1−e(1itz1+)−1e(−itz)=n=+X∞0
12(eint+ e−int)zn
puis
+∞
X

=
1−12−zczcosot+szt2n=0cos(nt)zn
avec convergence normale sur[0 π]. Par suite
1−zcost
Z0π1−2zcost+z2cos(nt) dt=2πzn

compte tenu de l’orthogonalité des fonctionst7→cos(kt).

Exercice 4 :[énoncé]
p=+X∞0(−1)p2(c(osp2p)!+11)+x=Rep+X∞(−1)p(2ei(p2p++11))x!!=Re(sin(eix))
=0
orsin(eix) = sin(cosx+isinx) = sin(cosx)ch(sinx) +ish(sinx) cos(cosx)donc

+X∞(−1)pso2(c2(pp)!+11)+x= sin(cosx)ch(sinx)
p=0

2

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Exercice 5 :[énoncé]
a) Pour toutt∈Ron peut écrire

Corrections

f(t) =+X∞eint
n!
n=0
Puisque la série à termes positifsPn!1converge, on peut par convergence normale
calculer les coefficients de Fourier defen intégrant terme à terme
= 1+∞tdt
cp(f)=12πZ20πf(tn=0n!Z0
)e−iptdt2πX12πei(n−p)

Et puisque

on obtient

1
2πZ20πeiktdt=δk0
cp(f) =10p!nsisipon∈N

b) Par la formule de Parseval

avec

12π
n+X=∞0(n=1)!Z0|f(t)|2dt
22π

|f(t)|2=f(t)f(t) = expeit+ e−it cos= exp(2t)

Exercice 6 :[énoncé]
a) En vertu de l’inégalité
ab621a2+b2
on a
|cn(f)cn(g)|612|cn(f)|2+|cn(g)|2
Puisqu’il y a convergence des sommes

+∞+∞
X|cn(f)|2etX|cn(g)|2
n=−∞n=−∞

on peut, par comparaison de séries à termes positifs, affirmer la convergence de la
somme étudiée.

b) La fonctionϕest définie, continue et2π-périodique par convergence normale
de la série de fonctions sous-jacente. Pourp∈Z

+∞
cp(ϕ2=1)πZ2Xcn(f)cn(g)ei(n−p)xdx
πn=−∞

Par convergence normale de la série des fonctions continues

x7→cn(f)cn(g)ei(n−p)x

on peut intégrer terme à terme

1+∞
=Xcn(f)cn(g
cp(ϕ)n=−∞)Z2πei(n−p)xdx=cp(f)cp(g)
2π

Exercice 7 :[énoncé]
a) Pour|x|<ea
,

1 = e−a1 = e−a+X∞(−1)n(xe−a)n=+X∞(−1)ne−(n+1)axn
x+ ea1 +xe−an=0n=0

b) On peut écrire

1 2eit2eit
= =
cost+chae2it+ 2ch(a)eit (e+ 1it+ ea)(eit+ e−a)

Par décomposition en éléments simples de la fraction

2X
(X+ ea)(X+ e−a)

on obtient
2eitshe(aa)seh−(aa)
=−
(eit+ ea)(eit+ e−a) eit+ eaeit+ e−a
Puisqueeit<1, on peut décomposer le premier terme comme ci-dessus et on
mène des calculs analogues pour la seconde somme

cos1h1(a)+X−∞a−it+∞
(−1)ne−nae−int
t+cha=sn=0(−1)ne−naeint−esh(ea)n=X0

3

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En combinant les deux sommes
1 1
= 1

++∞)!
X2(−1)ne−nacos(nt

Corrections

cost+chash(a)n=1
Puisqu’il y a convergence de la sériePe−na, on peut aisément établir la
convergence normale permettant l’intégration terme à terme calculant les
coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction considérée. Sans surprise,
on obtient que la décomposition précédente s’apparente à la décomposition en
série de Fourier de la fonction étudiée.

4

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