Algèbre T2

Daniel Guin

Description

Ce traité d’algèbre en deux volumes s’adresse aux étudiants de licence ou master de mathématiques (L3-M1) et à ceux qui préparent le CAPES ou l’agrégation.

Ce tome 2 traite de la notion générale de divisibilité des éléments dans les anneaux : anneaux euclidiens, principaux, factoriels. Il présente une généralisation de cette notion aux idéaux – anneaux de Dedekind – et donne des applications à la théorie des nombres : anneau des entiers d’un corps de nombres, ramification.

Dans la seconde partie, il traite de l’algèbre linéaire et multilinéaire : modules, modules sur un anneau principal, dualité, applications multilinéaires, produit tensoriel, algèbre tensorielle, produit extérieur, algèbre extérieure (application au déterminant).

Chaque notion est développée depuis les définitions de base jusqu’à des résultats très avancés, avec toutes les démonstrations. Les chapitres sont suivis de thèmes de réflexion (TR) qui permettent d’étudier en profondeur des notions qui illustrent ou complètent le cours.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Mathematics
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 octobre 2013
• Nombre de lectures: 29
• EAN13: 9782759811335
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 7 Mo

Extrait

GH QRPEUHV UDPL¿FDWLRQ

&KDTXH QRWLRQ HVW GpYHORSSpH GHSXLV OHV Gp¿QLWLRQV GH EDVH MXVTX¶j GHV

VXLYLV GH WKqPHV GH UpÀH[LRQ 75 TXL SHUPHWWHQW G¶pWXGLHU HQ SURIRQGHXU

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

Algèbre II

ANNEAUX, MODULES

L3M1M2
Algèbre II
ANNEAUX, MODULES
ET ALGÈBRE MULTILINÉAIRE

Daniel Guin

ALGÈBRE
Tome 2

ANNEAUX, MODULES
ET
ALGÈBRE MULTILINÉAIRE

Daniel Guin

17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France

Illustration de couverture:

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-1001-7
Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute
reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées
dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon.
Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et
non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère
scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et
L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec
l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille,
75006 Paris. Tél. : [phone].

c2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A

Avant-Propos

Remerciements

Avertissement

Partie I

I

Anneaux et modules

TABLE DES MATIÈRES

Généralités sur les anneaux
1Définitions – Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2Idéaux – Morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. . . . . . . . . . . . . . . . .Idéaux maximaux, idéaux premiers .
4Produit d’anneaux – Théorème chinois. . . . . . . . . . . . . . .
5Caractéristique – Corps premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6Corps des fractions d’un anneau intègre. . . . . . . . . . . . . . .

Thèmes de réflexion
TR.I.A.Étude de Aut(Z/nZ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TR.I.B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Localisation et idéaux
TR.I.C.Radical, nilradical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

Anneaux euclidiens, principaux, factoriels
1Anneaux de polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2Division euclidienne – Anneaux euclidiens. . . . . . . . . . . . . .
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Anneaux principaux
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Anneaux factoriels
5Divisibilité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

xi

xiii

1

3
3
8
15
18
20
22

29
29
31
32

35
35
41
43
48
52

Algèbre T2

iv

Thèmes de réflexion
TR.II.A.. . . . . . . . . . . . . . .Exemples d’anneaux euclidiens
TR.II.B.Un anneau principal non euclidien. . . . . . . . . . . . .
TR.II.C.Anneaux nœthériens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TR.II.D.. . . .Séries formelles – Séries et polynômes de Laurent .

III

Irréductibilité des polynômes – Polynômes symétriques
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Irréductibilité .
2Fonctions polynomiales – Racines – Dérivations – Multiplicité .. .
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Résultant – Discriminant
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Polynômes symétriques

Thèmes de réflexion
TR.III.A.Critère d’irréductibilité par extension
TR.III.B.Critère d’irréductibilité par réduction

IV

. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .

Généralités sur les modules
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Modules – Morphismes
2Sous-modules .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3Modules quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Morphismes et quotients
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Modules monogènes
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Produit et somme
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Modules libres

55
55
56
57
58

61
61
66
74
77

83
83
83

87
87
90
91
92
94
95
96

Thèmes de réflexion101
TR.IV.A.101Propriétés universelles de somme directe et produit direct
TR.IV.B.. . . . . . . . . . . . . 102Algèbres – Algèbres de polynômes

V

Modules sur un anneau principal105
1. . . . . . . . . . . . . . . . 105Modules libres – Modules de type fini
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Modules de torsion .
3Structure des modules de type fini sur un anneau principal. . . . 109
4Autre démonstration du théorème de structure des modules
de type fini sur un anneau principal. . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Thèmes de réflexion125
TR.V.A.Réduction des endomorphismes à la forme de Jordan .. . 125
TR.V.B.. . . . . . . . . . . . . . . . 127Calcul des facteurs invariants

VI

Table des matières

Éléments entiers et anneaux de Dedekind129
1Éléments entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2Norme et trace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
38. . . . . . . . . . . . . . . . 13Application aux corps cyclotomiques .
4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Anneaux et modules nœthériens
5Idéaux fractionnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Anneaux de Dedekind
7Norme d’un idéal .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8Décomposition des idéaux premiers dans une extension et action
du groupe de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9Ramification .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153. . . . . . .

Thèmes de réflexion161
TR.VI.A.. . . . . . 161Quelques propriétés des anneaux de Dedekind
TR.VI.B.Ramification des nombres premiers dans un corps
cyclotomique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
TR.VI.C.Décomposition des nombres premiers dans un corps
quadratique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
TR.VI.D.. . . . . . . . . . . . . . . . . 165Théorème des deux carrés .

VII Dualité167
1Modules d’applications linéaires et suites exactes. . . . . . . . . . 167
2. . . . . . . Dualité .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Orthogonalité .

Thèmes de réflexion177
TR.VII.A.. . . . . . . . . . . 177Modules injectifs – Modules projectifs
TR.VII.B.Enveloppe injective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
TR.VII.C.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Une autre dualité

Partie II

Algèbre multilinéaire

185

VIII Produittensoriel – Algèbre tensorielle – Algèbre symétrique187
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Applications bilinéaires
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Produit tensoriel
3Commutation du produit tensoriel aux sommes directes. . . . . . 193
496. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Associativité du produit tensoriel .
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Changement d’anneau de base
6. . . . . . . . . . . . .Produit tensoriel d’algèbres associatives. . 199

v

Algèbre T2

vi

7
8
9

Produit tensoriel et dualité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Algèbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Algèbre symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Thèmes de réflexion209
TR.VIII.A.. . . . . . . . . . . . . . . 209Modules plats, fidèlement plats
TR.VIII.B.. . . . . . . . . . . . . . . . . 211Passage du local au global
TR.VIII.C.Propriété universelle du produit tensoriel d’algèbres
commutatives .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

IX

Produit extérieur – Algèbre extérieure213
1. . . . . . . . . . . . . . . . . 213Applications multilinéaires alternées
2Déterminants .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. . . . . . .
3Produit extérieur .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4Commutation du produit extérieur aux sommes directes. . . . . . 221
5Algèbre extérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Thèmes de réflexion225
TR.IX.A.. . . . . . . . . . . 225Annulation de puissances extérieures .
TR.IX.B.. . . . . . . . . . . . 225Dérivations et formes différentielles .

Appendice229
1Ensembles ordonnés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
2Cardinaux – Ensembles infinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Bibliographie

Index terminologique

239

241

AVANT-PROPOS

Cet ouvrage fait suite à celui intitulé « Algèbre I » (écrit en collaboration avec
Thomas Hausberger) dont je reprends ici une partie de l’avant-propos.
La très longue histoire de l’étude des nombres, puis des équations, a permis
de remarquer des analogies entre certaines propriétés vérifiées par des objets
mathématiques de natures différentes, par exemple les nombres et les polynômes.
e
Cela a conduit les mathématiciens, en particulier auXIXsiècle, à tenter de
dégager une axiomatique qui rende compte des raisons profondes de ces analogies.
Il est alors apparu que ces objets, de natures différentes, possédaient les mêmes
structures algébriques, par exemple groupe, espace vectoriel, anneau, etc.
Il devint évident qu’il était plus efficace d’étudier ces structures pour
ellesmêmes, indépendamment de leurs réalisations concrètes, puis d’appliquer les
résultats obtenus dans les divers domaines que l’on considérait antérieurement.
L’algèbre abstraite était née.
C’est l’étude des équations algébriques qui est à l’origine de la création et
du développement de l’algèbre, dont le nom provient du titre d’un traité
d’AlKhowarizmi. D’abord exclusivement dévolue au calcul, à l’introduction des outils
(nombres négatifs, extraction de racines, nombres complexes) et à l’élaboration des
règles d’utilisation de ces objets, l’algèbre a évolué vers ce qu’elle est mai